橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材及學(xué)情分析用一個(gè)平面去截一個(gè)對(duì)頂?shù)膱A錐，當(dāng)平面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到 不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統(tǒng)稱 為圓錐曲線。圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)與研究始于古希臘，當(dāng)時(shí)人們從純粹幾何學(xué)的觀點(diǎn) 研究了這種與圓密切相關(guān)的曲線，它們的幾何性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的自然推廣。 17世紀(jì)初期，笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，人們開(kāi)始在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法 研究圓錐曲線。在這一章中，我們將繼續(xù)用坐標(biāo)法探究圓錐曲線的幾何特征， 建 立它們的方程，通過(guò)方程研究它們的簡(jiǎn)單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線 有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步感受數(shù)形

2、結(jié)合的基本思想。本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，女口：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等。 因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想方法及價(jià)值。根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中可充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，用動(dòng)態(tài)作圖 優(yōu)勢(shì)為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。二、教學(xué)目標(biāo)分析按照教學(xué)大綱的要求，根據(jù)教材分析和學(xué)情分析，確定如下教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)與技能目標(biāo)： 理解橢圓的定義。 掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡(jiǎn)橢圓方程的過(guò)程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力。2過(guò)程與方法目標(biāo)： 經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)習(xí)從具體實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形 象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的歸納概括能力。 鞏固用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)

3、點(diǎn)軌跡方程。 對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和 解決問(wèn)題的意識(shí)3 情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)： 充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、 探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)形成研究氛圍和合作意識(shí) 重視知識(shí)的形成過(guò)程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過(guò)學(xué)習(xí)新知識(shí) 體會(huì)到前人探索的艱辛過(guò)程與創(chuàng)新的樂(lè)趣 通過(guò)對(duì)橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng) 通過(guò)經(jīng)歷橢圓方程的化簡(jiǎn)，增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn) 潔美、對(duì)稱美 利用橢圓知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識(shí)的力 量，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心三、重、難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義

4、、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想 難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用四、教法分析新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作 者和促進(jìn)者，使教學(xué)過(guò)程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。本節(jié)課采 用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，按照“創(chuàng) 設(shè)情境一一學(xué)生實(shí)驗(yàn)一一意義建構(gòu)一一形成理論一一知識(shí)應(yīng)用一一回顧反思一 鞏固提高”的程序設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、 觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方 式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人.（一）創(chuàng)設(shè)情境一一激發(fā)興趣1、情景引入師：在上新課前

5、我們先來(lái)聊聊天，關(guān)心一下國(guó)家大事。就在這個(gè)星期一也就 是10月7號(hào)，我們國(guó)家發(fā)生了什么激動(dòng)人心的事？生：師：五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)神州一號(hào)飛船成功發(fā)射生: 師: 生: 師:對(duì)，神州十一號(hào)飛船于 2016年10月17日7時(shí)30分在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā) 射中心成功發(fā)射。兩位航天員將展開(kāi)為期 33天的太空之旅，這是中 國(guó)迄今為止時(shí)間最長(zhǎng)的一次航天飛行?；赝袊?guó)幾十年的航天史，不 禁讓我們想到中國(guó)第一艘載人飛船是？神舟五號(hào)那么它在太空的運(yùn)行軌跡是什么？橢圓很好，今天我們將要來(lái)做一件很神圣的事情一一研究飛船的運(yùn)行軌跡橢 圓。有人會(huì)說(shuō)飛船的軌跡離我們太遙遠(yuǎn)了，其實(shí)在生活中橢圓到處可 見(jiàn)，比如師:在前面我們研究圓時(shí)是先

6、從作圖一一定義一一標(biāo)準(zhǔn)方程一一性質(zhì)。研究 橢圓也是同樣如此下面就請(qǐng)一位同學(xué)上黑板來(lái)畫一個(gè)橢圓師:看來(lái)，大家對(duì)橢圓并不陌生，但細(xì)想想，我們對(duì)橢圓也說(shuō)不上有多熟悉， 除了 “她”的名字和容貌，我們對(duì)“她”的品性幾乎還一無(wú)所知.下 面我們就先從作圖開(kāi)始。師：用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，截面為圓形.當(dāng)端起 水杯喝水時(shí)，水杯傾斜，再觀察水平面，此時(shí)截面為橢圓形.看來(lái)，橢圓是與圓 有著密切關(guān)系的一種曲線.圓是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)圓的定義, 用一根細(xì)繩就可畫出一個(gè)圓.將細(xì)繩的一貫固定在黑板上，在另一端系上一支粉 筆，將細(xì)繩繃緊并繞固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周即可.將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)

7、，將 細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn)，用粉筆挑起細(xì)繩并繃緊，移動(dòng)粉筆，可畫出什么圖形？ 設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)興趣和探索欲望（二）學(xué)生實(shí)驗(yàn)一一體驗(yàn)數(shù)學(xué)1. 學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐、觀察，猜想軌跡為橢圓2 展示學(xué)生成果3導(dǎo)出新課：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，我們不能滿足于直觀感受、淺嘗輒 止,我們希望對(duì)橢圓有更深刻的認(rèn)識(shí)，比如：橢圓上所有的點(diǎn)所具有的共同的幾 何特征是什么？一一橢圓的定義；能否用代數(shù)方法精確地刻畫出這種共同的幾何 特征？一一橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這就是我們這節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生實(shí)驗(yàn)中導(dǎo)出新課，明確研究課題（三）意義建構(gòu)一一感知數(shù)學(xué)橢圓定義的初步生成學(xué)生每2人一組，合作探究，教師巡視指導(dǎo).請(qǐng)學(xué)

8、生代表本小組交流探究結(jié)論：根據(jù)橢圓畫法，從中歸納橢圓定義一一與 兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)（繩長(zhǎng)）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（繩長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間距離）.（四）形成理論一一建立數(shù)學(xué)1.橢圓定義的完善1、改變兩點(diǎn)之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢提出問(wèn)題：圓嗎？2、繩長(zhǎng)能小于兩點(diǎn)之間的距離嗎?得出結(jié)論:當(dāng)常數(shù)=陋時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)碼的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的；當(dāng)常數(shù)vn場(chǎng)時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何約束條件：MF+MF2a軌跡是線段的軌跡不存在.請(qǐng)學(xué)生給出經(jīng)過(guò)修改的橢圓定義，教師用幻燈片給出完善的橢圓定義，并介 紹焦點(diǎn)、焦距的定義.例:已知Fi，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，F(xiàn)1F2 =6,動(dòng)點(diǎn)M滿

9、足MFi + MF2 =6,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（2）已知A（-1,0），B（1,0）,M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且M到AB兩點(diǎn)的距離之和為6,則M的軌跡為設(shè)計(jì)意圖：鞏固橢圓的定義，使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過(guò)程，提高其歸納概括能力，加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）回顧用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：建系設(shè)點(diǎn)、寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的 幾何約束條件、坐標(biāo)化、化簡(jiǎn)、證明等價(jià)性建立焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程建系設(shè)點(diǎn)：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔？一一利用橢 圓的對(duì)稱性特征以直線為X軸，以線段«罵的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo) 系.設(shè)焦距為2訛>0

10、），則吐打）妨匕0）.設(shè)M（3）為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn) M與點(diǎn)耳、的距離之和為2aa>2c. 坐標(biāo)化：儀計(jì)+加d =2盤 化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如 何去根號(hào)移項(xiàng)后兩次平方法a+ 尹2-CXa -ca -c2 左具 2 4-y 二沁+丹3 - /） F +/尹=/ ” -尹+左2廣廠1a a c分析的幾何含義，令J 2令1心0）得到焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/護(hù)設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，掌握化簡(jiǎn)含根號(hào)等 式的方法，提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱 美建立焦點(diǎn)在A軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要建立焦點(diǎn)在y軸上

11、的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡(jiǎn)過(guò)程， 如何去做？此時(shí)要借助于化歸思想，抓住圖（1）與圖的聯(lián)系即可化未知為已 知，將已知的焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程.只需將圖（1）沿直線y=翻折或?qū)D（1）繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90"即 可轉(zhuǎn)化成圖，需將X軸、y軸的名稱換為軸、X軸2 a焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 /'設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)數(shù)學(xué)中的化歸思想，化未知為已知，避免重復(fù)勞動(dòng)辨析焦點(diǎn)分別在X軸、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)區(qū)別：要判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，只需比較"與y,項(xiàng)分母的大小即可.若只項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在久軸上；若項(xiàng)分母大,(五

12、)數(shù)學(xué)應(yīng)用一一鞏固新知口答：指出下列方程中的a,bx2 y2x2 y21 + 上一 12 + 丄一 一152 32，42 62 ，則焦點(diǎn)在y軸上.反之亦然.2x3. +92 2x y4.亠=174設(shè)計(jì)意圖：鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典型例題11已知B,C是兩個(gè)定點(diǎn)，|BC|=6且 ABC的周長(zhǎng)等于16, 求頂點(diǎn)A的軌跡方程.思路分析:選取線段BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，由 B,C為兩定點(diǎn),A為動(dòng)點(diǎn)，研究|AB|+|AC|是否為定值，并比較與|BC|的大小關(guān) 系，從而判斷點(diǎn)A的軌跡圖形形狀，進(jìn)而得到軌跡方程.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【典型例題21求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

13、程：P到兩焦點(diǎn)的(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0),(4,0),橢圓上任意一點(diǎn) 距離的和等于10;3 52,2 .兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,-2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)思路分析:根據(jù)題意，先判斷橢圓的焦點(diǎn)位置，再設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 從而確定a,b的值.解：(1).橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,? ?設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+ ?= 1(a>b> 0).c=4,2a= 10,.222c-b =a -c = 9. (2廠橢圓的焦點(diǎn)在?軸上，所求橢1的1方程準(zhǔn)方程為+嘗+.?=1(a>b>0).由橢圓的定義，知2a=-32+ 5+22 +23 2522+2-2=2 10.即a= 10.又 c=2,.b2=a2-c2=6.所求橢圓的方程為密+字10 608反思根據(jù)已知條件，判定焦點(diǎn)的位置,設(shè)出橢圓的方程是解決此 題的關(guān)鍵.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)的應(yīng)用：“神五”飛船的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，地球半 徑為R公里，飛船的近地點(diǎn)距地球地面 200