立體幾何解題方法技巧

1、專題六立體幾何解題方法技巧一、內(nèi)容提要：立體幾何需要我們?nèi)ソ鉀Q的問(wèn)題概括起來(lái)就是三個(gè)方面，證明位置關(guān)系、求距離和求 角；具體內(nèi)容見(jiàn)下表：立 體 幾 何提 要主要內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容位置關(guān)系兩條異面直線相互垂直、直線與平面平行、直線與平面斜交、直線與平面垂直、兩個(gè)平面斜交、 兩個(gè)平面相互垂直兩條異面直線相互垂直、直線 與平面平行、直線與平面垂 直、兩個(gè)平面相互垂直距離兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到 平面的距離、兩個(gè)平面的距離兩條異面直線的距離、點(diǎn)到平 面的距離角 度兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、 二面角兩條異面直線所成的角、 直線 和平面所成的角、二面角用心 愛(ài)心 專心5二、主要

2、解題方法：（一）位置關(guān)系1、兩條異面直線相互垂直證明方法：證明兩條異面直線所成角為900；證明兩條異面直線的方向量相互垂直2、直線和平面相互平行證明方法：證明直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè) 平面內(nèi)的一個(gè)向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直。3、直線和平面垂直證明方法：證明直線和平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，證明直線的方向量與這個(gè)平面內(nèi)不 共線的兩個(gè)向量都垂直；證明直線的方向量與這個(gè)平面的法向量相互平行。900；證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直于4、平面和平面相互垂直 證明方法：證明這兩個(gè)平面所成二面角的平面角為 另外一個(gè)平面；證明兩個(gè)平面的法向量

3、相互垂直。（二）求距離求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離， 直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到 平面的距離，一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。1、兩條異面直線的距離求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)度，線段長(zhǎng)度的求法也可以用向量來(lái)幫助解決，求線段AB的長(zhǎng)度，可以利用來(lái)幫助解決，但是前提條件是我們要知道的模和每?jī)蓚€(gè)向量所成的角。利用公式（其 中A、B分別為兩條異面直線上的一點(diǎn)，為這兩條異面直線的法向量）2、點(diǎn)到平面的距離求法： “一找二證三求 ”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。等體積法。向量法，利用公式（其中A 為已知點(diǎn), B 為這個(gè)平面內(nèi)的

4、任意一點(diǎn),這個(gè)平面的法向量）（三）求角1、兩條異面直線所成的角求法： 先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移, 找出這兩條異面直線所成的角, 然后通過(guò) 解三角形去求得； 通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得, 但是注意到異面直線 所成角得范圍是, 向量所成的角范圍是, 如果求出的是鈍角, 要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳 角。2、直線和平面所成的角求法： “一找二證三求 ”,三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。向量法,先求直線的方向量于平面的a,法向量所成的角 a,那么所要求的角為或3、平面與平面所成的角求法： “一找二證三求 ”，找出這個(gè)二面角的平面角，然后再來(lái)證明我們找出來(lái)的這個(gè)角是我 們要求的二面角的平面角，

5、 最后就通過(guò)解三角形來(lái)求。 通過(guò)射影面積來(lái)求 （在其中一個(gè)平面 內(nèi)找出一個(gè)三角形， 然后找這個(gè)三角形在另外一個(gè)平面的射影， 那么這個(gè)三角形的射影面積 與原三角形面積之比即為 COS a注意到我們要求的角為a或n a）;向量法，先求兩個(gè)平面的法向量所成的角為 a,那么這兩個(gè)平面所成的二面角的平面角為a或n a。我們現(xiàn)在來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題的時(shí)候， 注意到向量知識(shí)的應(yīng)用， 如果可以比較容 易建立坐標(biāo)系， 找出各點(diǎn)的坐標(biāo)， 那么剩下的問(wèn)題基本上就可以解決了， 如果建立坐標(biāo)系不 好做的話，有時(shí)求距離、角的時(shí)候也可以用向量，運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候，就用傳統(tǒng)的 方法了！三、注意的問(wèn)題：1、我們現(xiàn)在提

6、倡用向量來(lái)解決立體幾何的有關(guān)問(wèn)題，但是當(dāng)運(yùn)用向量不是很方便的時(shí)候， 傳統(tǒng)的解法我們也要能夠運(yùn)用自如。2、我們?nèi)绻峭ㄟ^(guò)解三角形去求角、距離的時(shí)候，做到 “一找二證三求 ”，解題的過(guò)程中一 定要出現(xiàn)這樣一句話， 2 a是我們所要求的角”、線段AB的長(zhǎng)度就是我們所要求的距 離”等等。讓人看起來(lái)一目了然。3、COS a X,則這兩條異面直線所成的角為用向量來(lái)求兩條異面直線所成角時(shí),若求出a arCCOS|X|4、在求直線與平面所成的角的時(shí)候,法向量與直線方向量所成的角或者法向量與直線的方 向量所成角的補(bǔ)交與我們所要求的角互余,所以要或,若求出的角為銳角,就用,若求 出的鈍角,就用。5、求平面與平面所

7、成角的時(shí),若用第、種方法,先要去判斷這個(gè)二面角的平面角是鈍角還 是銳角,然后再根據(jù)我們所作出的判斷去取舍?！緦ｎ}訓(xùn)練】1、已知三棱錐 PABC中PB丄底面ABC,PB=BC=CA=a E 是 PC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F在 PA上，且 3PF=FA.（1）求證：平面PACIPBC;（2） 求平面BEF與底面ABC所成角（用一個(gè)反三角函數(shù)值表示）.2、如圖，四棱錐 PABCD的底面是正方形，PAI底面ABCD, PA=AD=2點(diǎn)M、N分別在棱PD、( 1)( 2)( 3)PC上，且PC丄平面AMN.求證：AM丄PD;求二面角 PAM N的大??；求直線CD與平面AMN所成角的大小.3、如圖，平面 ABCD

8、丄平面ABEF ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 G是EF的中點(diǎn), (1 )求證平面 AGC丄平面BGC;(2 )求GB與平面AGC所成角的正弦值.( 3 )求二面角 BACG 的大小 .4、如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，為平面內(nèi)一點(diǎn)，。( 1 )證明平面；( 2)求與平面所成的角；( 3)若正方體的棱長(zhǎng)為，求三棱錐的體積。在，在即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為若利用面積射影法，指出 HDB是 EFB在底面ABC上的射影，并計(jì)算出其面積 分計(jì)算出即平面BEF與底面ABC所成二面角的大小為2、（ 1）證明：/ ABCD是正方形， CD丄AD,/ PA丄底面 ABCD, PA丄 CD

9、. CD丄平面PAD/ AM 平面 PAD, CD丄 AM./ PC丄平面 AMN , PC丄 AM. AM丄平面PCD. AM 丄 PD.（2）解：/ AM丄平面PCD （已證）. AM丄 PM, AM 丄 NM. / PMN為二面角 P-AM-N的平面角./ PN丄平面 AMN , PN丄 NM.在直角PCD中，CD=2, PD=2, PC=2./ PA=AD AM 丄 PD, M 為 PD 的中點(diǎn)，PM=PD= 由 RtA PMNs RtA PCD,得.即二面角PAM N的大小為.3、（ 1）證明：正方形 ABCD 面ABCD丄面ABEF且交于AB, CB丄面 ABEF / AG, GB面 ABEF, CB丄AG, CB丄 BG又AD=2a, AF= a, ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)， AG丄 BG CGQ BGB 二 AG丄平面 CBG 而 AG 面 AGC, AG=BG=，AB=， AB2=AG2+BG2，故平面AGC丄平面BGCAGC丄面BGC且交于 GC,在平面 BGC內(nèi)作BH丄GC, /