高考一輪復(fù)習(xí)學(xué)案 勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題及實(shí)例分析

1、第 4 課時(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問題及實(shí)例分析基礎(chǔ)知識(shí)歸納1.圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力提供向心力，即F合F向，或F合m2r.2.豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題(1)輕繩模型：一輕繩系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).小球能到達(dá)最高點(diǎn)(剛好做圓周運(yùn)動(dòng))的條件是小球的重力恰好提供向心力，即mgm，這時(shí)的速度是做圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度vmin.(2)輕桿模型：一輕桿系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球能到達(dá)最高點(diǎn)(剛好做圓周運(yùn)動(dòng))的條件是在最高點(diǎn)的速度v0.當(dāng)v0時(shí)，桿對(duì)小球的支持力等于小球的重力；當(dāng)0v時(shí)，桿對(duì)小球提供拉力.重點(diǎn)難點(diǎn)突破一、圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題解決有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)

2、力學(xué)問題，首先要正確對(duì)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體進(jìn)行受力分析，必要時(shí)建立坐標(biāo)系，求出物體沿半徑方向的合外力，即物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所能提供的向心力，再根據(jù)牛頓第二定律等規(guī)律列方程求解.二、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題的分析，首先應(yīng)考慮達(dá)到臨界條件時(shí)物體所處的狀態(tài)，然后分析該狀態(tài)下物體的受力特點(diǎn)，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，綜合解決問題.1.在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，當(dāng)沒有支撐面(點(diǎn))時(shí)，物體速度的臨界條件：v臨.繩與小球的情況即為此類臨界問題，因?yàn)槔K只能提供拉力不能提供支持力.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，當(dāng)有支撐面(點(diǎn))時(shí)，物體的臨界速度：v臨0.桿與球的情況為此類臨界問題，因?yàn)闂U既

3、可以提供拉力，也可提供支持力或側(cè)向力.2.當(dāng)靜摩擦力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)臨界值問題.典例精析1.圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題【例1】質(zhì)量為m的物體沿著半徑為r的半球形金屬球殼滑到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，如圖所示，若物體與球殼之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，則物體在最低點(diǎn)時(shí)()A.向心加速度為B.向心力為m(g)C.對(duì)球殼的壓力為D.受到的摩擦力為m(g)【解析】物體在最低點(diǎn)沿半徑方向受重力、球殼對(duì)物體的支持力，兩力的合力提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)在此位置的向心力，由牛頓第二定律有FNmg，物體的向心加速度為，向心力為，物體對(duì)球殼的壓力為m(g)，在沿速度方向，物體受滑動(dòng)摩擦力，有FFNm(g)，綜上所述

4、，選項(xiàng)A、D正確.【答案】AD【思維提升】勻速圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)規(guī)律是物體所受合外力提供向心力，即F合F向，或F合mm2rm.這一關(guān)系是解答勻速圓周運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵規(guī)律.【拓展1】鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的，彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上行駛的速率.下表中是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之相對(duì)應(yīng)的軌道的高度差h.彎道半徑r(m)660330220165132110內(nèi)外軌高度差h(m)0.050.100.150.200.250.30(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h與r關(guān)系的表達(dá)式，并求出當(dāng)r440 m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值.(2)鐵路建成后，火車通過彎

5、道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國(guó)鐵路內(nèi)外軌的距離設(shè)計(jì)值L1.435 m，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，求出我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速率v.(路軌傾角很小時(shí)，可認(rèn)為tan sin )【解析】(1)分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)C66050103 m33 m2，因此hr33(或h)當(dāng)r440 m時(shí)，有hm0.075 m75 mm(2)轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)外軌對(duì)車輪均沒有側(cè)向壓力時(shí)，火車的受力如圖所示.由牛頓第二定律得mgtan m因?yàn)楹苄?，有tan sin 由可得v代入數(shù)據(jù)解得v15 m/s54 km/h2.圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題【例2】(2009安徽)過山車是游樂場(chǎng)中常見的設(shè)施.下

6、圖是一種過山車的簡(jiǎn)易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑R12.0 m、R21.4 m.一個(gè)質(zhì)量為m1.0 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v012.0 m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L16.0 m.小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)0.2，圓形軌道是光滑的.假設(shè)水平軌道足夠長(zhǎng)，圓形軌道間不相互重疊.重力加速度取g10 m/s2，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字.試求：(1)小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球作用力的大?。?2)如果小球恰能通過第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；(3

7、)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑R3應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離.【解析】(1)設(shè)小球經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1，根據(jù)動(dòng)能定理mgL12mgR1小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對(duì)它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律Fmgm由式解得F10.0 N(2)設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v1，由題意知mgmmg(L1L)2mgR2由式解得L12.5 m(3)要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：.軌道半徑較小時(shí)，小球恰好能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足mgmmg(L12L)2mgR3由式解得R30.4 m.

8、軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理有mg(L12L)2mgR30解得R31.0 m為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足(R2R3)2L2(R3R2)2解得R327.9 m綜合、，要使球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道半徑需滿足0R30.4 m或1.0 mR327.9 m當(dāng)0，細(xì)桿為拉力，如果v，細(xì)桿為推力，B對(duì)，D錯(cuò).【例3】如圖所示，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定于軸的A、B兩處，上面繩長(zhǎng)l2 m，兩繩拉直時(shí)與軸的夾角分別為30和45，問球的角速度在什么范圍內(nèi)兩繩始終有張力(取g10 m/s2)？【解析】設(shè)兩細(xì)繩都被拉直時(shí)，A、B繩的拉力分別為TA、T

9、B，小球的質(zhì)量為m，A繩與豎直方向的夾角為30，B繩與豎直方向的夾角為45，經(jīng)受力分析，由牛頓第二定律得：當(dāng)B繩中恰無(wú)拉力時(shí)FAsin mlsin FAcos mg由式解得1rad/s當(dāng)A繩中恰無(wú)拉力時(shí)，F(xiàn)Bsin mlBsin FBcos mg由式解得2rad/s所以，兩繩始終有張力，角速度的范圍是rad/srad/s【思維提升】此類問題中，往往是兩根繩子恰無(wú)拉力時(shí)為角速度出現(xiàn)極大值和極小值的臨界條件，抓住臨界條件、分析小球在臨界位置的受力情況是解決此類問題的關(guān)鍵.【拓展3】如圖所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線的夾角30，一條長(zhǎng)為l的繩，一端固定在圓錐體的

10、頂點(diǎn)O，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，小球以速率v繞圓錐體的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).試分析討論v從零開始逐漸增大的過程中，球受圓錐面的支持力及擺角的變化情況.【解析】(1)臨界條件：小球剛好對(duì)錐面沒有壓力時(shí)的速率為v0，小球受重力和繩子的拉力的合力提供向心力，則有F向mgtan 30 m，解得v0(2)當(dāng)vv0時(shí)，小球離開錐面飄起來，設(shè)繩與軸線夾角為，則FTsins m速度越大，繩與軸線夾角越大.易錯(cuò)門診【例4】一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R(比細(xì)管的半徑大得多)，圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)).A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2.它

11、們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0.設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，B球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是.【錯(cuò)解】依題意可知在A球通過最低點(diǎn)時(shí)，圓管給A球向上的彈力N1為向心力，則有N1m1B球在最高點(diǎn)時(shí)，圓管對(duì)它的作用力N2為m2的向心力，方向向下，則有N2m2因?yàn)閙2由最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，則有m2g2RN1N2由式解得v0【錯(cuò)因】錯(cuò)解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏規(guī)范的解題過程.沒有作受力分析，導(dǎo)致漏掉重力，表面上分析出了N1N2，但實(shí)際并沒有真正明白為什么圓管給m2向下的力.總之從根本上看還是解決力學(xué)問題的基本功受力分析不過關(guān).【正解】首先畫出小球運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力圖，如圖所示.A球在圓管最低點(diǎn)必受