初中數(shù)學(人教版)第二十二章_一元二次方程教(學)案

1、第二十二章一元二次方程主備人：劉鴻智教材內(nèi)容本單元教學的主要內(nèi)容：1 .一元二次方程及其有關(guān)概念，一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，運用一元二次方程分析和解決實際問題2 .本單元在教材中的地位和作用：教學目標1 .一分析實際問題中的等量關(guān)系并求解其中未知數(shù)為背景，認識一元二次方程及其有關(guān)概念。2 .根據(jù)化歸思想，抓住“降次”這一基本策略，熟練掌握開平方法、配方法、公式法和分解因式法等 一元二次方程的基本解法.3 .經(jīng)歷分析和解決問題的過程，體會一元二次方程的教學模型作用，進一步提高在實際問題中運用方 程這種重要數(shù)學工具的基本能力。教學重點、

2、難點重點：1. . 一元二次方程及其有關(guān)概念2. 一元二次方程的解法（開平方法、配方法、公式法、分解因式法）3. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及運用一元二次方程分析和解決實際問題。難點：1. 一元二次方程及其有關(guān)概念2. 一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及靈活運用課時安排本章教學時約需課時，具體分配如下（供參考）課時課時課時22. 1一元二次方程122. 2 降次722. 3 實際問題與一元二次方程3教學活動、習題課、小結(jié)22.1 一元二次方程教學目的1 .使學生理解并能夠掌握整式方程的定義.2 .使學生理解并能夠掌握一元二次方程的定義.3

3、.使學生理解并能夠掌握一元二次方程的一般表達式以及各種特殊形式.教學重點、難點重點：一元二次方程的定義.難點：一元二次方程的一般形式及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別.教學過程復習提問1 .什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2 .指出下面哪些方程是已學過的方程？分別叫做什么方程？(l)3x+4=l ;(2)6x-5y=7 ;下載可編輯3 .結(jié)合上述有關(guān)方程講解什么叫做“元”，什么叫做“次”.引入新課1.方程的分類：（通過上面的復習，引導學生答出）學過的幾類方程是沒學過的方程有x2-70x+825=0x(x+5)=150這類“兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式的方程，叫做整式方程.像這樣，我們把“

4、只含有一個未知數(shù)( 元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 (二次)的整式方程叫做一元二次方程.”據(jù)此得出復習中學生未學過的方程是(4) 一元二次方程：x2-70x+825=0 , x(x+5)=150 .同時指導學生把學過的方程分為兩大類：2. 一元二次方程的一般形式注意引導學生考慮方程 x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150 ,即x2+5x=150,可化為：x2+5x-150=0 .從而引導學生認識到：任何一個一元二次方程，經(jīng)過整理都可以化為ax2+bx+c=0(a w0)的形式.并稱之為一元二次方程的一般形式.其中ax2, bx, c分別稱為二次項、一次項、常數(shù)項；a, b分別稱為二

5、次項系數(shù)、一次項系數(shù).【注意】二次項系數(shù) a是不等于0的實數(shù)(a=0時，方程化為bx+c=0,不再是二次方程了 )； b, c可為任意 實數(shù).例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式.并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.課堂練習P27 1 、2題歸納總結(jié)1.方程分為兩大類:判別整式方程與分式方程的關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)；判別一元一次方程，一元二次方程的關(guān)鍵是看方程化為一般形式后，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次還是二次.2. 一元二次方程的定義：一個整式方程，經(jīng)化簡形成只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,則這樣的整式方程稱一元二次方程.其一般形式是ax2+bx+c=0(a

6、w 0),其中b, c均可為任意實數(shù)，而 a不能等于零.布置作業(yè)：習題22.1 1 、2題.達標測試1 .在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是()CD3x2+7=0,ax2+bx+c=0,(x+2)(x-3)=x 2-1,x2- 5/X +4=0,x2-( 2 +1)x+ V2 =0,3x2- 9+6=0xA.1個 B.2 個 C.3 個 D.4 個2 .關(guān)于x的一元二次方程3x2=5x-2的二次項系數(shù)，一次項和常數(shù)項，下列說法完全正確的是()A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,2m一.一、一3 .萬程(m+2) x1 +3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則(

7、)A.m= 2B.m=2C.m=-2 D.mw24 .若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，則k的取值范圍是 5 .方程4x2=3x- 五 +1的二次項是 , 一次項是 ,常數(shù)項是課后反思：22.2解一元二次方程第一課時直接開平方法教學目的1 .使學生掌握用直接開平方法解一元二次方程.c0,教學重點、難點重點：準確地求出方程的根.難點：正確地表示方程的兩個根.教學過程復習過程回憶數(shù)的開方一章中的知識，請學生回答下列問題，并說明解決問題的依據(jù).求下列各式中的x：1. x2=225; 2 . x2-169=0; 3. 36x2=49; 4. 4x2-25=0.一元二次方程的解也叫做一元二次方

8、程的根.解題的依據(jù)是：一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù).即一般地，如果一個數(shù)的平方等于a(a 0),那么這樣的數(shù)有兩個，它們是互為相反數(shù).引入新課我們已經(jīng)學過了一些方程知識，那么上述方程屬于什么方程呢？新課例1解方程x 2-4=0 .解：先移項，得x2=4.即 xi=2, X2=-2 .這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法.例2解方程(x+3) 2=2.練習：P28 1、2歸納總結(jié)1 .本節(jié)主要學習了簡單的一元二次方程的解法一一直接開平方法.2 .直接法適用于 ax2+c=0(a0, cv 0)型的一元二次方程.布置作業(yè)：習題22.1 4 、6題達標測試1 .方程x2-0.36

9、=0的解是A.0.6B.-0.6 C.6 D. 0.62 .解方程:4x 2+8=0的解為A.x 1=2 x 2=-2B.x12,x2、2C.x1=4 x 2=-4D.此方程無實根3 .方程(x+1) 2-2=0的根是A. x11. 2, x2 1.2 B.x11. 2, x212C. x11. 2, x2 1, 2 D.x11. 2, x21. 24 .對于方程(ax+b) 2=c下列敘述正確的是 A.不論c為何值,方程均有實數(shù)根B.方程的根是XC.當c0時，方程可化為：ax bJc或ax bccbD.當 c=0 時，x a5 .解下列方程：.5x2-40=0.(x+1) 2-9=0.(2x

10、+4) 2-16=0.9(x-3) 2-49=0課后反思第二課時配方法教學目的1 .使學生掌握用配方法解一元二次方程的方法.2 .使學生能夠運用適當變形的方法，轉(zhuǎn)化方程為易于用配方法求解的形式，來解某些一元二次方程.并由此體會轉(zhuǎn)化的思想.教學重點、難點重點：掌握配方的法則.難點：湊配的方法與技巧.教學過程復習過程用開平方法解下列方程：x 2=441; (2)196x 2-49=0;引入新課我們知道，形如x2-A=0的方程，可變形為x2=A(A0),再根據(jù)平方根的意義， 用直接開平方法求解. 那 么，我們能否將形如 ax2+bx+c=0(a 0)的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節(jié)課要

11、解決的問 題.新課我們研究方程x2+6x+7=0的解法：將方程視為：x2+2 x 3=-7 ,即 x 2+2 - x - 3+32=32-7 ,(x+3) 2=2,這種解一元二次方程的方法叫做 配方法.這種方法的特點是：先把方程的常數(shù)項移到方程的右邊，再 把左邊配成一個完全平方式，如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解.例1解方程x2-4x-3=0 .配方法解之.在解的過程中，注意介紹配方的法則.例2解方程2x2+3=7x.練習：P34 1、2題歸納總結(jié)應用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的要點是：(1)化二次項系數(shù)為1;(2)移項，使方程左邊為二次項和一

12、次項，右邊為常數(shù)；(3)方程兩邊各加上一次項系數(shù)一半的平方，使左邊配成一個完全平方式布置作業(yè)：習題22.2 1 、3題達標測試1 .方程 x2-a 2=(x-a) 2(a 豐 0)的根是 A.a B.0C.1或 a D.0 或 a2 .已知關(guān)于x的方程(m+3)x2+x+n2+2m-3=0 一根為0,另一根不為0,則m的值為A.1B.-3C.1或-3D.以上均不對3 .若x2-mx+ 是一個完全平方式，則m=4A.1B.-1 C.1 D.以上均不對4 .方程x2=5的解是， 方程(x-1) 2=5的解是, 方程(3x-1) 2=5的解是5x21x =(x- )2 x25 x =(x+ )222

13、課后反思：第三課時求根公式法教學目的1 .使學生掌握一般一元二次方程的求根公式的推導過程，并由此培養(yǎng)學生的分析、綜合和計算能力.2 .使學生掌握公式法解一元二次方程的方法.教學重點、難點重點：要求學生正確運用求根公式解一元二次方程.難點：1.求根公式的推導過程.2.含有字母參數(shù)的一元二次方程的公式解法.教學過程復習提問提問：當x2=c時，c0時方程才有解，為什么？練習：用配方法解下列一元二次方程(1)x 2-8x=20 ; (2)2x 2-6x-1=0 .引入新課我們思考用配方法解一般形式的一元二次方程，應如何配方來進行求解？新課（引導學生討論）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐

14、0）的步驟.解：: aw。，兩邊同除以a,得把常數(shù)項移到方程右邊，并兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，得下載可編輯(a W0)的求根公式.用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法.應用求根公式解一元二次方程的關(guān)鍵在于： 將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a W0) ; (2)將各項白系數(shù)a, b, c代入求根公式.例1解方程x2-3x+2=0.例2解方程2x2+7x=4.例5解關(guān)于x的方程 x 2-m(3x-2m+n)-n 2=0.練習P37 1題歸納總結(jié)1 .本節(jié)課我們推導出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a w 0)的求根公式，即要重點讓學生注意到應用公式的大前提，即b2-4ac

15、0.2 .應注意把方程化為一般形式后，再用公式法求解.布置作業(yè)：習題22.2 5 、8、10題達標測試1 .若代數(shù)式4x2-2x-5與2x2+1的值互為相反數(shù)，則x的值為A.1 或 3B.1 或？C.-1 或 2D.1 或32 3322.對于一元二次方程ax2+bx+c=0,下列敘述正確的是A.方程總有兩個實數(shù)根B.只有當b2-4ac 0時，才有兩實根C.當b2-4ac0時，方程只有一個實根D.當b2-4ac=0時，方程無實根3.已知三角形兩邊長分別是1和2,第三邊的長為2x2-5x+3=0的根，則這個三角形的周長是 A.4 B. 4 C.4或 4D. 不存在22x22x 34.如果分式x一的

16、值為0,則x值為x 3A.3 或-1B.3C.-1D.1或-35.把。23x(J3 x)2 化成 ax2+bx+c=0(a w。)的形式后,則 a= ,b=,c= x 26.若分式的值為0,則x=x x 2b c7 .已知x=-1是關(guān)于x的一兀一次方程 ax +bx+c=0的根，則一 一二a a8 .若 a2+b2+2a-4b+5=0,貝U關(guān)于 x 的方程 ax2-bx+5=0 的根是.課后反思：第四課時因式分解法教學目的使學生掌握應用因式分解法解某些系數(shù)較為特殊的一元二次方程的方法.教學重點、難點重點：用因式分解法解一元二次方程.難點：將方程化為一般形式后，對左側(cè)二次三項式的因式分解.教學過

17、程復習提問9 .在初一時，我們學過將多項式分解因式的哪些方法？10 方程x2=4的解是多少？引入新課方程x2=4還有其他解法嗎？新課眾所周知，方程x2=4還可用公式法解.此法要比開平方法繁冗.本課，我們將介紹一種較為簡捷的解一元二次方程的方法一一因式分解法.我們?nèi)砸苑匠蘹2=4為例.移項，得x 2-4=0 ,對x2-4分解因式，得(x+2)(x-2)=0.我們知道：x+2=0 , x-2=0 .即 x i=-2 , x2=2.由上述過程我們知道：當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式而另一邊等于0時，即可解之.這種方法叫做因式分解法.例1解下列方程：(1)x 2-3x-10=0 ;(2)(x+3)

18、(x-1)=5在講例1(1)時，要注意講應用十字相乘法分解因式；講例1(2)時，應突出講將方程整理成一般形式，然后再分解因式解之.例2解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2);(2)(3x+1)2-5=0 .在講本例(1)時，要突出講移項后提取公因式，形成 (x+2)(3x-5)=0 后求解;再利用平方差公式因式分解后求解.注意：在講完例1、例2后，可通過比較來講述因式分解的方法應“因題而宜”.例3解下列方程：(1)3x 2-16x+5=0; (2)3(2x 2-1)=7x .練習：P40 1、2題歸納總結(jié)對上述三例的解法可做如下總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的步驟是1 .將方程化為一般

19、形式；2 .把方程左邊的二次三項式分解成兩個一次式的積；(用初一學過的分解方法)3 .使每個一次因式等于 0,得到兩個一元一次方程；4 .解所得的兩個一元一次方程，得到原方程的兩個根.布置作業(yè)：習題22.2 6 、10題達標測試1.對方程(1)(2x-1) 2=5,(2)x 2-x-1=0,(3) x(x x2,貝U x1-2x 2 的值是。9 .方程x2= I x I的解是10 用因式分解法解下列方程：(1).(2x-1)2+3(1-2x)=0(2).(1-3x)2=16(2x+3) 2(3).x2+6x-7=010.選用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1).(3-x)2+x2=9(2).(2x-1

20、)2+(1-2x)-6=0(3) .(3x-1)2=4(1-x) 2(4).2 (x-1) 2=(1-x)根據(jù)以上各方程的特點，選擇解法的思路是：先特殊后一般.選擇解法的順序是：直接開平方法一因式分 解法一公式法或配方法.配方法是普遍適用的方法，但不夠簡便，一般不常用.不過對于二次項系數(shù)為1, 一次項系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程，用配方法可能比用公式法要簡單些.課后反思：第五課時元二次方程的根的判別式。教學目的1 .使學生理解并掌握一元二次方程的根的判別式.2 .使學生掌握不解方程，運用判別式判斷一元二次方程根的情況.3 .通過對含有字母系數(shù)方程的根的討論，培養(yǎng)學生運用一元二次方程根的判別式的論證

21、能力和邏輯思 維能力.培養(yǎng)學生思考問題的靈活性和嚴密性.教學重點、難點重點：一元二次方程根的判別式的內(nèi)容及應用.難點：1. 一元二次方程根的判別式的推導.2.利用根的判別式進行有關(guān)證明教學過程復習提問1 . 一元二次方程的一般形式及其根的判別式是什么？2 .用公式法求出下列方程的解：(1)3x 2+x10=0; (2)x 28x+16=0; (3)2x 26x+5=0.引入新課通過上述一組題，讓學生回答出：一元二次方程的根的情況有三種，即有兩個不相等的實數(shù)根；兩個 相等的實數(shù)根；沒有實數(shù)根.接下來向?qū)W生提出問題：是什么條件決定著一元二次方程的根的情況？這條件與方程的根之間又有什 么關(guān)系呢？能否

22、不解方程就可以明確方程的根的情況？這正是我們本課要探討的課題.(板書本課標題)新課先討論上述三個小題中 b2-4ac的情況與其根的聯(lián)系.再做如下推導：對任意一元二次方程 ax2+bx+c=0(a w0),可將其變形為下載可編輯aw 0,4a20.由此可知b24ac的值的“三岐性”，即正、零、負直接影響著方程的根的情況.(1)當b24ac0時，方程右邊是一個正數(shù).(2)當b24ac=0時，方程右邊是 0.通過以上討論，總結(jié)出：一元二次方程ax2+bx+c= 0的根的情況可由b24ac來判定.故稱b24ac是一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的判別式，通常用來表示.綜上所述，一元二次方程ax2

23、+bx+c= 0(a w 0)當4 0時，有兩個不相等的實數(shù)根；當=。時，有兩個相等的實數(shù)根；當0時，可在實數(shù)范圍內(nèi)分解；(2)當b2-4ac 0, = 0, 40三種情況回答問題.）3 .我們已經(jīng)學過的列方程解應用題時，有哪些基本步驟？（要求學生回答：審題；設(shè)未知數(shù)；根據(jù)等量關(guān)系列方程（組）；解方程（組）；檢驗并寫出答案.）引入新課問題1:用一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片，在四個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為 2 .1500cm的無蓋長方形盒子.試問：應如何求出截去的小正方形的邊長？解：設(shè)小正方形邊長為 xcm,則盒子底面的長、寬分別為（80-2x）cm及（60-2x）cm

24、 ,依題意，可得（80-2x）（60-2x）= 1500,即 x 2-70x+825 = 0.當時，我們不會解此方程.現(xiàn)在，可用求根公式解此方程了.x1 = 55, x2= 15.當 x= 55 時，80-2x = -30 , 60-2x =-50 ;當 x= 15 時，80-2x=50, 60-2X = 30.由于長、寬不能取負值，故只能取x=15,即小正方形的邊長為 15cm.問題2：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應怎樣剪？分析：要解決此問題，需求出鐵片的長和寬，由于長比寬多5cm,可設(shè)寬為未知數(shù)來列方程.解：設(shè)這塊鐵片寬 xcm,則長是（x+5）cm

25、 .依題意，得x（x+5） =150,即 x2+5x-150 = 0.xi= 10, x2=-15（舍去）.x = 10, x+5=15.答：應將之剪成長 15cm,寬10cm的形狀.歸納總結(jié)利用一元二次方程解應用題的主要步驟仍是：審題；設(shè)未知數(shù)；列方程；解方程；依題意 檢驗所得的根；得出結(jié)論并作答.布置作業(yè)：習題22.3 1 、2、3、5題課后反思第二課時教學目的使學生掌握有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應用題的解法.提高學生化實際問 題為數(shù)學問題的能力.教學重點、難點重點：用圖示法分析題意列方程.難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為對方程的求解問題.教學過程復習提問本小節(jié)第一課我們介紹了

26、什么問題？引入新課今天我們進一步研究有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程的應用題及其解法.新課例1如圖1,有一塊長25cm,寬15cm的長方形鐵皮.如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形, 然后把四邊折起來，做成一個底面積為231cM的無蓋長方體盒子，求截去的小正方形的邊長應是多少？分析：如圖1,考慮設(shè)截去的小正方形邊長為xcm,則底面的長為（25-2x）cm ,寬為（15-2x）cm ,由此,知由長*寬=矩形面積，可列出方程.解：設(shè)小正方形的邊長為xcm,依題意，得（25-2x）（15-2x）=231,即 x2-20x+36 = 0,解得 x1 = 2, x2=18（舍去）.答：截去的小正方形的邊長為2cm.例2 一個容器盛滿藥液 20升，第一次倒出若干升，用水加滿；第