《固體物理學(xué)》第一二章參考答案

1、精品文檔第一章晶體結(jié)構(gòu)1.1、因此，可以把這些原解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結(jié)構(gòu)。子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積nV用率，xVc(1)對于簡立方結(jié)構(gòu)：(見教材P2圖1-1)Vc之比，即：晶體原胞的空間利4 a=2r, V= 343-r- x 3一 x -3-ar3 , Vc=a3, n=143-r.3 0.528r 6(2)對于體心立方：晶胞的體對角線BG= <13a 4r a4

2、.3x3n=2, Vc=a32 433 a3"8"0.68(3)對于面心立方：晶胞面對角線BC= . 2a 4r,n=4,Vc=a4 4_3_3a434 一 r3(2.2r)30.74(4)對于六角密排:a=2r晶胞面積：S=6 S ABOADa asin60 3.3 2晶胞的體積:V= S33、. 2a3c 3.3 2C a224、, 2r3n=1212 - 643=6個(gè)24 .'2r3、260.74(5)對于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對角線BG= .3a4 2r8r.3n=8, Vc=a38 4 r3x -a8 - r3383 3r3.3、360.341.2、試證：六

3、方密排堆積結(jié)構(gòu)中a (8)i/21.633a=2r的正三角形,證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）由倒格子基矢的定義:rbla3)0,r j,r ai33)0,r a2r a30,rair a2a r 2(ja J 2(ia r 2(irk)rk)r j)r r ri j k)rbi2a7(r k)r k)同理可得:r b2r b32 r 一(i a(r ark）即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。 rk）證明：在六角密堆積結(jié)構(gòu)中，第一層硬球A、B、。的中心聯(lián)線形成一個(gè)邊長第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個(gè)球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R

4、.即圖中NABO構(gòu)成一個(gè)正四面體。 1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。所以，面心立方的倒格子是體心立方。（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）r a / r2( i2rara2(ira ra3(ir k)r k)r k)一，r 2 r r由倒格子基矢的定義：b （a2 a3）ai Aa3)a2a,2 a2,a2, a2 a2,a2 a2 a23a r r,a2 a32r i ,a2a2r j,a2a,2r ka2a2r (jr k)v v v1.5、證明倒格子矢量Ghibih2b2證明:uuu 因?yàn)镃Av a hiv也h3uuuCBv v v生也，

5、(vh2h3v v vhi6h2b2h3b3r 2a2 rr2 rrb12 77(jk)T(jk)r 2 r rb2 （i k）同理可得： a即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。r 2 r rb3 一（i j） a所以，體心立方的倒格子是面心立方。vh3b3垂直于密勒指數(shù)為（hih2h3）的晶面系。v v利用a bjv v所以，倒格子矢量G h1blvuur6卜m3 cAvuuuGhih2h3 cBv vh2b2 h3b3垂直于密勒指數(shù)為（h1h2h3）的晶面系。i.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為（h,k,l）的晶面系，面間距d滿足：d2 a2/（h2 k2 l2）,其中a為

6、立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。vrrv vvvv v斛：間單立方日日格： aia2a3,aiai ,a2aj,a3akr由倒格子基矢的定義：b1-r-air a2 r-a2ra3.r-，a3rb2r r r2 -r-rl，b3ai a2 a3r ra1 a2-r-rrai a2 a3v倒格子基矢：匕v倒格子矢量：G2 v一i , avhbivb2vj，vb3晶面族（hkl）的面間距:v kb2lb3，G,2 v kja2 v l kaGv (h)2 (k) a a2 (a)2d22a222(hkl)面指數(shù)越簡單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面

7、的能量越小, 這樣的晶面越容易解理。(111)1.9、畫出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、 面與（110）面的交線的晶向。解:(111)1、（111）面與（100）面的交線的 AB , AB平移,A與。點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢:vRbv ajvak ，uur（111）面與（100）面的交線的晶向 ABv vaj ak ,晶向指數(shù)0 11。v aiv2、（111）面與（110）面的交線的AB,將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢：Rbuuu v v（111）面與（110）面的交線的晶向 AB ai aj ,晶向指數(shù)110。第一章晶體結(jié)構(gòu)解：實(shí)驗(yàn)表明，很

8、多元素的原子或離子都具有或接近于球形對稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的Vc之比，即：晶體原胞的空間利數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積用率,nV x Vc(1)對于簡立方結(jié)構(gòu):(見教材P2圖1-1)c 、，4a=2r) V=3r3 , Vc=a3, n=143一 r3x r-a43一 r-3- 0.528r36(2)對于體心立方：晶胞的體對角線BG=3a 4rn=2, Vc=a32 433 a0.68/4 3、3(3)對于

9、面心立方：晶胞面對角線BC= , 2a 4r,a 2 % 2rn=4,Vc=a4 4_3_3a(2 2r)32"6"0.74(4)對于六角密排:a=2r晶胞面積：S=6 S ABOADa asin60 3.3 2=a晶胞的體積:V= SC/28a-3a3 , 2a324.2r3n=12 1216433=6個(gè)24.2r3、260.74(5)對于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對角線BG= .3a4 2r8rn=8, Vc=a38 4 r333a8 - r33833r3,360.341.2、 試證：六方密排堆積結(jié)構(gòu)中c （8）1/2 1.633a 3證明：在六角密堆積結(jié)構(gòu)中，第一層硬球A、

10、B、。的中心聯(lián)線形成一個(gè)邊長 a=2r的正三角形,第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個(gè)球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個(gè)正四面體。1.3、 證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）r a?a r2(jrk)a J 2(irk)r a r r03 2(i j)r 2 r r由倒格子基矢的定義：b （a2 a3）0b)- a a0,-,-22a 八 a 一，0, 一22a a 八_, -, 022r a2r a3r r r i, j, ka, 0, a22a a co, -, 0

11、22r k)rb122aT(r rj k)r rj k)rb2同理可得： rb32 rrr一（ijk）a即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。2 rrr一（ijk）a所以，面心立方的倒格子是體心立方。（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）r a2r aa J2(ir rj k)r r j k),“» 井、r 2 r r由倒格子基矢的定義：b1 （a2 %）rb12r (ja2a 2, a 2,r k)aa2，2aa2，2aa2，23a r r,a2 a32r i ,a2a2r j,a 2a2,r ka2a2r (jr k)2 r r一(j k) av v v1.5

12、、證明倒格子矢量Ghibih2b2證明:uuu 因?yàn)镃Avahiv uuuh3，CBv v v 生包，(vh2h3v v vhibih2b2h3b3r 2 r rb2 (i k)同理可得： a即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。r 2 r rb3 (i j) a所以，體心立方的倒格子是面心立方。vh3b3垂直于密勒指數(shù)為(h|h2h3)的晶面系。vuur6卜岫CAvuuuGhhh CB hih2 h3v所以，倒格子矢量Gv v vhibi h2b2 h3b3垂直于密勒指數(shù)為(hih2h3)的晶面系。i.6、對于簡單立方晶格，證明密勒指數(shù)為(h, k,l)的晶面系，面間距d滿足：d2

13、 a2/(h2 k2 l2),其中a為立方邊長；并說明面指數(shù)簡單的晶面，其面密度較大，容易解理。后什濟(jì)、一曰3vrrvvvvv,v斛：間單立方日日格：aia2a3,aiai ,a2aj,a3akr由倒格子基矢的定義：b1-r-air a2 r-a2ra3.r-，a3r b2r rr2 -r-rl，b3ai a2 a3r ra1 a2-r-rrai a2 a3v倒格子基矢：匕v倒格子矢量：G2 v一i , avhbivb2vj，vb3晶面族（hkl）的面間距:v kb2lb3，G,2 v kja2 v l kaGv (h)2 (k) a a2 (a)2d22a222(hkl)面指數(shù)越簡單的晶面，

14、其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小, 這樣的晶面越容易解理。(111)1.9、畫出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、 面與（110）面的交線的晶向。解:(111)1、（111）面與（100）面的交線的 AB , AB平移,A與。點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢:vRbv ajvak ，uur（111）面與（100）面的交線的晶向 ABv vaj ak ,晶向指數(shù)0 11。v aiv2、（111）面與（110）面的交線的AB,將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢：Rbuuu v v（111）面與（110）面的交線的晶向 AB ai aj

15、,晶向指數(shù)110。第二章固體結(jié)合2.1、兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（21n2）和庫侖相互作用能， 設(shè)離子的總數(shù)為2N。解設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號可以這樣取，即遇正離子取正號，遇負(fù)離子取負(fù)號），用r表示相鄰離子間的距離，于是有5 jrij2-.r 2r 3r 4r前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離 ri的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面,故對一邊求和后要乘 2,馬德隆常數(shù)為21Qln(1 X)-13 4 23x xx 一x 3,111當(dāng)X=1時(shí)，有1 l n22 3 421n22.3、若一晶體的相互作用能

16、可以表示為u(r)試求：（1）平衡間距r0 ；（2）結(jié)合能W （單個(gè)原子的）（3）體彈性模量；(4)若取 m 2,n 10,r0 3A,W 4eV，計(jì)算及的值。解：（1）求平衡間距ro由 du(r)dr0,有:r rorom 1mnmnm 1 n 1roro.結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個(gè)能量稱為結(jié)合能（用 w表示）（2）求結(jié)合能w （單個(gè)原子的）題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問題簡化，說明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢能，即Umin即：W U (ro)m ron ro（可代入ro

17、值，也可不代入）（3）體彈性模量由體彈性模量公式:2 r2Uro(4) m = 2 , n = 1o , ro3 A , w = 4eV，求 a、3U(r。)r10W U(r0)45ro245ro24eV(ro8代入)將 ro 3A, 1eV 1.602 10 19J 代入7.209 10 38 N m211529.459 10 N m2(1)平衡間距r0的計(jì)算N日日體內(nèi)目匕U(r) ( -m)2 r r平衡條件dUdr r0,0mm 1r0nn-r0(m(2)單個(gè)原子的結(jié)合能1 , 、 ,、，n 、仁W 二u(r0), u(r0) ( ), r0 ( )2 r r r r°m(3)

18、體彈性模量K2UG。V。晶體的體積V3 .-.NAr , A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能U(r) N() 2 rrUUrNmn 1Vm 1 n 12rV2rr3NAr2_u_ n r m_ _n_1、/2、/( m 1 n 1 ) o K. A 2 V2 V r rr 3NAr2UV2N 12 9V022 mmr02 nnr0mmr0n r0由平衡條件V V0n 12r0 3NAr0m0，得 mm rqnn rq2UV2V02 9V022 mm rq2Jr02UV2N 12 9V02mm r0nn-r0N nm2 9V02m r0m nr0r02UV2V Vo職(U0)體彈性模量U0喘(4)若取m2, n10, r03A,W4 eVr。1 ()- m(1m)( nW 10 萬0 ,r0 10r02W_-95101.2 10 eV m9.019210 eV m2.6、bcc 和 fccNe的結(jié)合能,用林納德一瓊斯(Lennard一Jones)勢計(jì)算Ne在bcc和fcc結(jié)構(gòu)