二元一次方程公式

1、二元一次方程組(一) 一、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1、二元一次方程及其解集 (1)含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的次數(shù)是1的整式方程叫二元一次方程 (2)二元一次方程的解是無數(shù)多組 2、二元一次方程組和它的解 (1)含有兩個相同未知量的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組 (2)使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解 3、二元一次方程組的解法 (1)代入消元法：把其中的一個方程的某一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后代入另一個方程，就可以消去一個未知數(shù) (2)加減消元法：先利用等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)同乘以需要變形的方程的兩邊，使兩個方程

2、中某個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等，然后把兩個方程的兩邊分別相加或相減，就可以消去這個未知數(shù) 4、三元一次方程組及其解法 (1)含有三個未知數(shù)，每個方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1，并且是由三個方程組成的方程組叫做三元一次方程組 (2)解三元一次方程組的基本思想是用消元的方法把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”(將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，再將“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”) 二、例題分析： 例1: 在方程2x-3y=6中，1)用含x的代數(shù)式表示y2)用含y的代數(shù)式表示x 答案：1)y= x-2； 2)x=3+ y 例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值 解：|x|=2 x=2,或x=-2 又x+y=0 y=-2,或

3、y=2 故y+2=0,或y+2=4 例3：已知方程組 的解是 ，求a與b的值 分析：方程組的解就是適合原方程組，所以將 代入方程可以得到關(guān)于a,b的新的方程。 解：因為方程組 的解是 所以 （1）×2得2a-4=2b (3) （3）-（2）得-5=2b-2 b=- 將b=- 代入（1）得a= 答案：a= , b=- 例4：方程x+3y=10在正整數(shù)范圍內(nèi)的解有_組，它們是_。 答案：3； 例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式為_ 答案：3x-5y+17=0 例6：已知關(guān)于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。 當(dāng) k=_時，

4、方程為一元一次方程， 當(dāng) k=_時，方程為二元一次方程。 分析：題目中沒有規(guī)定未知數(shù)，所以x,y都可以。因此注意分兩種可能。 解：第一問關(guān)于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為一元一次方程， （1）或 （2） 方程組（1）的解為k=-1,(2)無解當(dāng)k=-1時原方程為一元一次方程 第二問關(guān)于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2為二元一次方程 解得k=1 當(dāng)k=1時原方程為二元一次方程 例7：二元一次方程組 的解中x與y互為相反數(shù)，求a的值 解：原方程組的解中x與y互為相反數(shù) x=-y （1） 將（1）代入原方程組，得 a= 二元一次方程

5、組（二） 一、對應(yīng)用題的觀察和分析 利用二元一次方程組解有關(guān)的應(yīng)用題時，對應(yīng)用題進(jìn)行觀察和分析，要著重注意如下三點(diǎn)： (1)題中有哪幾個未知數(shù)(包括明顯的未知數(shù)和隱含的未知數(shù))？ (2)題中的未知數(shù)與已知內(nèi)容之間有哪幾個相等關(guān)系(包括明顯的相等關(guān)系和隱含的相等關(guān)系)？題中有幾個未知數(shù)，一般就要找出幾個相等關(guān)系. (3)設(shè)立哪幾個未知數(shù)，利用哪幾個相等關(guān)系，可以較方便地把其余未知數(shù)用所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來？(利用剩下的等量關(guān)系列方程組.) 二、常見幾類應(yīng)用題及其基本數(shù)量關(guān)系 明確各類應(yīng)用題中的基本數(shù)量關(guān)系，是正確列出方程的關(guān)鍵.常遇到的幾類應(yīng)用題及其基本關(guān)系如下： 1.行程問題：基本關(guān)系式為

6、: 速度×時間=距離 2.工程問題：基本關(guān)系式為: 工作效率×工作時間=工作總量 計劃數(shù)量×超額百分?jǐn)?shù)=超額數(shù)量 計劃數(shù)量×實際完成百分?jǐn)?shù)=實際數(shù)量 3.百分比濃度問題：基本關(guān)系式為: 溶液×百分比濃度=溶質(zhì) 4.混合物問題：基本關(guān)系式為: 各種混合物重量之和=混合后的總重量 混合前純物重量=混合后純物重量 混合物重量×含純物的百分?jǐn)?shù)=純物的重量 5.航行問題：基本關(guān)系式為: 靜水速度+水速=順?biāo)俣?靜水速度-水速=逆水速度 6.數(shù)字問題要注意各數(shù)位上的數(shù)字與數(shù)位的關(guān)系. 7.倍比問題，要注意一些基本關(guān)系術(shù)語，如：倍、分、大、小等.

7、 三、例題精析 如何分析應(yīng)用題： 例1. 某單位外出參觀.若每輛汽車坐45人，那么15人沒有座位；若每輛汽車坐 60人，則恰好空出一輛汽車，問共需幾輛汽車，該單位有多少人？ 思考如下： （1）題目中的已知條件是什么？ （2）“有人沒有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知條件“每輛車坐45人，15人沒有座位”可理解成什么？“每輛車坐60人，恰好空出一輛車”又可理解成什么？ 解：設(shè)該單位共有x輛車，y個人.依題意，得 解這個方程組，得 答：該單位共有5輛車，240人. 例2. 汽車從甲地到乙地，若每小時行駛45千米，就要延誤 小時到達(dá)；若每小時行駛50千米，就可

8、以提前 小時到達(dá)。求甲、乙兩地間的距離及原計劃行駛的時間。 思考問題： （1）路程、速度、時間三者關(guān)系是什么？ （2）本題中的“延誤”和“提前”都是以什么為標(biāo)準(zhǔn)的？ （3）基于上述分析，那么已知條件“汽車每小時行使45千米，則要延誤 小時到達(dá)目的地”可理解成什么？已知條件“若每小時行駛50千米，就可以提前 小時到達(dá)目的地”又可理解成什么？ 解：設(shè)甲、乙兩地的距離為x千米，原計劃行駛時間為y小時.依題意，得 解這個方程組，得 答：甲、乙兩地間的距離是450千米，原計劃行使時間為 小時。 例3. 甲、乙兩人在周長是400米的環(huán)形跑道上散步.若兩人從同地同時背道而行，則經(jīng)過2分鐘就相遇.若兩人從同地

9、同時同向而行，則經(jīng)過20分鐘后兩人相遇.已知甲的速度較快，求二人散步時的速度.(只列方程，不求出) 分析：這個問題是環(huán)形線上的相遇、追及問題.其中有兩個未知數(shù)：甲、乙二人各自的速度.有兩個相等關(guān)系，即 (1)背向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之和=400米； (2)同向而行：兩次相遇間甲、乙的行程之差=400米. 解：設(shè)甲人速度為每分鐘x米，乙人速度為每分鐘行走y米.依題意，得 四、如何設(shè)未知數(shù) 列方程解應(yīng)用題的第一步是設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法很多，有時可直接設(shè)所求量為未知數(shù)，有時應(yīng)間接地設(shè)未知數(shù)，還有的時候需要增設(shè)輔助未知數(shù).那么，如何巧設(shè)未知數(shù)，以達(dá)到迅速解題的目的呢？ 直接設(shè)所求量為未知數(shù)

10、 例1. A，B兩地相距 20千米.甲、乙兩人分別從A，B兩地同時相向而行，兩小時后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍繼續(xù)前進(jìn)，當(dāng)甲回到A地時，乙離A地還有2千米.求甲、乙的速度. 分析：這個問題是直線行駛中的相遇、追及問題.其中設(shè)兩個未知數(shù)：甲、乙各自的速度，有兩個相等關(guān)系. 解：設(shè)甲人的速度是每小時行x千米，乙人的速度是每小時y千米.依題意，得 解這個方程組，得 合理選擇，間接設(shè)元 許多同學(xué)在解應(yīng)用題時只考慮題目要求什么就設(shè)什么為未知數(shù).這種方法有時很難尋找已知量與未知量之間的相等關(guān)系.因此，我們應(yīng)根據(jù)題目條件選擇與要求的未知量有關(guān)的某個量為未知數(shù)，以便找出符合題意的相等關(guān)系，從而達(dá)到解題的

11、目的. 例2. 從夏令營到學(xué)校，先下山然后走平路，某同學(xué)先騎自行車以每小時12千米的速度下山，而以每小時9千米的速度通過平路，到達(dá)學(xué)校共用55分鐘，他回來的時候以每小時8千米的速度通過平路而以每小時4千米的速度上山回到夏令營用了1 小時。從夏令營到學(xué)校有多少千米？ 分析：根據(jù)題設(shè)條件，若設(shè)山路長為未知數(shù)x，則由來回的平路長相等得方程： 9 ； 同樣可設(shè)平路長為未知數(shù)，由來回山路長相等得方程 12 還可設(shè)山路長和平路長分別為x千米，y千米，由來回的時間關(guān)系建立二元一次方程組 或設(shè)下山和上山的時間分別為x小時，y小時.由來回山路長和平路長分別相等得到二元一次方程組 設(shè)而不求，巧用輔助量 當(dāng)應(yīng)用題中涉及的量較多，各個量之間的關(guān)系又不明顯時，可適當(dāng)?shù)卦鲈O(shè)輔助未知數(shù)，目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作橋梁，溝通各個數(shù)量之間的關(guān)系，為列方程(組)創(chuàng)造條件.在解題過程中需將輔助未知數(shù)消去，以便求出所需未知數(shù)的值. 例1. 一客輪逆水行駛，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面