高考名師手稿四解析幾何1

1、高考名師手稿：解析幾何一 考試要求：1直線和圓的方程考試內(nèi)容：直線的傾斜角和斜率，直線方程的點斜式和兩點式直線方程的一般式兩條直線平行與垂直的條件兩條直線的交角點到直線的距離用二元一次不等式表示平面區(qū)域簡單的線性規(guī)劃問題曲線與方程的概念由已知條件列出曲線方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程圓的參數(shù)方程考試要求：（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域（4）了解線性規(guī)

2、劃的意義，并會簡單的應(yīng)用（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法（6）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程II圓錐曲線方程考試內(nèi)容：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)了解橢圓的參數(shù)方程雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)考試要求：（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用特別注意： 2007年高考數(shù)學(xué)考試大綱修訂說明中文科的直線和圓的方程部分，將原考試要求中的“(6

3、)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，理解圓的參數(shù)方程”改為“(6)掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程”。文科的圓錐曲線方程部分，將原考試要求中的“(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì). 理解橢圓的參數(shù)方程”改為“(1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì). 了解橢圓的參數(shù)方程”。高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題)，共計30分左右，考查的知識點約為20個左右。 其命題一般緊扣課本，突出重點，全面考查。選擇題和填空題考查直線、圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識

4、的重組與鏈接，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要用到平幾的基本知識和向量的基本方法，這一點值得強化。二、重點難點熱點 直線與圓 （共3課時）問題1：求直線方程.常用待定系數(shù)法，即根據(jù)已知條件，首先確定采用直線方程的形式，然后確定其中相關(guān)的待定常數(shù)，如斜率、截距等.例1已知直線l經(jīng)過點P（2,1），且直線l：x-2y+4=0的夾角為，求直線l的方程.思路分析：在l的斜率存在的前提下，可采用點斜式方程，若l的斜率不存在，則可直接寫出方程.解：若直線l的斜率存在，設(shè)其為k，則這時直線l的方程為3x+4y-11=0.若直線l的斜率不存在，其方程為x=1，經(jīng)過驗證，這時它與l

5、的夾角為.因此，直線l的方程為3x+4y-11=0或x=1.點評：涉及用點斜式求直線方程的問題，一定要注意其斜是否存在；用截距式求方程時要討論直線是否過原點.演變1：已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角邊BC在直線2+3y-6=0上，頂點A的坐標(biāo)是(5，4)，求邊AB和AC所在的直線方程點撥與提示：利用等腰直角三角形的性質(zhì)，得出ABC45，再利用夾角公式，求得直線AB的斜率，進而求得了直線AB的方程問題2：兩直線的位置關(guān)系利用兩條直線平行或垂直的條件判定它們平行或垂直，由直線到直線的角和夾角公式求直線到直線的角和夾角.例2拋物線有光學(xué)性質(zhì)由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱

6、軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p0)一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l2x4y17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)(1)設(shè)P、Q兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明y1y2=p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：對稱問題是直線方程的又一個重要應(yīng)用本題是一道與物理中的光學(xué)知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了韋達定理，點關(guān)于直

7、線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程等知識點 及理解問題、分析問題、解決問題的能力解：(1)證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x) 由式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韋達定理，y1y2=p2當(dāng)直線PQ的斜率角為90時，將x=代入拋物線方程，得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=p2(2)解因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M(，4)關(guān)于l的對稱點為M(x,y)，則解得 直線QN的方程為y=1,Q點的縱坐標(biāo)y2=1，由題設(shè)P點的縱坐標(biāo)y1=4

8、，且由(1)知y1y2=p2,則4(1)=p2,得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x(3)解將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標(biāo)為(4，4) 將y=1代入直線l的方程為2x4y17=0,得x=, 故N點坐標(biāo)為(，1) 由P、N兩點坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y12=0,設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M1(x1,y1)又M1(,1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，1)與點M關(guān)于直線PN對稱解題回顧：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時 點關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵演變1：在ABC中，BC邊上的高所在的直線方程是x2y+1=0,A的平分

9、線所在的直線方程為y=0,若點B的坐標(biāo)為(1,2),求點A和點C的坐標(biāo).點撥與提示：根據(jù)條件分析出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解，是解決此題的關(guān)健.問題3：線性規(guī)劃及應(yīng)用準(zhǔn)確找出及表示出已知條件下的線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)，利用線性約束條件所表示的平面區(qū)域，找出最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.例3：畫出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）為頂點的ABC的區(qū)域（包括各邊），寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組，并求以該區(qū)域為可行域的目標(biāo)函數(shù)z=3x2y的最大值和最小值思路分析：本例含三個問題：畫指定區(qū)域；寫所畫區(qū)域的代數(shù)表達式不等式組；求以所寫不等式組為約束條件的給定目標(biāo)函數(shù)的最值解：如圖，連結(jié)點A、B、

10、C，則直線AB、BC、CA所圍成的區(qū)域為所求ABC區(qū)域直線AB的方程為x+2y1=0，BC及CA的直線方程分別為xy+2=0，2x+y5=0在ABC內(nèi)取一點P（1，1），分別代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y10，xy+20，2x+y50,y0），.若PF2F1為直角，則P（），這時PF1，PF2，這時.若PF2F1為直角，則由，解得：.于是PF14，PF22，這時.點評：由橢圓的方程，熟練準(zhǔn)確地寫出其幾何性質(zhì)（如頂點，焦點，長、短軸長，焦距，離心率，焦半徑等）是應(yīng)對考試必備的基本功；在解法2中設(shè)出了P點坐標(biāo)的前提下，還可利用PF1a+ex,PF2=a-ex來求解.演變2：已知雙曲

11、線的方程為, 直線通過其右焦點F2，且與雙曲線的右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線的左焦點F1連結(jié)起來，求|F1A|F1B|的最小值點撥與提示：由雙曲線的定義得：|AF1|=(x1+)=x1+2，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 ，將直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立消元，得x1+x2=, x1x2= .本題要注意斜率不存在的情況.問題3：有圓錐曲線的定義的問題利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.例3：已知某橢圓的焦點F1（4,0），F(xiàn)2（4,0），過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個焦點為B，且10，橢圓上不同兩點A（x1,y1）,C

12、(x2,y2)滿足條件F2A，F(xiàn)2B，F(xiàn)2C成等差數(shù)列.（1）求該橢圓的方程；（2）求弦AC中點的橫坐標(biāo).思路分析：因為已知條件中涉及到橢圓上的點到焦點的距離，所以可以從橢圓的定義入手.解：（1）由橢圓的定義及已知條件知：2aF1BF2B10，所以a=5,又c3，故b=4.故橢圓的方程為.由點B（4，y0）在橢圓上，得F2By0|，因為橢圓的右準(zhǔn)線方程為，離心率.所以根據(jù)橢圓的第二定義，有.因為F2A，F(xiàn)2B，F(xiàn)2C成等差數(shù)列，所以：x1+x2=8,從而弦AC的中點的橫坐標(biāo)為點評：涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲

13、線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準(zhǔn)線對應(yīng)，不能弄錯.演變3：已知橢圓C的中心在原點，左焦點為F1，其右焦點F2和右準(zhǔn)線分別是拋物線的頂點和準(zhǔn)線.求橢圓C的方程； 若點P為橢圓上C的點，PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，求點P到x軸的距離；若點P為橢圓C上的一個動點，當(dāng)F1PF2為鈍角時求點P的取值范圍.點撥與提示：本題主要復(fù)習(xí)圓錐曲線的基本知識，待定系數(shù)法和定義法等通性通法的運用.根據(jù)拋物線確定拋物線的頂點和準(zhǔn)線方程，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解題時注意橢圓的定義的運用.問題4：直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求

14、解或證明.例4：拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）設(shè)直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；（）當(dāng)=1時，若點P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時點A的縱坐標(biāo)的取值范圍.思路分析：將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用韋達定理來求解.解：（）由拋物線的方程（）得，焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（）證明：設(shè)直線的方程為，直線的方程為點和點的坐標(biāo)是方程組的解將式代入式得，于是，故又點和點的坐

15、標(biāo)是方程組的解將式代入式得于是，故由已知得，則設(shè)點的坐標(biāo)為，由，則將式和式代入上式得，即線段的中點在軸上（）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點、的坐標(biāo)為，于是，因為鈍角且、三點互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時，；當(dāng)時，即點評：解析幾何解題思維方法比較簡單，但對運算能力的要求比較高，平時練習(xí)要注意提高自己的運算能力.演變4.(05年重慶)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為.(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍.問題

16、5：軌跡問題根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征. 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念，求軌跡是根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.。求軌跡方程常用的方法有：直譯法、相關(guān)點法、參數(shù)法等。求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性例6已知M：軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.分析：本題考察圓的性質(zhì)與直線的方程，以及平面幾何知識的簡單運用。解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， 故，所以直線AB方程是（2）連接MB，MQ，設(shè)由點M，P，

17、Q在一直線上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得解題回顧：有關(guān)圓的問題，往往要運用圓的幾何性質(zhì)，如弦中點與圓心的連線與弦所在直線垂直等，適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。 點評：本題命題意圖是考查解析幾何中求軌跡方程的方法,考查建立坐標(biāo)系,數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,勾股定理,兩點間距離公式等相關(guān)知識點,及分析推理、計算化簡技能、技巧等.演變7：已知A、B為兩定點，動點M到A與到B的距離比為常數(shù),求點M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線演變8：如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點且滿足APB=90，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡

18、方程點撥與提示：本題主要考查利用“相關(guān)點代入法”求曲線的軌跡方程對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程演變7：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0)設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點則由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸)(2)當(dāng)1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓演變8設(shè)AB的中點為

19、R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程例5. （05年江西）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點，動弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點，且MA=MB. （1）若M為定點，證

20、明：直線EF的斜率為定值；（2）若M為動點，且EMF=90，求EMF的重心G的軌跡思路分析：（1）由直線MF（或ME）方程與拋物線方程組成的方程組解出點F和點E的坐標(biāo)，利用斜率公式來證明；（2）用M點的坐標(biāo)將E、F點的坐標(biāo)表示出來，進而表示出G點坐標(biāo)，消去y0即得到G的軌跡方程（參數(shù)法）.OABEFM解：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l0)則直線MF的斜率為k，方程為由，消解得(定值)所以直線EF的斜率為定值.（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x, y），則有消去參數(shù)得點評：這是一道重要的數(shù)學(xué)問題,幾乎是高考數(shù)學(xué)每年的必考內(nèi)容之一,此類問題一定要“大膽假設(shè),細心求解”,

21、根據(jù)題目要求先將題目所涉及的未知量都可以設(shè)出來,然后根據(jù)題目把所有的條件都變成等式,一定可以求出來,當(dāng)然求的過程中,采取適當(dāng)?shù)男〖记?例如化簡或適當(dāng)分類討論,可以大為簡化過程,而且會盡量多多得分,同時這一類題目也需要很強的計算能力.演變5：已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足（）設(shè)為點P的橫坐標(biāo)，證明；（）求點T的軌跡C的方程；（）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由.點撥與提示：本題在求點T的軌跡用的是代入法：即用T

22、點的坐標(biāo)將Q點的坐標(biāo)表示出來，再代入Q所滿足的曲線方程即可.問題6：與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值問題建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的定值、最值問題.例6：點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.OF2F1A2A1PM思路分析：設(shè)橢圓上動點坐標(biāo)為(x,y)，用該點的橫坐標(biāo)將距離d表示出來，利用求函數(shù)最值的方法求d的最小值. 解（1）由已知可得點A(6,0),F(0,4) 設(shè)點P(,),則=+6, ,=4, ,由已知可得則2+918=0,=或=6.由

23、于0,只能=,于是=. 點P的坐標(biāo)是(,) (2) 直線AP的方程是+6=0. 設(shè)點M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又66,解得=2. 橢圓上的點(,)到點M的距離有,由于66, 當(dāng)=時,d取得最小值點評：解決有關(guān)最值問題時，首先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞浚ㄈ琰c的坐標(biāo)、角、斜率等），建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識和方法求解.演變6：（05年浙江）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若直線l1：xm(|m|1)，P為l1上的動點，使F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐

24、標(biāo)(用m表示)點撥與提示：（1）待定系數(shù)法；（2）利用夾角公式將F1PF2的正切值用y0表示出來，利用基本不等式求其最值.演變7：（05年全國）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線. （1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值.點撥與提示：（1）將AB的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程組，然后求解；（2）將M點的坐標(biāo)用A、B的坐標(biāo)表示出來，代入到橢圓方程，結(jié)合韋達定理求解.問題7：與圓錐曲線有關(guān)的對稱問題利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質(zhì)來求解或證明.例7：過點(1，0)的直線l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為的橢圓

25、C相交于A、B兩點，直線y=x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程思路分析：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列式求解；解法二，用韋達定理解法一由e=,得,從而a2=2b2,c=b設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12x22)+2(y12y22)=0,設(shè)AB中點為(x0,y0)，則kAB=，又(x0,y0)在直線y=x上，

26、y0=x0,于是=1，kAB=1，設(shè)l的方程為y=x+1. 右焦點(b,0)關(guān)于l的對稱點設(shè)為(x,y),由點(1,1b)在橢圓上，得1+2(1b)2=2b2,b2=所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=x+1解法二由e=,從而a2=2b2,c=b設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=直線ly=x過AB的中點(),則,解得k=0，或k=1若k=0,則l的方程為y=0,焦點F(c,0)關(guān)于直線l的對稱點就是F點本身，不能

27、在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=1，直線l的方程為y=(x1),即y=x+1,以下同解法一點評：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計新穎，基礎(chǔ)性強待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題，成為解決本題的關(guān)鍵.注意在設(shè)直線方程時要對直線斜率是否存在進行討論.演變8：（05年湖南）已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè).（）證明：1e2；（）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形.點撥與提示：（1）由A、B的坐標(biāo)求出M點的坐標(biāo)（

28、x0,y0），代入橢圓的方程即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)|PF1|=|F1F2|來求的值.演變答案及點撥演變1：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0)設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點則由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線(y軸)(2)當(dāng)1時，點M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0點M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓演變2設(shè)AB的中點為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|又因為R是弦AB的中點，依垂

29、徑定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程演變3：以O(shè)為原點，P1OP2的角平分線為x軸建立如圖的直角坐標(biāo)系設(shè)雙曲線方程為=1(a0,b0)由e2=，得兩漸近線OP1、OP2方程分別為y=x和y=x設(shè)點P1(x1,x1),P2(x2,x2)(x10,x20),

30、則由點P分所成的比=2,得P點坐標(biāo)為(),又點P在雙曲線=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2即x1x2=由、得a2=4,b2=9，故雙曲線方程為=1演變4：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，A到雙曲線的左準(zhǔn)線x= = 的距離d=|x1+|=x1+，由雙曲線的定義，=e=,|AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)雙曲線的右焦點為F2(,0), (1)當(dāng)直線的斜率存在時設(shè)直線AB的方程為：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x

31、20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|F1B|;(2)當(dāng)直線AB垂直于x軸時，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(雙曲線的第一定義), |F1A|F1B|=由(1), (2)得：當(dāng)直線AB垂直于x軸時|F1A|F1B|取最大值演變5：拋物線的頂點為(4,0)，準(zhǔn)線方程為,設(shè)橢圓的方程為,則有c=4，又，橢圓的方程為設(shè)橢圓內(nèi)切圓的圓心為Q，則設(shè)點P到x軸的距離為h，則.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0,y0)，由橢圓的第二定義得：由F1PF2為鈍角知：即為所求.演變6：（）設(shè)雙曲線方程為由已知得故雙曲

32、線C的方程為（）將由直線l與雙曲線交于不同的兩點得即設(shè)，則而于是由、得故k的取值范圍為演變7：（）證法一：設(shè)點P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以證法二：設(shè)點P的坐標(biāo)為記則由（）解法一：設(shè)點T的坐標(biāo)為當(dāng)時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點.在QF1F2中，所以有綜上所述，點T的軌跡C的方程是解法二：設(shè)點T的坐標(biāo)為當(dāng)時，點（，0）和點（，0）在軌跡上.當(dāng)|時，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點. 設(shè)點Q的坐標(biāo)為（），則，因此由得將代入，可得綜上所述，點T的軌跡C的方程是（）解法 C上存在點M（）使S=的充要條件是：由得上式代入得于是，當(dāng)時，存在點M，使

33、S=；當(dāng)時，不存在滿足條件的點M. 當(dāng)時，記，由知，所以演變8：（）設(shè)橢圓方程為（），半焦距為c, 則,由題意，得, 解得，故橢圓方程為（II）設(shè)P(當(dāng)時，當(dāng)時, ，只需求的最大值即可.直線的斜率，直線的斜率當(dāng)且僅當(dāng)=時，最大，演變9：設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為化簡得.令則共線，得又，即，故離心率為（II）證明：由（I）知，所以橢圓可化為.設(shè)，由已知得在橢圓上，即由（I）知又又，代入得故為定值1.演變10：（）因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以因為點M在橢圓上，所以即解得（）解：因為PF1l，所以PF1F2=90+BAF1為鈍角，要使PF1F

34、2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|.設(shè)點P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時除以4a2，化簡得從而于是. 即當(dāng)時，PF1F2為等腰三角形.專題小結(jié)1、求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，p等.要充分認識橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān). 2、涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準(zhǔn)線對應(yīng)，不能弄錯.3、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，

35、利用判別式、韋達定理來求解或證明.4、對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5、與圓錐曲線有關(guān)的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質(zhì)來求解或證明.三、典型例題分析（包括分析、求解、回顧）第一課時 直線與圓【例1】函數(shù)y=asinx+2bcosx圖象的一條對稱軸方程為x=，則直線ax+by+1=0與直線x+y+2=0夾角大小為 （B） Aarctan3 BarctanCarctan Darctan（3）分析： 由題意知，整理得（a2b）2=0，a=2b，=2，即ax+by+1=0的斜

36、率為2，x+y+2=0的斜率為1，兩直線夾角的正切值tan= ，故選B變式題 函數(shù)y=asinxbcosx的一條對稱軸方程為x=則直線axby+c=0的傾斜角為（ ）A45 B60 C120 D135【例2】實數(shù)x、y滿足不等式組，則w=的取值范圍是（D）A1，B，C，+D，1分析：點（x，y）在圖4161中陰影部分，w=表示動點（x，y）與定點A（1，1）連線的斜率，l1為斜率k1=kAB=l2與xy=0平行，w，1【例2備選題】已知有三個居民小區(qū)A、B、C構(gòu)成三角形ABC，這三個小區(qū)分別相距BC=800m、AB=700m、AC=300m，為解決居民就業(yè)、服務(wù)小區(qū)生活，在與A、B、C三個小區(qū)

37、距離相等處建造一個食品加工廠，同時為了不影響小區(qū)居民的正常生活和休息，在廠房的四周需要安裝隔音窗或建造隔音圍墻根據(jù)以往經(jīng)驗，機器從廠房發(fā)出的噪音是85分貝，而維持居民正常生活和休息時的噪音不得超過50分貝，每安裝一道隔音窗降低3分貝，花費3萬元隔音窗不能超過3道；每建造一堵隔音墻降低15分貝，花費10萬元；距離廠房平均每25m噪音均勻降低1分貝（1）求加工廠距A區(qū)的距離；（1.732，精確到1m）（2）怎樣建造隔音設(shè)備，使其隔音設(shè)備成本最低？【例3】拋物線有光學(xué)性質(zhì)由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p0)一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的

38、光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l2x4y17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)(1)設(shè)P、Q兩點坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明y1y2=p2；(2)求拋物線的方程；(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由分析：對稱問題是直線方程的又一個重要應(yīng)用本題是一道與物理中的光學(xué)知識相結(jié)合的綜合性題目，考查了韋達定理，點關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程等知識點 及理解問題、分

39、析問題、解決問題的能力解：(1)證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x) 由式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韋達定理，y1y2=p2當(dāng)直線PQ的斜率角為90時，將x=代入拋物線方程，得y=p,同樣得到y(tǒng)1y2=p2(2)解因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M(，4)關(guān)于l的對稱點為M(x,y)，則解得 直線QN的方程為y=1,Q點的縱坐標(biāo)y2=1，由題設(shè)P點的縱坐標(biāo)y1=4，且由(1)知y1y2=p2,則4(1)=p2,得p=2,故所求拋物線方程為y

40、2=4x(3)解將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標(biāo)為(4，4) 將y=1代入直線l的方程為2x4y17=0,得x=, 故N點坐標(biāo)為(，1) 由P、N兩點坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y12=0,設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M1(x1,y1)又M1(,1)的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，1)與點M關(guān)于直線PN對稱解題回顧：在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時點關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵【例4】已知M：軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.分析：本題考察圓的性質(zhì)與直

41、線的方程，以及平面幾何知識的簡單運用。解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， 故， 所以直線AB方程是（2）連接MB，MQ，設(shè)由點M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得解題回顧：有關(guān)圓的問題，往往要運用圓的幾何性質(zhì)，如弦中點與圓心的連線與弦所在直線垂直等，適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在。 第二課時 圓錐曲線的基本問題【例5】已知橢圓C1=1的一條通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）與拋物線C2：y2=2px（p0）的通徑重合，則橢圓的離心率為 （A） A1 B C1 D分析： 由已知得=2p，c=，則b2=2ac，a2c2=2a

42、c，1e2=2e，即e2+2e1=0，則e=1，故選A 【例5備選題】（2005年全國卷）已知雙曲線=1的焦點為F1、F2，點M在雙曲線上且MF1x軸，則F1到直線F2M的距離為 （ ） A B CD【例6】雙曲線的虛軸長為4，離心率，F(xiàn)1、F2分別是它的左，右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項，則|AB|為（ ）. A、 B、 C、 D、8分析:利用雙曲線定義， AB在左支上，|AF2|-|AF1|=2a, |BF2|-|BF1|=2a |AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2

43、|, |AF1|+|BF1|=|AB| 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而 得， ，選A.解題回顧：利用好定義，是解圓錐曲線基本問題的方法之一?！纠?備選題】1、設(shè)F1、F2為橢圓兩焦點，點P是以F1，F(xiàn)2為直徑的圓與橢圓的一個交點，若PF1F2=5PF2F1，則橢圓離心率為（ ）. A、 B、 C、 D、分析:P在以F1F2為直徑的圓上，則F1PF2=90， 而PF1F2=5PF2F1，PF1F2=75， PF2F1=15， ，而|PF2|+|PF2|=2a,.2、F1、F2為橢圓兩個焦點，Q為橢圓上任一點，以任一焦點作F1QF2的外角平分線的垂線，垂足為P，則P點軌跡為（ ）

44、. A、圓 B、橢圓 C、雙曲線 D、拋物線分析:延長F2P交F1Q的延長線為M，由橢圓定義及角平分線，|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,則點M(x0,y0)的軌跡方程為. 設(shè)P點坐標(biāo)(x, y), P為F2M中點，代入，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a2, x2+y2=a2, 選A.3、雙曲線的左支上一點P，O為PF1F2的內(nèi)切圓，則圓心O的橫坐標(biāo)為（ ）.A、a B、-a C、 D、分析:設(shè)PF1，PF2，F(xiàn)1F2與內(nèi)切圓O的切點分別為M，N，Q，由雙曲線定義， |PF2|-|PF1|=2a, |PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a, 而 |DN|=|PM| ，|MF1|=|QF1|, |NF2|=|QF2| |QF2|-|QF1|=2a 又 |QF2|+|QF1|=2c, |QF2|=a+c=c-xQ, xQ=-a,OQF1F2, xQ=xQ=-a， 選B.【例7】（02北京）已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是 （ ）分析：本題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，即橢圓、雙曲線焦點求法和雙曲線漸近線方程求法.由雙曲線方程判斷出公共