高考北京理科數(shù)學(xué)試題及答案word解析版

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)（1）【2016年北京，理1，5分】已知集合，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】集合，集合，所以，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用（2）【2016年北京，理2，5分】若，滿足則的最大值為（）（A）0（B）3（C）4（D）5【答案】C【解析】可行域如圖陰影部分，目標(biāo)函數(shù)平移到虛線處取得最大值，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，最大值為，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意

2、義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法（3）【2016年北京，理3，5分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為1，則輸出的值為（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】開始，；第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，第三次循環(huán)，條件判斷為“是”跳出，此時(shí)，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答（4）【2016年北京，理4，5分】設(shè)，是向量，則“”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若成立，則以，為邊組成平行四邊形，那么該平行四邊形為菱形，表示的

3、是該菱形的對(duì)角線，而菱形的對(duì)角線不一定相等，所以不一定成立，從而不是充分條件；反之，成立，則以，為邊組成平行四邊形，則該平行四邊形為矩形，矩形的鄰邊不一定相等，所以不一定成立，從而不是必要條件，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是充要條件，向量的模，分析出“”與“”表示的幾何意義，是解答的關(guān)鍵（5）【2016年北京，理5，5分】已知，且，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】考查的是反比例函數(shù)在單調(diào)遞減，所以即所以錯(cuò)；考查的是三角函數(shù)在單調(diào)性，不是單調(diào)的，所以不一定有，錯(cuò)；考查的是指數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減，所以有即所以對(duì)；考查的是對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，不一定有，所以錯(cuò)，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了

4、不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題（6）【2016年北京，理6，5分】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）（A）（B）（C）（D）1【答案】A【解析】通過三視圖可還原幾何體為如圖所示三棱錐，則通過側(cè)視圖得高，底面積，所以體積，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵（7）【2016年北京，理7，5分】將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，若位于函數(shù)的圖象上，則（）（A），的最小值為（B），的最小值為（C），的最小值為（D），的最小值為【答案】A【解析】點(diǎn)在函數(shù)上，所以，然后向左平移個(gè)單

5、位，即，所以，所以的最小值為，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔（8）【2016年北京，理8，5分】袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半甲、乙、丙是三個(gè)空盒每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)放入乙盒，否則就放入丙盒重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則（）（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多（C）乙盒中紅球不多于丙盒中紅球（D）乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】B【解析】取兩個(gè)球往盒子中放有種情況：紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加個(gè)；黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加個(gè)；紅+黑（紅球放入甲盒中），則乙盒中

6、黑球數(shù)加個(gè)；黑+紅（黑球放入甲盒中），則丙盒中紅球數(shù)加個(gè)因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以和的情況一樣多，和的情況完全隨機(jī)和對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣故選B【點(diǎn)評(píng)】該題考查了推理與證明，重點(diǎn)是找到切入點(diǎn)逐步進(jìn)行分析，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力有一定要求，中檔題二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分。（9）【2016年北京，理9，5分】設(shè)aR，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則【答案】【解析】，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)在實(shí)軸上，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題（10）

7、【2016年北京，理10，5分】在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】60【解析】由二項(xiàng)式定理得含的項(xiàng)為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（11）【2016年北京，理11，5分】在極坐標(biāo)系中，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則_【答案】2【解析】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，直線的直角坐標(biāo)方程為，圓的直角坐標(biāo)方程為，圓心在直線上，因此為圓的直徑，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了把圓與直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題（12）【2016年北京，理12，5分】已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和若，則【答案】6【解析】，【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前6項(xiàng)和的求法，

8、是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用（13）【2016年北京，理13】雙曲線的漸近線為正方形的邊，所在的直線，點(diǎn)為該雙曲線的焦點(diǎn)若正方形的邊長(zhǎng)為2，則_【答案】2【解析】不妨令為雙曲線的右焦點(diǎn)，在第一象限，則雙曲線圖象如圖，為正方形，直線是漸近線，方程為，又【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線漸近線垂直關(guān)系得到雙曲線是等軸雙曲線是解決本題的關(guān)鍵（14）【2016年北京，理14，5分】設(shè)函數(shù)若，則的最大值為；若無最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】2；【解析】由，得，如下圖，是的兩個(gè)函數(shù)在沒有限制條件時(shí)的圖象；當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，在時(shí)無最大值，且所以，【點(diǎn)評(píng)】本

9、題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，分類討論思想，難度中檔三、解答題：共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（15）【2016年北京，理15，13分】在中，（1）求的大??；（2）求的最大值解：（1），（2），最大值為1，所以最大值為1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是余弦定理，和差角公式，正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔（16）【2016年北京，理16，13分】，三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時(shí)）：A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10

10、.5 12 13.5（1）試估計(jì)班的學(xué)生人數(shù)；（2）從班和班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，班選出的人記為甲，班選出的人記為乙假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；（3）再?gòu)?，三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝苠憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25（單位：小時(shí)），這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，試判斷和的大?。ńY(jié)論不要求證明）解：（1），班學(xué)生40人（2）在班中取到每個(gè)人的概率相同均為，設(shè)班中取到第個(gè)人事件為，班中取到第個(gè)人事件為，班中取到的概率為，所求事件為，則（3），三組平均數(shù)分別為總均值，但中多加的三個(gè)數(shù)據(jù)平均值為，

11、比小，故拉低了平均值【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，古典概型，難度中檔（17）【2016年北京，理17，14分】如圖，在四棱錐中，平面平面，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，說明理由解：（1）面面，面面，面，面，面。，又，面（2）取中點(diǎn)為，連結(jié)，以為原點(diǎn)，如圖建系易知，則，設(shè)為面的法向量，令，則與面夾角有（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得面，設(shè)，由（2）知，有，面，為的法向量，即，綜上，存在點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為所求【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定，考查了直線與平面所成的角，訓(xùn)練了存在性問題的求解方法，建系利用空

12、間向量求解降低了問題的難度，屬中檔題（18）【2016年北京，理18，13分】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為（1）求，的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間解：（1），曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即由解得：，（2）由（1）可知：，令，極小值的最小值是，的最小值為，即對(duì)恒成立，在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合切線斜率建立方程關(guān)系以及利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)（19）【2016年北京，理19，14分】已知橢圓：的離心率為，的面積為1（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)求證：為定值解：（1）由已知，又，解得橢圓的方程為（2）解法一：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則直線：，令，得，直線：，令，得將代入上式得，故為定值解法二：設(shè)橢圓上一點(diǎn)，直線:，令，得，:，令，故為定值【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率和基本量的關(guān)系，考查線段積的定值的求法，注意運(yùn)用直線方程和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查化解在合理的運(yùn)算能力，屬于中檔題（20）【2016年北京，理20，13分】設(shè)數(shù)列：如果對(duì)小于的每個(gè)正整數(shù)都有，則稱是數(shù)列的一個(gè)“時(shí)刻”，記是數(shù)列的所有“時(shí)刻”組成的集合（1）對(duì)數(shù)列，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列中存在使得，則；（3）證明：若數(shù)列滿足，則的元素個(gè)數(shù)不小于解：（1）根據(jù)題干