《點集拓撲》§2.4導集,閉集,閉包

1、2.4 號集，閉集，閉包本節(jié)重點：熟練掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個點屬于導集或閉包的概念上的不同； 掌握一個點屬于導集或閉集或閉包的充要條件; 掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件.個點相對于如果在一個拓撲空間中給定了一個子集，那么拓撲空間中的每一 這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進行分類處理.定義 2.4.1 設 X 是一個拓撲X.如果點xX的每一個鄰域U中都有A中異于x的點，即Un (A-x)豐則稱點x是集合A的一個凝聚點或極限點.集合A的所有凝聚點構成的集合稱為A的導集，記作d (A).如果xC A并且x不是A的凝聚點，即存在x的一個鄰則稱 x 為 A域U

2、使彳3UP (A-x)=的一個孤立點.即 :( 牢記 )在上述定義之中，凝聚點、 導集、 以及孤立點的定義無一例外地都依賴于它所在的拓撲空間的那個給定的拓撲因此， 當你在討論問題時涉及了多個拓撲而又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓撲而言，不容許產(chǎn)生任何混淆由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓撲的， 因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點的性質(zhì)，對一般的拓撲空間都有效以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些

3、不正確的潛在印象例 2.4.1 離散空間中集合的凝聚點和導集設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集.由于X中的每一個單點集 都是開集，因此如果xCX ,則 X有一個鄰域x,使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，從而 A的導集是空集，即 d (A)=例 2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點和導集設X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集.我們分三種情形討論:第 1 種情形： A= 任何一個凝聚點，亦即d（ A） =.這時A顯然沒有2.4.1 中第（ l ）條的證明）第 2 種情形：A是一個單點集，令 如 果 xCXxw，點x只有惟一的一個鄰域X,這，所以;因此x是A的一個凝聚點，即x

4、e d(A).然而對于X 有：所以d( A) =X-A第3種情形：A包含點多于一個.請讀者自己證明這時 X中的每一個點都是 A的凝聚點，即d (A) =X.定 理 2.4.1 設 X 是 一 個 拓 撲 空 間 ，X.則l)d( (a) pn (w) p = (anv) p (e) (a) pw （乙）(4) d (d (A) )AU d (A)證明 (1)由于對于任何一點xCX和點x的任何一個鄰域U,有unB 如 果2) 設 A這 證 明 了 d（ A）d（ B）3）根據(jù)2），因為A， BAU B,所以有 d A），d B）d (AU B),從而 d (A) U d (B)d (AU B)另

5、一方面，如果綜上所述，可見（3）成立（ 這是證明一個集合包含于另一個集合的另一方法 :要 證,只 要 證4）設：4）成立定 義 2.4.2設 X 是一個拓撲空間X.如果A的每一個凝聚點都屬于A,即d (A)A,則稱A是拓撲空間X中的一個閉集例如， 根據(jù)例 2.4.l 和例 2.4.2 中的討論可見，離散空間中的任何一個子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集定 理 2.4.2個拓撲空間X,則A是一個閉集，當且僅當A的補是一個開集證明 必要性：設A 是一個閉集一個閉集充分性：設：即A是一個閉集例2.4.3實數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間.設a, bCR, a0,存在yCA使得p (x

6、, y) e ,換言之即是：對于任意 B (x, ,而這又等價于:有 B (x, e ) PAW對于x的任何一個鄰域 U有Un AW應用以上討論立即得到定理2.4.9設A是度量空間（X, P）中的一個非空子集.則(1) xCd (A)當且僅當 p (x, A-x ) =0;xC當且僅當P (x, A) =0.以下定理既為連續(xù)映射提供了等價的定義，也為驗證映射的連續(xù)性提供了另外的手段定理2.4.10設X和Y是兩個拓撲空間，f:X -Y.則以下條件等價：( l ) f 是一個連續(xù)映射；(2 ) Y 中的任何一個閉集 B 的原象(B) 是一個閉集；(3)對于X中的任何一個子集A, A的閉包的象包含于A的象的閉包，即?(4)對于Y中的任何一個子集B, B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即1)，是X中的一個開集，因此一個閉集則是一個開集，因此根據(jù) 一個開集，因此根據(jù)(B)是X中的一個閉集（2） 蘊涵（3）設AX.由于f (A)成立根據(jù)（ 2），(3) 蘊 涵 (4) 設 AY 集 合X應用（3）即得(B)（4）蘊涵（l）