第四章 平面問題的極坐標解答

1、 在求解彈性力學(xué)問題時，無論選取什么形式的坐標系都不會影響問題本質(zhì)的描述，但卻涉及到解決問題的難易程度。 在平面問題中，對于圓環(huán)、楔形、扇形之類的物體，用極坐標比用直角坐標方便得多。這時，物體的邊界線與坐標線重合，邊界條件的形式最為簡單。 在極坐標系中，平面內(nèi)任一點的位置由徑向坐標r和環(huán)向坐標表示。在平面上r不變的曲線稱為坐標曲線，它是以原點為圓心的圓；平面上不變的曲線稱為r坐標曲線，它是過O點的直線。 在極坐標中， 由于兩切線相互垂直，所以極坐標是一種正交曲線坐標。 過這一點沿r和增加的方向引兩條坐標曲線的切線矢量，就構(gòu)成了該點的一個局部標架。 隨點的位置不同局部標架的方向?qū)l(fā)生變化。圖4-

2、1 在極坐標系中，應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量和外力分量的定義、記號和正負號都是參照局部標架來定義和規(guī)定的。比如r 面上的正應(yīng)力，用 表示，稱為徑向正應(yīng)力，其上剪應(yīng)力用 表示。 面上的正應(yīng)力，用 表示，稱為環(huán)向（或切向）正應(yīng)力，其上剪應(yīng)力表示為 . rrr圖4-24-1 4-1 極坐標中的基本方程與邊界條件極坐標中的基本方程與邊界條件 1. 平衡微分方程平衡微分方程 根據(jù)極坐標的特點，用兩個同心圓柱面和兩個徑向平面從彈性體中截出一個扇形微單元體PABC。 由于單元體尺寸很小，可以認為各微面上的應(yīng)力是均勻分布的。按泰勒級數(shù)展開，在兩個弧面上，由于有位置dr的變化，其上相應(yīng)的正應(yīng)力和剪應(yīng)力的變化量

3、為 和 ; rrrdrrrd同樣兩個徑向平面由于位置差d，其上正應(yīng)力和剪應(yīng)力的變化分別為 和 ; ddr微元體的體力: )(FFr、2dsind)d(dd)d)(rrrrdrrrrr2dcosd)(2dsindrdrrr0dd2dcosdrrFrrr下面研究微元體的平衡，將微元體上所受的力向微元體中心的徑向方向投影，得徑向平衡方程： 將微元體上的作用力向中心的切向方向投影，得切向平衡方程： d)d)(d(2dcosd2dcosd)d(rrrrrrrr2dsind2dsind)d(drrrrrrr0ddrrF將微元體上的作用力對中心取矩得:rr剪應(yīng)力互等仍然成立. 由于d是個小量，故有 和 22

4、sindd12cosd簡化以后，除以 ，再略去高階小量，得:rrdd02101FrrrFrrrrrrrrr這就是平面問題極坐標下的平衡微分方程。 2. 幾何方程幾何方程 r下面考察過物體內(nèi)一點P的兩個正交線元)dd(rPBrPA和的變形。 和 分別表示線元PA和PB的相對伸長，即徑向和切向正應(yīng)變， 表示該兩個正交線元直角的變化，即剪應(yīng)變。 ruur、分別表示P點的徑向和環(huán)向位移。假定正交線元PA、PB的變形分兩步完成： 第1步：只有徑向位移，而沒有環(huán)向位移（圖4-4(a)）。 這時，徑向線元PA移到PA，環(huán)向線元PB移到PB。；rudrruurrdrruuP點的位移為B點的位移為A點的位移為徑

5、向線元PA的正應(yīng)變：PAPPAAPAPAAPr)1 (rururruurrrrd)d(環(huán)向線元PB的正應(yīng)變:rurrurPBPBBPrrddd)()1 (直角的變化（剪應(yīng)變）: rrrrrurruuuPBPPBB1d)d()1(第2步：只有環(huán)向位移，而沒有徑向位移（圖4-4(b)）。 AP BP 徑向線元PA移到 ，環(huán)向線元PB 移到 。uP點的位移： A點的位移： rruudB點的位移： duu徑向線元PA的正應(yīng)變： 0)2( PAPAAPr環(huán)向線元PB的正應(yīng)變： PBPPBBPBPBBP )2(urruuu1d)d(直角的改變量（剪應(yīng)變）：rrrrruuCPCAAArd)d()d()2(

6、rururrurrrruud)d()d(將（3）（5）三式與（6）（8）三式分別疊加，得物體的任一點P的應(yīng)變： ruruururrururrrrr11這就是極坐標平面問題幾何方程。 3. 本構(gòu)方程本構(gòu)方程 由于極坐標與直角坐標都是正交坐標，只是通過同一點的兩組坐標架相對轉(zhuǎn)動了一個角度，而材料又是各向同性的，與方向無關(guān)。所以，只須將直角坐標下本構(gòu)方程中的x、y用r、替換即得極坐標下的本構(gòu)方程如下：rrrrrEEE)1 (2),(1),(1rrrrrEEE)1 (2),(1),(122或者 4. 邊界條件邊界條件 力的邊界條件： TmlTmlrrrr這里的外法線方向余弦（l, m）是對局部標架定義

7、的， rTT、 表示沿r和方向的給定面力分量。 位移邊界條件： rruu uu4-2 4-2 極坐標中的應(yīng)力函數(shù)極坐標中的應(yīng)力函數(shù) 相容方程相容方程已知在直角坐標中的相容方程為 022（常體力），式中拉普拉斯算子 22222yx同樣，在極坐標系中，也可得到類似的應(yīng)力函數(shù)表示的控制方程，為了導(dǎo)出極坐標下的相容方程，最簡單的辦法是對算子進行變換。直角坐標與極坐標的關(guān)系如下： sincosryrx或arctg(y/x)22yxr 將r 和 分別對x、y 求偏導(dǎo)數(shù)：rrxxxyyrryxyxyxryyxyyrrxyxxxrcos111sin11sin2cos2222222222222根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的

8、鏈式法則，并引用（2）式得rryyrryrrxxrrxcossinsincos由此，對坐標x、y的二階偏導(dǎo)為：222222222222222222222222222222222222cossin sincoscossinsincoscossin1cos1cossin21cos1cossin2sin1sin1cossin21sin1cossin2cos)1sin)(cos1sin(cos)(rrrrrrryxrrrrrrryrrrrrrrrrrrxxx22x22y將 和 相加得： 22222222211rrrryx代入在常體力下的相容方程，于是得極坐標中的應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程 ：0)11(22

9、2222rrrr) ,(r式中 ，為應(yīng)力函數(shù)。 應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，可按下述方法導(dǎo)出。 我們注意到，當 時，x、y 軸分別與r、 軸重合，此時應(yīng)力分量 分別與應(yīng)力分量 對應(yīng) 0 xyyx、rr、)1()()()()(11)()(0202202202220220rryxrxrrryxyryxr 用極坐標按應(yīng)力函數(shù)法求解常體力平面問題，就是尋求滿足邊界條件的微分方程（4-7）的解。求出應(yīng)力函數(shù)以后，代入（4-8）式可得問題的應(yīng)力解，在多連體中，這些應(yīng)力分量還要滿足位移單值的附加條件。 4-3 4-3 應(yīng)力軸對稱問題及其相應(yīng)的位移應(yīng)力軸對稱問題及其相應(yīng)的位移 在工程中，常常會遇到結(jié)構(gòu)的形狀

10、和所承受的外力不隨極角變化的問題。例如火炮炮筒、高壓容器、氣缸、旋轉(zhuǎn)圓盤等。在這類問題中，由于結(jié)構(gòu)及受力均對稱于它的中心軸(z)，故其應(yīng)力只與r有關(guān)，與極角無關(guān)，由于對稱性，只有正應(yīng)力，而剪應(yīng)力為零，稱此類問題為平面軸對稱問題。對于象曲桿純彎曲這類問題，其應(yīng)力也具有這種特點(與無關(guān))，但結(jié)構(gòu)不具有對稱性，稱為應(yīng)力軸對稱問題。由應(yīng)力分布的上述特點，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù)形式為： )(r0)1)(1(2222drdrdrddrdrdrd相容方程： 02222333444drdrdrdrdrdrdrdr展開上式得： 這是一個變系數(shù)歐拉方程，其通解為DCrrBrrA22lnln式中，A、B、C、D是待定系數(shù)。

11、將代入式（4-8），得應(yīng)力分量：02)ln23(2)ln21 (12222rrCrBrAdrdCrBrAdrdr位移分量： 將（4-9）式代入本構(gòu)方程（4-3）得應(yīng)變分量為 0)1 (2ln)1 (2)3()1 (1)1 (2ln)1 (2)31 ()1(122rrCrBBrAECrBBrAE幾何方程： rurrurrur101ruruurr積分可得位移分量： )()1 (2) 1(ln)1 (2)31 ()1 (1fCrrBrBrrAEdrurr（2） 將（4-10）的第2式及（2）式代入幾何方程 的第二式：)(4fEBrurur積分得：)()(4rgdfEBru將式（2）和式（3）代入幾何

12、方程第三式： （3） dfddfdrrdgrrg)()()()(若要上式恒定成立，只可能是兩邊都等于某個常數(shù)F，于是有 FdfddfFdrrdgrrg)()()()(（4） 由上式解得： FHrrg)(將（4（b）兩邊對求導(dǎo)，方程變?yōu)椋?0)()(22fdfdsincos)(KIf其解： 則由式（4(b)）得： cossind)(KIFf軸對稱應(yīng)力相應(yīng)的位移分量： 1 (1)2(1)ln(1)2(1)cossin4cossinrAuBrrBrErCrIKBruHrKIE（4-11） 式中，A、B、C、H、K、I為待定系數(shù)，由邊界條件和約束條件確定。式（4-9）表明，待定系數(shù)H、K、I與應(yīng)力無關(guān)

13、，它們代表剛體位移。sincossincosIKHruKIur對應(yīng)于無應(yīng)力狀態(tài)的位移為：（8） 下面討論待定系數(shù)H、K、I的物理意義。首先，從圖4-5的投影關(guān)系中可以得到，直角坐標下的位移與極坐標下位移的關(guān)系為： cossinsincosuuvuuurr（4-12） 將（8）代入（4-12）得cossinHrKvHrIu可見，I、K 分別是物體沿x 和y 方向的剛體平移，H 的意義可參見圖4-6，它代表繞對稱軸的剛體轉(zhuǎn)動。一般地，與軸對稱應(yīng)力相對應(yīng)的位移不是軸對稱位移。但如果物體的幾何形狀、載荷和約束是軸對稱的，則必為軸對稱位移，即 )(ruurr0u則由（4-11）式，有 0IKHB代入（4

14、-9）式得應(yīng)力：222 , 2 , 0rrACrACr 位移： 0)1 (2)1 (1uCrrAEur 如果物體是實心的，由于中心處的應(yīng)力不可能是無限大，故 0A此時，應(yīng)力分量為： Cr2此式表明，具有軸對稱幾何和載荷作用的實心物體，其應(yīng)力場為均勻應(yīng)力場。 4-4 4-4 圓環(huán)或圓筒問題圓環(huán)或圓筒問題 1 受內(nèi)、外壓作用的圓環(huán)或圓筒受內(nèi)、外壓作用的圓環(huán)或圓筒圓環(huán)或厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，內(nèi)部受均壓 外部受均壓 ，求應(yīng)力分量。 aqbq圖4-7由于結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，其應(yīng)力解為： 解：222 ,2 ,0rrACrACr邊界條件： 0)( )(0)( )(brrbbrrarraarrqq

15、其中邊界條件： 0)(brarr已自動滿足 由其余二式得：baqCbAqCaA2 ,222解之得： 2222)(abqqbaAab)(22222abbqaqCba應(yīng)力分量： 222222222222222211,1111,110rababrbarrqqbaabbarrqqbaab 2 . 圓筒受內(nèi)壓，外邊界給定位移約束圓筒受內(nèi)壓，外邊界給定位移約束圓筒內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓q作用，外邊界固定。這是一個混合邊值問題。邊界條件： 解:0)( 0)(0)( )(brbrrarrarruuq圖4-8顯然， 0)(arr0)(bru已自然滿足 將（4-13）第一式和（4-14）第一式分別代入其余

16、兩式，并注意到在平面應(yīng)變問題中 1 ,12EE02)1)(21 (122CbEbAEqCaA由此可解得： 2222222)21 (2 , q )21 ()21 (abqaCabbaA應(yīng)力分量： 0)21 ()21 ()21 ()21 (222222222222rrabrbrqaabrbrqa位移分量：0)()21()21)(1 (2222urrbabEqaur3 . 彈性接觸問題彈性接觸問題 設(shè)一圓筒，其內(nèi)徑為a，外徑為b，埋在無限大彈性體中，內(nèi)部受均壓q，求應(yīng)力分量. 設(shè)圓筒上的應(yīng)力分量： 解：rr、位移分量： uur、彈性常數(shù)： 、E無限大彈性體中的應(yīng)力分量： rr、圖4-9位移分量： u

17、ur、彈性常數(shù)： 11、E對兩個結(jié)構(gòu)，應(yīng)力和位移均為軸對稱，于是可采用公式（4-13）和（4-14）。但由于彈性常數(shù)不同，上式中，兩個結(jié)構(gòu)對應(yīng)的待定系數(shù)也不同，對于圓筒設(shè)其為A、C；對于無限大彈性體，設(shè)其為。 CA、圓筒應(yīng)力：CrACrAr2 ,222無限大彈性體應(yīng)力： CrACrAr2 ,222現(xiàn)在利用邊界條件和接觸條件來確定這4個待定未知數(shù)。（4） （5） （）圓筒： qarr)(對于無限大體，按照圣維南原理，圓孔內(nèi)壁（r=b）所受的內(nèi)壓是平衡力系，在 r應(yīng)力應(yīng)為零，即 0)(rr0)(r由此得 0C（）對于無限大體邊界條件和接觸條件：（6）22ACqa （7） （）接觸條件： brrbr

18、r)()(將式（4）和（5）代入上式，得222bACbA（8） brrbrruu)()(由（4-14）的第1式，并注意到（7）式，圓筒和無限大彈性體的徑向位移為CrrAEur)11 (2)11 (12rAEur)11 ()1 (11121代入連續(xù)條件，經(jīng)整理得 bAEbACbE111)21 (21（9） 由方程（6）（8）（9）可求出A、C、A， 圓筒及無限大彈性體的應(yīng)力分量和位移分量： 222222221 (1 2 ) (1),1 (1 2 ) (1)1 (1 2 ) (1)1 (1 2 ) (1)0rrbnnrqbnnabnnrqbnna 無限大彈性體： 0)1 ()21 (1 )1 (2

19、2222rrnabnrbnq)1 ()1 (11EEn式中1n當時，應(yīng)力分布大致如圖4-9所示。 這個問題是一個最簡單的彈性接觸問題。在接觸問題中，通常都假定各彈性體在接觸面上保持“完全接觸”，即，既不互相脫離也不互相滑動。應(yīng)力方面的接觸條件是：兩彈性體在接觸面上的正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等；位移方向的接觸條件是：兩彈性體在接觸面上的法向位移相等，切向位移也相等。 4-5 4-5 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲狹長矩形截面的圓弧形曲梁，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，兩端受有大小相同，方向相反的力矩M作用，如圖4-10所示。 力的平衡條件可知，梁的所有各徑向截面上的彎矩相同，因而可認為各截面上的應(yīng)力分布也相同

20、，即曲梁的純彎曲是一個應(yīng)力軸對稱問題。解:由于其幾何結(jié)構(gòu)不滿足軸對稱條件，故應(yīng)力分量和位移分量應(yīng)采用關(guān)系式（4-9）和（4-11）。其中待定常數(shù)A、B、C通過邊界條件來確定，在曲線邊 0)( , 0)(0)( , 0)(brrbrrarrarr0)(,barr顯然 條件能自然滿足。 將式（4-9(a)）代入其余兩個條件，得 02)ln21 (2CaBaA02)ln21 (2CbBbA()上端面 d , 0d , 0 babarMrTrrTT邊界條件:（3） （2） 注意到該面為負面，其應(yīng)力邊界條件為：babarrMMdrrdrT 0 00)()(0)(0)(0r由于 故（4(a)）式自然滿足。

21、下面討論邊界條件（4(b)）。 （4） 22 ,1drddrdrr在軸對稱應(yīng)力問題中，應(yīng)力分量： 由此，（4(b)）式左邊積分可以改寫為barbabardrddrdrd000 22)()()(arrbrrab00)()(（5） 2)ln21 (2)ln21 (22CaBaAaCbBbAb顯然，如果（2）、（3）式能夠滿足，則上式為零，即邊界條件（4(b)）也得到滿足，故下面不必考慮。 將（5（b）式代入邊界條件（4(c)）積分后，得 MabCaabbabBbaA)()lnln()(ln222222（6） 由式（2）、（3）、（6）式解得)lnln(2)()(2 ln422222222aabba

22、bNMCabNMBabbaNMA（7） 222222)(ln4)(abbaabN其中 應(yīng)力沿徑向截面的分布規(guī)律大致如圖4-11所示。 將所得到的A、B、C代入式（4-11）中，即可求得曲梁受純彎曲時的位移分量，其中待定系數(shù)H、K、I由約束條件來確定。假設(shè)梁在上端面的中點，即在 2 , 00barr0)()()(000000rrrrrrrruuu0000001(1)(1)2(1)ln2(1)HKAIBrBrrErCr應(yīng)用式（4-11）可定出積分常數(shù) 將（7）和（8）式代入（4-11），即可得到位移分量。其中環(huán)向位移sin4IEBru（8） （4-20 下面考察一個例子: 設(shè)開口圓環(huán)， 其開口為的

23、微小角度，如圖4-12所示?，F(xiàn)將兩端用焊接方法接合起來,試求焊接后圓環(huán)內(nèi)的應(yīng)力。圖4-12 此結(jié)構(gòu)的的受力情況，相當于在某外力作用下產(chǎn)生的位移使其剛好閉合，即應(yīng)滿足位移連續(xù)條件：解：Ruuuurr0220（9） ru條件自動滿足，而由式（4-20）可得REBR24解得 8EB 將B代回（7（b）式得到將缺口用焊接方式強行焊合時在環(huán)內(nèi)引起的內(nèi)力矩M，進一步代入式（4-19）就求得其中的應(yīng)力分量，即圓環(huán)的裝配應(yīng)力。 4-6 4-6 含小圓孔平板的拉伸含小圓孔平板的拉伸考慮一個內(nèi)部有一圓孔的平板，圓孔的半徑為a，相比較于平板的長和寬是一個小量，即相對于圓孔，平板可看作無限大，平板兩端受有均勻拉力q，

24、如圖4-13所示。 圖4-13解：在該問題中，外邊界是直線邊界，內(nèi)邊界為圓曲線邊界，這樣直接求解，有一定困難。通過下述分析，我們可以將其轉(zhuǎn)換為圓環(huán)問題，在極坐標下求解。 與無孔板比較，由于圓曲線內(nèi)邊界僅是該問題的很小一部分邊界，由圣維南原理可知，在離邊界足夠遠的地方，應(yīng)力將不受該段邊界條件的影響。由此，可在平板上取一與圓孔同心半徑為b的大圓，ba。這時，大圓上每一點應(yīng)力分量由受單向均勻拉伸的無孔板應(yīng)力場確定，即大圓邊界上有 qx0y0 xy由應(yīng)力坐標變換公式： )sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr可得到用極

25、坐標表示的形式2sin22cos222cos22qqqqqrr()cos222rr bqq()sin2rr bq 將外載荷分為如下兩組： 0 , 2TqTr2sin2 ,2cos2qTqTr （1） （2） 原問題轉(zhuǎn)化為如下新問題，在外邊界上： 顯然，第一組面力所對應(yīng)的問題是圓環(huán)外邊界受均勻拉力的問題，由（4-15）式，該問題的解答是。 22221(1), 21 (1), 2 0rraqraqr 第二組面力所對應(yīng)的問題較為復(fù)雜，可從其所受面力分析入手。在外邊界上邊界條件為： 2sin2)(2cos2)(qqbrrbrr在內(nèi)邊界上，無外力作用，邊界條件為：0)( , 0)( arrarr（4（a

26、） （4（b） 由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系： 2222211,1()rrrrrrr r （4-8） 可以看出，要滿足外邊界條件（4(a)），則應(yīng)力函數(shù) 中應(yīng)當含有 因子。而從內(nèi)邊界到外邊界 和 都是變化的，即 與r有關(guān)， 是r 的函數(shù)，由此可假設(shè)，應(yīng)力函數(shù)： 2cosrr、rr2cos)(rf必須滿足相容方程，則： 0)(9)(9)(2)(2cos32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd（5） 這是歐拉型常微分方程，求解可得 224)(rDCBrArrf2cos)(224rDCBrAr（6） 將應(yīng)力函數(shù)（6）代入（4-8）得應(yīng)力分量： 2sin)6226(2cos)621

27、2(2cos)642(4224242rDrCBArrDBArrDrCBrr代入邊界條件（4）得方程：（7） 264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa 由此解得： 4 ,21 ,4 , 042qaDqaCqBA在求解過程中，應(yīng)用了 0ba將系數(shù)A、B、C、D代回（7）式得 2sin)321 (212cos)31 (212cos)341 (214422444422raraqraqraraqrr（8） （4-21） 根據(jù)疊加原理，將與兩組面力相對應(yīng)的兩組解答（3）和（8）相加，即得到問題的解答： 2sin)321 (212cos)3

28、1 ()1(212cos)341 ()1(2144224422442222raraqraraqrararaqrrrrrr環(huán)向應(yīng)力分量的分布特點： )23211 ()(4422232 raraq或) 13(21)(22220 raraq或沿孔邊周向： )2cos21 ()(qar由以上分析可見，最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在孔的邊最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在孔的邊緣處，其值為緣處，其值為3q，隨著距孔邊距離的增大，隨著距孔邊距離的增大，環(huán)向應(yīng)力迅速衰減至無孔狀態(tài)時的應(yīng)力環(huán)向應(yīng)力迅速衰減至無孔狀態(tài)時的應(yīng)力q，這一現(xiàn)象即是孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象。這一現(xiàn)象即是孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象。 孔邊應(yīng)力集中現(xiàn)象是一種局部現(xiàn)象，在約5倍于孔邊距離

29、時，該處的應(yīng)力已不受孔的影響，這也從數(shù)值上驗證了圣維南原理。 利用上述結(jié)果，通過疊加原理，可以得到等值或不等值拉壓、純剪切、孔邊均勻壓力等含小孔平板的應(yīng)力解答。 4-7 4-7 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力1. 頂端受集中力頂端受集中力P的問題的問題(圖4-15) 取圖示坐標系，P是任意集中力，它與楔體中心線夾角為，楔頂角為。 下面采用半逆解法求解 用量綱分析方法來尋求問題的應(yīng)力函數(shù)。描述問題的物理、幾何參數(shù)有P、r、 ，其中，P是單位厚度上的力(由平面問題的載荷特性)，量綱是力長度-1，、為無量綱量，r的量綱是長度。顯然，應(yīng)力分量的表達式是由P、r、 構(gòu)成，而應(yīng)力的量綱是力長

30、度-2),(FrP故從量綱上看，應(yīng)力分量在形式上應(yīng)為其中，F(xiàn) 為無量綱函數(shù)。我們注意到應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系（4-8），應(yīng)力函數(shù) 在r 的冪次上應(yīng)比應(yīng)力分量高兩次，即)(),(2rfrFrP由上式，可以假設(shè))(rf（1） 代入相容方程得： 0)11(222222rrrr（2） 0)()(2)(2244fdfddfd化簡后得： 這是一個常系數(shù)常微分方程，其解為)sincos(sincos)(DCBAf)sincos( sincosDCrBrAr于是： （3） 0)1(0)sincos(21122222rrrCDrrrrrr由此，得各應(yīng)力分量：邊界條件: ()側(cè)面邊界 0)(, 0)(22r已自

31、動滿足 在頂端，受一集中力作用，應(yīng)力很大，要超過彈性極限，因此必須考慮O點附近以外的區(qū)域。為此，取以楔頂為圓心，r為半徑的扇形體，如圖4-15（b）所示，由該扇形塊的平衡得出由力的邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件：()平衡條件：0sin sin :0cos cos :2 2 2 2 PdryPdrxrr方向平衡條件方向平衡條件r將 代入上式: 2 2 22 2 20sin)sincossin(20cos)cossincos(2PdCDPdCDsinsinPCsincosPD求解后，可得 應(yīng)力分量 0, 0)sinsinsinsincoscos(2rrrP這個解答稱為密切爾解答。2. 楔塊頂端受一集中

32、力偶楔塊頂端受一集中力偶M的問題的問題（圖4-16）。 從量綱的角度，應(yīng)力的形式應(yīng)為)(2、FrM應(yīng)力函數(shù)在r 的冪次上比應(yīng)力高兩次，故有形式: )() ,(22frFrM由此，可假設(shè)應(yīng)力函數(shù): )(f圖4-16將上式代入相容方程得:0)()11(222222frrrr化簡可得0)(4)(2244dfddfd求解可得: DCBAf2sin2cos)(（6） 該問題是一個反對稱問題，即 是關(guān)于的奇函數(shù)， 是關(guān)于的偶函數(shù)，由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系可知， 應(yīng)是的奇函數(shù)，故 、rrA = 0 D = 0 應(yīng)力分量: 22222222cos2)1(02sin411rCBrrrrBrrrrr（7） 式中

33、待定系數(shù)B、C由邊界條件確定。()左右兩邊界上: 0)( , 0)(22r（8） 顯然，第一式已自動滿足。由第二式得: cos2BC（9） ()由扇形體的力矩平衡02 2 Mrdraar（10） 此即集中力矩M轉(zhuǎn)化以后的邊界條件。 將表達式（7(c)）代入上式，積分后得 )cos(sin2MBcossincosMC將B，C代回式（7），即得英格立斯解答： 22)cos(sin)cos2(cos0 ,)cos(sin2sin2rMrMrr3. 楔形體側(cè)邊受均布荷載的問題楔形體側(cè)邊受均布荷載的問題（圖4-17） 兩個側(cè)面受均布剪力q，本問題同上面兩問題求解思路一樣。由于q的量綱是力長度-2 ，故從

34、量綱分析和應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量關(guān)系可知，應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)有如下形式： 應(yīng)力分量： ) ,(qF應(yīng)力函數(shù)： )( ),(22frrqF可設(shè) )(2fr（11） 圖4-17代入相容方程并化簡，可得 0)(4)(2244dfddfd求解可得 DCBAf2sin2cos)()2sin2cos(2DCBAr（12） 應(yīng)力分量為 CBADCBADCBArr2cos22sin2222sin22cos2222sin22cos2邊界條件： qr22)(0)(qr22)(0)(（14） 將應(yīng)力表達式代入上面邊界條件，可求解得到A、B、C、D四個待定常數(shù)，代回應(yīng)力表達式（13），即可得到應(yīng)力解答sin2sin)ctgs

35、in2cos()ctgsin2cos(qqqrr4. 半平面體邊界上受法向壓力半平面體邊界上受法向壓力 , 0對于楔頂受集中力P的問題，令 則問題就變?yōu)橐粋€半平面體受法向集中荷載問題，這就是著名的符拉芒（Flamant）問題，如圖（4-18）所示. 則應(yīng)力分量為： 0, 0cos2rrrP（4-25） 圖4-18利用坐標變換式（見5-1（5-3）式或者習題（4-2），可得直角坐標系下的分量形式 :222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx（4-25） 進一步，利用上面的解答，通過積分，可得到半平面體在邊界上受任意法向分布力的解答。 如圖4-19所示，在半平面體區(qū)間AB段上有一法向分布力荷載 )(yq考察在AB段上任取一微荷載：qddP 借助于集中力解答（4-25），通過坐標平移，可得到在dP作用下任一點M(x, y)的應(yīng)力為圖4-19222222222223)()(2)()(2)(2yxyxqddyxyxqddyxxqddxyyx對上式積分，即可求得該問題應(yīng)力解答 abxyabyabxdyxyqxdyxyqxdyxqx - 2222 - 2222 - 2223)()(2)()(2)(2（4-26） 4-8 4-