三角形全等之倍長(zhǎng)中線(含答案和練習(xí))

1、三角形全等之倍長(zhǎng)中線1.如圖，AD為八ABC的中線.(1)求證：AB+AC>2AD.(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范圍.2 .如圖，在ABC中，AD平分/BAC,且BD=CD.求證：AB=AC.3 .如圖，CB是4AEC的中線，CD是4ABC的中線，且AB=AC.求證：CE=2CD;CB平分/DCE.4 .如圖，在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD點(diǎn)，BE=AC,BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F.求證：/AEF=/EAF.5 .如圖，在ABC中，AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF/交AB于點(diǎn)G,BG=CF.求證：AD為4ABC的角平分線.ABDCAABDCCEBDAABDCAD

2、交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,精選FAGBED CFABED C6.如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，且AFXAB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的長(zhǎng).7.如圖，在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,ZXFEB為等腰直角三角形，/FEB=90°,連接FD,取FD的中點(diǎn)G,連接EG,CG.求證：EG=CG且EGLCG.【參考答案】1.(1)證明：如圖,E延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接BE,.AE=2AD.AD是4ABC的中線.BD=CD在4BDE和4CDA中BDCD1 2EDAD.-.BDEACDA(SAS)BE=AC在AABE中，AB+B

3、E>AE.AB+AC>2AD(2)解：由可知AE=2AD,BE=AC在AABE中，ABBE<AE<AB+BE.AC=3,AB=5 .53<AE<5+32<2AD<8 1<AD<42.證明：如圖，延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連接BE.在AADC和AEDB中CDBD34ADED.ADCAEDB(SAS).AC=EB,/2=/E.AD平分/BAC/1=/2/1=/E.AB=BE.AB=AC3.證明：如圖，r延長(zhǎng)CD至IF,使DF=CD,連接BF.CF=2CD,.CD是ABC的中線BD=AD在ABDF和AADC中BDAD21DFDC.BDFA

4、ADC(SAS.BF=AC,Z3=ZA,.CBMAAEC的中線BE=ABvAC=AB；BE=ACBE=BFvZCBE是ABC的一個(gè)外角ZCBE=ZBCA+ZA=ZBCA+Z3vAC=ABZBCA=ZCBAZCBE=ZCBA+Z3=ZCBFftACBEffiACBF中CBCBCBECBFBEBF.CBEACBF(SASCE=CF,Z4=Z5CE=2CDCB平分/DCE4.證明：如圖，延長(zhǎng)AD至IM,使DM=AD,連接BM.7MD是BC邊的中點(diǎn)BD=CD在ADC和4MDB中CDBDADCMDBADMD.ADCAMDB(SAS)./CAD=/M,AC=MBvBE=ACBE=MB.M=/BEM./CA

5、D=/BEM/AEF=/BEM./CAD=/AEF即/AEF=/EAF5.證明：如圖，延長(zhǎng)FE至ijM,使EM=EF,連接BM.M點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)BE=CE在4CFE和4BME中FEMECEFBEMCEBE.CFEABME(SAS).CF=BM,/F=/MvBG=CFBG=BM ./3=/M ./3=/F AD/EF；/2=/F,/1=/3/1=/2即AD為AABC的角平分線.6.解：如圖，延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.vAD/BC./3=/G點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)DF=CF在AADFffiAGCF中3G1 2DFCF.AADFAGCF(AAS).AD=CG.AD=2.7CG=2.7vAE=BE .

6、/5=/BvABXAF./4+/5=90°/B+/G=90° ./4=/GEG=AE=5 .CE=EGCG=52.7=2.37.證明：如圖，延長(zhǎng)EG,交CD的延長(zhǎng)線于M.由題意，/FEB=90°,/DCB=90° ./DCB+/FEB=180°EF/CD ./FEG=/M 點(diǎn)G為FD中點(diǎn)FG=DG在AFGE和ADGM中FEGMFGEDGMFGDG.FGEADGM(AAS) .EF=MD,EG=MG.FEB是等腰直角三角形EF=EBBE=MD在正方形ABCD中，BC=CDBE+BC=MD+CD即EC=MC .ECM是等腰直角三角形vEG=MGEG

7、XCG,/ECG=/MCG=45°EG=CG全等三角形之倍長(zhǎng)中線每日一題1. （4月21日）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AB=AD+BC,E是CD的中點(diǎn).求證：AEXBE.2. （4月22日）已知：如圖，ABC與BDE均為等腰直角三角形，BAXAC,EDXBD,垂足分別為A,D,連接EC,F為EC中點(diǎn)，連接AF,DF,猜測(cè)AF,DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.3. （4月23日）已知：如圖，D為線段AB的中點(diǎn)，在AB上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A,B,D重合），分別以AC,BC為斜邊在AB同側(cè)作等腰RtACE與等腰RtBCF,/AEC=/CFB=90°,連接DE

8、,DF,EF.求證：DEF為等腰直角三角形.4. （4月24日）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB/DC,E為BC邊的中點(diǎn)，/BAE=/EAF,AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.試探究線段AB與AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.【參考答案】1 .證明：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.AD.AD/BC.D=/DCF,/DAE=ZFE是CD的中點(diǎn)DE=CE在AADE和AFCE中/D/FCEDAEFDECE.ADEAFCE(AAS).AD=FC,AE=FEvAB=AD+BCAB=CF+BC=BF在AABE和AFBE中ABFBBEBEAEFE.ABEAFBE(SSS./AEB=/FEB=90°

9、;即AE±BE2 .解：AFXDF,AF=DF,理由如下:延長(zhǎng)DF交AC于點(diǎn)P.A精選vBAXAC,ED±BD ./BAC=/EDA=90°DE/AC ./DEC=/ECA.F為EC中點(diǎn)EF=CF在AEDF和CPF中DEFPCFEFCFZEFDZCFP.-.EDFACPF(ASA) .DE=CP,DF=PFABC與ABDE均為等腰直角三角形 .AB=AC,DE=BDABBD=ACDE=ACCP即AD=AP在ADAF和APAF中DFPFAFAFADAP.DAFAPAF(SSS丁./DFA=/PFA=900,/DAF=/PAF=45AFXDF,AF=DF3.證明：延長(zhǎng)

10、ED到點(diǎn)G,使DG=DE,連接BG,FG.D為線段AB的中點(diǎn) .AD=BD在AEDA和AGDB中EDGD/EDA/GDBDADB.EDAAGDB(SAS) .EA=GB,/A=/GBD ACE與乙BCF是等腰直角三角形 .AE=CE=BG,CF=FB,/A=/ECA=/FCB=/FBC=45 ./ECF=90°,/GBF=/GBD+/FBD=90°在AECF和AGBF中ECGB/ECF/GBFCFBF.ECFAGBF(SAS) .EF=GF,/EFC=/GFBvZCFB=/CFG+/GFB=90° ./EFG=/EFC+/CFG=90°在AEFD和AGF

11、D中EFGFFDFDEDGD.-.EFDAGFD(SSS ./EDF=/GDF=90°,/EFD=/GFD=45° .DE=DF .DEF為等腰直角三角形4.解：AB=AF+CF,理由如下：延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.ADG.E為BC邊的中點(diǎn)BE=CE/AB/DC.B=/BCG,/BAG=/G在AABE和AGCE中/B/GCE/BAE/GBECE.ABEAGCE(AAS) .AB=GC ./BAE=ZEAF.G=/EAF .AF=GF.GC=GF+FC .AB=AF+CF三角形全等之倍長(zhǎng)中線(隨堂測(cè)試)1 .在4ABC中，AC=5,中線AD=4,則邊AB的取值范圍是:2

12、.已知：如圖，在ABC中，ABwAC,D,E在BC上，且DE=EC,過D作DF/AB交AE于點(diǎn)F,DF=AC.求證：AE平分/BAC.A【參考答案】1 .3<AB<132 .證明略（提示：延長(zhǎng)AE到點(diǎn)G,使EG=EF,連接CG,證明DEF0/XCEG）.三角形全等之倍長(zhǎng)中線（作業(yè)）1 .已知：如圖，在4ABC中，AB=4,AC=2,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，且AD是整數(shù)，則AD=2 .已知：如圖，BD平分/ABC交AC于D,點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且AD=DE,EF/BC交BD于F.求證：AB=EF.A3 .已知：如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB,AC為直角邊向外作等腰直角三角形.求證：EF=2AD.4 .如圖，在ABC中，AB>AC,E為BC邊的中點(diǎn)，AD為/BAC的平分線，過E作AD的平行線，交AB于F,交CA的延長(zhǎng)線于G.求證：BF=CG.5 .如圖，在四邊形ABCD中，AD/BC,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，連接AF,若/DAF二/EAF,求證：AFXEF.【參考答案】1.2