專題08 平面向量講學(xué)案 2018年高考文數(shù)二輪復(fù)習(xí)資料解析版

1、 高考側(cè)重考查正、余弦定文與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn)高考仍將以正、余弦定文的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力 1向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量 (2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0. (3)長度等于1的向量叫單位向量 (4)長度相等且方向相同的向量叫相等向量 (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量零向量和任一向量平行 2共線向量定文 向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba. 3平面向量基本定文 如果e、e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么

2、對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、112，使aee. 212214兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作OAa，OBb，則AOB(0°180°)叫作a與b的夾角 5向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 (1)設(shè)a(x，y)，b(x，y)，則 2112a±b(x±x，y±y)，a(x，y) 121112(2)若A(x，y)，B(x，y)，則AB(xx，yy) 121221216平面向量共線的坐標(biāo)表示 已知a(x，y)，b(x，y)， 2121 當(dāng)且僅當(dāng)xyxy0時(shí)，向量a與b共線 1122 平面向量的數(shù)量積7 的夾角a與b設(shè)為.

3、 |b|cosa·b|a(1)定義：b·a 在b方向上的投影|a|cos叫做向量a(2)投影： |b 8數(shù)量積的性質(zhì) 0；b?a·b(1)a2 ；·a|a|b|a|·|b|；特別地，ab與(2)當(dāng)ab同向時(shí)，a·b|a|·|b|；當(dāng)a與反向時(shí)，a· |；|a|·|b(3)|a·bba·. (4)cos |b|a|·| 9數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角) ，yb(x已知非零向量a(x，y)，2211 ；xxyy(1)a·b212122 yx；(2)|a|11 0；yy(3

4、)ab?xx2211xxyy2211. (4)cos2222yxyx·2211【誤區(qū)警示】 1兩向量夾角的范圍是0，a·b>0與a，b為銳角不等價(jià)；a·b<0與a，b為鈍角不等價(jià) 2點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別 a·ba·b3a在b方向上的投影為，而不是. |b|a|4若a與b都是非零向量，則ab0?a與b共線，若a與b不共線，則ab0?0. 考點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算 ?),(?1 則 ,若a|,（11例1【2017山東，文】已知向量a=2,6）b=b,. 【答案】-3 ?3.?1?6?2 【解析】由

5、a|b可得 【變式探究】已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_. 【答案】6 ba，ba【解析】基本法： 【方法技巧】平面向量線性運(yùn)算的兩種技巧 (1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運(yùn)用三角形法則、平 行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算 (2)在證明兩向量平行時(shí)，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷；若兩向量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理(當(dāng)b0時(shí)，ab?存在唯一實(shí)數(shù)，使得ab)來判斷 【變式探究】(1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，則向量BC( ) A(7，4) B(7,4) C(1,4)

6、D(1,4) 【答案】A 【解析】基本法：設(shè)C(x，y)，則AC(x，y1)(4，3)， ，4x?A. 故選7，4)，2)(3,2)(所以從而BC(4?，2y?速解法：AB(3,2)(0,1)(3,1)， BCACAB(4，3)(3,1)(7，4) 【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié) 合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解 (2)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則EBFC( ) 1A.AD B.AD 21C.BC D.BC 2【答案】A 111?abFCEBab，從而FCbba【解析】基本法一：設(shè)AB，AC，則EBa， ?

7、22211?ba(ab)AD，故選A. ?22 1) AB(ACFBFBBCEC基本法二：如圖，EBFCECCB 21. AD2AD· 2 平面向量數(shù)量積的計(jì)算與應(yīng)用考點(diǎn)二 ba?)?2,3),b?(3,ma?(. m= ，且 13例2【2017課標(biāo)3，文】已知向量 ，則 2 【答案】 2m?3m?0,?2?3?. 【解析】由題意可得：1331?，則ABC( ，BC ) ) 【變式探究】(1)(2016·高考全國卷已知向量BA， ?2222A30° B45° C60° D120° A 【答案】 【變式探究】(1)向量a(1，1)，b(

8、1,2)，則(2ab)·a( ) A1 B0 C1 D2 【答案】C ，(1(1,0)·a)·ba(2，所以(1,0)1,2)(2)，(21,2)(1)，2(1ba2【解析】基本法：因?yàn)镃. 1.故選0×(1)1)1×12 3，2，a·b，b(1,2)，a(1速解法：a，1):Z.xx.k.來源2C. 故選a·b43b從而(2a)·a2a1. 【方法規(guī)律】22，將模的平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問|一般地，用向量方法解決模的問題的途徑有三：一是利用公式|aa1ba·將向”ba，題；二是利用模的幾何意義；三是坐標(biāo)法解決

9、向量的夾角問題主要是利用公式“cos|b|a|·| 量的夾角問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積及模的問題來解決 求解向量數(shù)量積最值問題的兩種思路2 (1)直接利用數(shù)量積公式得出代數(shù)式，依據(jù)代數(shù)式求最值 (2)建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算得出函數(shù)式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算可利用定義法；當(dāng)向量以坐【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式(有向線段)標(biāo)形式出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計(jì)算向 量較簡單_. BD，2E為CD的中點(diǎn)，則AE·ABCD(2)已知正方形的邊長為2 【答案】 B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， AE(

10、1,2)，BD(2,2)， 2. 22×2)(1×BD·AE a a+b=a-bb II41.2017則，【】設(shè)非零向量課標(biāo)滿足，文aa aa=b?bbb B. A. C. D. A 【答案】2222)b?)(?2ab?2?(b)ab?(b|a?|?|a?b|(a)a，即【解析】由平方得，則，故選b?aab?0A. ?),(?1 . ,若【2017山東，文11】已知向量a=（2,6）,b=a|b,則2. 【答案】-3 ?23.?1?6 b可得【解析】由a|22=1?xyAP3.201712(-2,0)O為原點(diǎn)，則，的坐標(biāo)為【的最北京，文】已知點(diǎn)上，點(diǎn)在圓APAO?

11、_ 大值為 6 【答案】 【解析】所以最大值是6. a?b)(3,m?(?2,3),b?a，則m= ，且 . 【4.2017課標(biāo)3，文13】已知向量 2 【答案】 ?2?3?3m?0,?m?2. 【解析】由題意可得：?）（=2.若，】在ABC中，AB=3，AC天津，5.【2017文14ABACBD?2DCAE?R?A?60? ?的值為 ，則且. 4AD?AE? 3 【答案】 11 6.2017113=12=m1+m=_ abaab，文】已知向量垂直，則（，與，），【課標(biāo)）若向量（ 【答案】7 ?m?7032?b,3?ba?m1a?a0m1? ，解得，所以，因?yàn)椤窘馕觥坑深}得 ?, 與的夾角為,

12、的模分別為1,1,2017江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,7.【OCOC2OAOAOBm?n? , .若則 . 且tan與=7,的夾角為45°)m(,n?RnOB?OCOC?OBmOA C B ?AO 題) (第12 3 【答案】 】 已知向量8.【2017江蘇，16.?0,?(3,?3),x(cosa?x,sinx),b 的值；求x）若ab, （1. 的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的求的值（2）記, )fxf(x)?a?b(x55? 0x?xxff3?2?xx?. 取到最小值2（） （【答案】1）時(shí)， 3取到最大值；時(shí)， 66 【解析】 ? xx,sin?acos33,b? （1

13、ba， ）因?yàn)椋?x?3cos3sinx?. 所以220sincos?cosx0x0x?1?sinxxcos?. 矛盾，故若，則，與 3?tanx? . 于是 3 a=(3,?2)(a+b)?ba?(1,m)，?m文數(shù)】已知向量2【2016高考新課標(biāo)（ ，且 ） 1.，則（A）8 （B）6 （C）6 （D）8 【答案】D 4?3?(m?2)?(?2)?0m?8ba?bb)?m?2)(a?(4,，故選，解得D. ，由【解析】向量得?ABCBCE,FA,DD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，中，是2.【2016高考江蘇卷】如圖，在是 BC?CA?4BF?CF?1BE?CE 的值是 . ， ，則 7 【答案

14、】 82222114AD?BC36FD?BC（BC?AD）（?BC?AD）=?4BA?CA?【解析】因?yàn)?， 2244 22BC?14FD1111?AD?BC?）?BF?CF?（BCAD）（? ， 42323 22221357BC16?BCFD?411ED22?FD,BC?BECE.?）?（EDBC（?）?BCED?， 因此 8422428 DA D滿足3.【2016年高考四川文數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C， 2 BMMCDCDCDCAPDBPMDBDBDADA?的最 =1，,P，=M=滿足=，則=-2，動(dòng)點(diǎn) ) ( 大值是 33?237?63374943 ） （ （B） A（） CD） 44

15、44B 【答案】 B?DC?D?2?ADB?BDC?120?,ADC?DAD為原點(diǎn)，直以.【解析】甴已知易得 ?ABCBCE,FA,DD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，中，是是高考江蘇卷】如圖，在4.【2016BC?CA?4BF?CF?1BE?CE 的值是 ， . ，則 7 【答案】 82222BC14AD?BC36?FD1?CA?=?4BA（BC?AD）（?BC?AD）【解析】因?yàn)椋?4422 22BC?4FD11111?（BC?AD）（?BC?AD）?BF?CF ， 43232 22221357?BCBC16FDED114?22?,BCFD?（BC?ED）（CEBE?）?.?ED?BC?， 因此

16、 8422428 1 ABC? t?,ACAB?AC,ABP所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，若 點(diǎn)是】已知 【2015高考福建，文9 tAB4ACPB?PC?AP? 的最大值等于（ ，則 ） ACAB A13 B15 C19 D21 【答案】A y C PBxA AB?OA?OBOA?3?OA|. ， ，則 【2015高考湖北，文11】已知向量 9 【答案】 ABOA?3|?|OA ，【解析】因?yàn)?222?OBOA9?3|OA|(?OA?AB)?|OA|?OA?OB?OA. 所以 a?BD?CDABCD60ABC? （ ,的邊長為 ，則 【2015高考山東，文4】已知菱形） 333222aa?a?）（D

17、 C） 錯(cuò)誤！未找到引用源。 ） （B （A） （ 424 32a 錯(cuò)誤！未找到引用源。 2D 【答案】3?2222BABA?BA?BC?BD?CD?BD?acos60?BC?BABA?aa? 【解析】因?yàn)?2 D. 故選 ba, 】對(duì)任意向量 ），下列關(guān)系式中不恒成立的是（ 【2015高考陜西，文7|b|a?b|?a|?|bb|a?|?|a B A 2222|ba?|(a?b)?b)b?a?)(a?ba? C D B 【答案】 4?6ABAD滿足.若點(diǎn)為平行四邊形，M，N高【2015考四川，文7】設(shè)四邊形ABCD ?NCAM?NMDNBM?3MC?2 ，則 ） ，（ 6 ） （D （C）9

18、B A（）20 （）15 C 【答案】 【解析】131AB?AD?AD,NM?CMCN?AM?AB? ，所以 344111122AMNM?(4AB?3AD)(4AB?3AD)?(16AB?9AD)?(16?36?9?16)?9，選 4124848C. bCa?b?2aC?2a2的等邊三角形，【2015高考安徽，滿足文8，是邊長為，】已知向量 ）則下列結(jié)論正確的是（ ? ba?1?a?b1?bC?4a?b ） （C （D（A） （B） D 【答案】 【解析】如圖， 1ABC?t?,ACABAB?AC,?P所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 點(diǎn)是】已知 2015【高考福建，文9，若 tAB4ACPB?PC?AP?

19、 的最大值等于（ ，則 ） ACAB A13 B15 C19 D21 【答案】A y C PBxA ABCD601,?ABC?/AB/DC,AB?2,BC?E 動(dòng)點(diǎn) 【2015高考天津，文14】在等腰梯形, 中,已知 1?DCBCAFAE?,?DCBC,BE?DFF. 和則 分別在線段 和, 上,且 的最小值為 ?9 29 【答案】 1811ABDF?DC?DC,，【解析】因?yàn)??29?911?91?AB?CF?DF?DC?DC?DC?DC ， ?1899?91?9?1?BC?ABABAE?BE?AB?AB?BCAB?BCAB?BC?CF?AF?， ?1818?911?9?1?9?22?BC?

20、AB?BC?AB?BC?AB?BC?1ABAE?AF ? ?181818? 2917212117?91?9?19?2?2?41?cos120 ?1821899182181829212?AF?AE?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即. 的最小值為 ?18293FD C EBA ?2a?3, ）表示出來的是（1. 【2014高考福建卷第8題】在下列向量組中，可以把向量)2(5,2?(?1,),e?e,?,?e(00),e(12)? A. B . 2112e?(2,?3),e?(?2,3106?e53?e(,),(,) D. C. 2121B 【答案】)?2),e?(5,e?(?1,2.成立只有【解析】由于平面向量的基本

21、定文可得,不共線的向量都可與作為基底21B. 故選. 【考點(diǎn)定位】平面向量的基本定文?a1?1,0,a60 ） ，則下列向量中與 成題】已知向量2. 【2014高考廣東卷文第5 的是（ ?,0,10,?1,11?1,1,01,?1,0 D. C. A. B. B 【答案】 【考點(diǎn)定位】空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算?O),(30(,B0,3),A0?1,CD滿足為原點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中20143. 【高考湖南卷第16題】,動(dòng)點(diǎn) ?OBOD?OACD的最大值是，則_. =1 1?7 【答案】 【考點(diǎn)定位】參數(shù)方程、三角函數(shù) ABCDAB?8,AD?5，中，已知題】如圖在平行四邊形12高考江蘇

22、卷第2014【4. 2BP?PD,AP?CP?3ADAB? . ，則 的值是 P C D B A 22 【答案】331AB?CD?ADABBP?BC?CP?BC?ADAP?DP?AD? ，【解析】由題意， 444 313122ABAB?(AD?ABAP?BP?(AD?)?AD?ADAB) ，所以 16424 31642?25?AD?AB22AB?AD? 即，解得 162 【考點(diǎn)定位】向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積 ?b/a，sin?2，cos1a，bcos?0?題】設(shè)，若132014陜西高考文第，則，向量5. 【 2?tan_. _ 1 【答案】 2?222?ba/coscos2sin?coscos2

23、?0sin?sin2?1，即，所以【解析】因?yàn)?，所?1sin1?cos2sincos?0?0?tan? 因?yàn)?，所以，故答案為，所以，所??222cos. 【考點(diǎn)定位】共線定文；三角恒等變換0,?,?ab?1,ba,abxOyQ點(diǎn)】在平面直角坐標(biāo)系題已知向量中，【6. 2014高考安徽卷文第10 ?sin?,0?2OPC?P?acosb?)2(?a?bOQ，區(qū)域曲線滿足. ?R?R,r0?P?r?PQ?C) 為兩段分離的曲線，則若.( ?R3r1?3R1r?1r3?1rR3R? C.B. A. D. A 【答案】 . 【考點(diǎn)定位】平面向量的應(yīng)用、線性規(guī)劃?R?ab0b?a?1|a|?)b?(

24、2,1，7. 【2014高考北京卷文第10題】已知向量，且、滿足（） ?|. 則 5 【答案】?ab?0?a?b|?|a|?|b|5?b|),1b2?( 【解析】當(dāng)，于是，所以，因?yàn)椋瑒t?|?5|1|?|a. ，所以又因?yàn)椤究键c(diǎn)定位】平面向量的模 ?bab?a?1)a?(3,3)b,?(1，則實(shí)數(shù)，112014高考湖北卷文第題】設(shè)向量，若8. 【? . ?3 【答案】【解析】 【考點(diǎn)定位】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積 1?a?3eee?2e?cos，向量的夾角為題】已知單位向量與，且15201410. 【江西高考文第 21213?e?3?becos. 的夾角為，則與= 21 22 【答案】 31

25、1122?23?a21?9?2?3?1?8,a?b?9?9?1?1?8,?9?4?2?9,b【解析】因?yàn)樗?3332 ?.?cos 以 32?23 【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積及夾角0a?b?0b?c?0c?a?cba,；是非零向量，已知命題P5題】設(shè)：，若則【11. 2014遼寧高考文第c/a/c/a/b,b/ 命題） ，則下列命題中真命題是（ q：若 ，則 )qp?q)?(?(?p)?(qpp?q? DAC B A 【答案】qp?. q是真命題，故為真命題【解析】由題意可知，命題P是假命題；命題 【考點(diǎn)定位】命題的真假?1 OABACAC?AB?AOC,AB，則為圓15題】已知若上的三點(diǎn)，與全國

26、12. 【20141高考文第 2 _的夾角為090 【答案】1OBCOBC）?（AB+ACAOCBO,的直徑，是線段是圓中點(diǎn)，故【解析】由三點(diǎn)共線，且，故 200ABAC90?BAC?90 從而與，因此的夾角為 【考點(diǎn)定位】平面向量基本定文 ?610) ，則b = a( 3201413. 【全國2高考文第題】設(shè)向量a,b滿足|a+b |=，|a-b|= D. 5 B. 2 C. 3 A. 1 A 【答案】rrrrrrrrrrrurrrurr222222226b?a?baa?b?2?b2a?a|?b|(a?b)ab|a?|?b)?(?，兩【解析】因?yàn)?10，rrrr221?a?b8?abA. 式

27、相加得：，所以，故選 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量,abxx,xx,x和兩組向量題】已知兩個(gè)不相等的非零向量201414. 【高考安徽卷文第1551324SSbay,y,yyy,S?x?y?x?y?x?y?x?y?x?y，.個(gè)3個(gè)均由2表示和排列而成記min512435544332211 .則下列命題的是_（寫出所有正確命題的編）所有可能取值中的最小值.:Z_xx_k.來源S. 有5個(gè)不同的值 aS,?ba. 與無關(guān)則若minbS,ba. 無關(guān)若與min a4b?0?S. 若，則min?2|?8|a|,Sa|b?2|ba的夾角為若，則 與 min4 ?22

28、22?1?2cos|8|a|a|cos?SS?4a?b(b)?8|a|?4?所以，.，故錯(cuò)誤 3min3 正確的編為 量積.【考點(diǎn)定位】平面向量的運(yùn)算、平面向量的數(shù) R?mb?c?maac2)?a(1,2)b?(4,的與，）201415. 【四川高考文第7題】平面向量，且，（ bc?m ） （夾角等于 與的夾角，則 2?211 B C AD D.【答案】K來源學(xué)。科。Z。X。Xc?ac?bc?ac?b5m?88m?20?m?2，選D. 由題意得：【解析】 525b?cbac?a m?2xy?yx 上，由此可得必在直線C對(duì)稱，故點(diǎn)關(guān)于直線OB，OA法二、由于 【考點(diǎn)定位】向量的夾角及向量的坐標(biāo)運(yùn)算. y,x?x,x?yy?,yy?minxmaxx,ba,為平面，設(shè)8題】記，16. 【2014浙江高考文第?yx?x?yx,y,? ）向量，則（ |,|b|?min|abmin|a?b|,|a? A. |,|b|?min|amin|a?b|,|a?b B. 2222|b|?|a|?|?mi