年金的含義與計(jì)算

1、第一章財(cái)務(wù)管理的價(jià)值觀念教學(xué)目標(biāo)：了解資金時(shí)間價(jià)值；熟悉資金時(shí)間價(jià)值的基本術(shù)語(yǔ)；掌握單利、 復(fù)利與預(yù)付年金的終值與現(xiàn)值的計(jì)算方法； 了解風(fēng)險(xiǎn)的概念和類別；掌握風(fēng)險(xiǎn)衡 量及風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬確定的方法。教學(xué)重點(diǎn)：終值、現(xiàn)值的含義，復(fù)利終值現(xiàn)值的計(jì)算；普通年金終值、現(xiàn)值 計(jì)算；預(yù)付年金終值現(xiàn)值計(jì)算；遞延年金終值現(xiàn)值計(jì)算；永續(xù)年金終值現(xiàn)值計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)：年金終值現(xiàn)值計(jì)算。課時(shí)：8第一節(jié)：資金時(shí)間價(jià)值什么是資金時(shí)間價(jià)值？資金的所有者因進(jìn)行某項(xiàng)投資活動(dòng)（如開辦企業(yè)、購(gòu)買有價(jià)證券、存入銀 行、借出款項(xiàng)等）而推遲消費(fèi)，就要得到相應(yīng)的報(bào)酬。這種因推遲使用貨幣一段 時(shí)間而得到的相應(yīng)報(bào)酬就是資金的時(shí)間價(jià)值。期初狀態(tài)效果1萬(wàn)

2、元置于家中1萬(wàn)元1萬(wàn)元進(jìn)一批貨，1個(gè)月內(nèi)售出，獲利10%1.1萬(wàn)元1萬(wàn)元存入銀行，年利率12%1.01萬(wàn)元時(shí)間價(jià)值實(shí)質(zhì)是隨著時(shí)間的推移，貨幣在周轉(zhuǎn)使用中所發(fā)生的增值，時(shí)間越 長(zhǎng)、增值越多。本質(zhì)上看，它來(lái)源于貨幣有目的的投資，是工人創(chuàng)造的剩余價(jià)值 的一部分。1、單利的計(jì)算計(jì)算公式F = PP = FI = PF-i-例1：5-（1+ i-（1+ i-i I 終值 P- 利率（折現(xiàn)率）I- 利息n-計(jì)息期某人持有一張帶息票據(jù)，面額 2000兀，票面利率 %，持票90天，問(wèn)他可以得到多少利息？ n )-n )-1現(xiàn)值（本金）解：1=2000 X 5 % X 90 / 360=25 （元）例2:某人希

3、望在5年后從銀行取得本利和1000元,用于支付一筆款項(xiàng)。若在利率為 5%，在單利 方式計(jì)算下，此人現(xiàn)在需要存入銀行多少錢？解：P=1000X 1 /(1+ 5 % X 5) =800 (元)2、復(fù)利終值是指一定量的本金，按復(fù)利計(jì)算，若干期后的本利和。 公式： Fn= P - (1+i)n復(fù)利終值系數(shù)(F / P, i，n)Fn復(fù)利終值P 本金i 利率n計(jì)息期復(fù)利利息：I=F-P=P (1+i) n-1公式的推導(dǎo)如下：年份年初本金P當(dāng)年利息1年末本利和F1PPlP (1+i)2F(卄 i)P(l+i) iP(1+i)=4*n1p("I嚴(yán) InP(1+ir ipci+ir3 年期滿,例3

4、:某人將1000元存入銀行，定期3年，年利率10%, 按復(fù)利計(jì)算，問(wèn)他可以從銀行得到多少元？解：F5 =1000 X=1000(1+ 10 % ) =1000 X (F / P, 10 %，3)X 1.331=1331 (元)例4：某人有資金1000元，擬存入銀行，在復(fù)利10%計(jì)息 的條件下，經(jīng)過(guò)多少年可以使他的資金增加一倍？=1000 X (F / P, 10 %，n)n(1+10 % )2=查表可知：需要7年多的時(shí)間。 例5：(復(fù)利現(xiàn)值)某企業(yè)擬在解：2000 =1000 X( 1+ 10 % )(1+ 10 % ) 5X (1+ 10 % ) -5X (P / F，10 % ，5)X 0

5、.621元)某企業(yè)用1000元對(duì)外投資5年，年利率為15%，5年后用10000元購(gòu)買新設(shè)備，銀行現(xiàn)行 的年利率為10%，問(wèn)現(xiàn)在需要一次存入銀行多少元？解：10000 =PXP=10000=10000=10000=6210(例6：(復(fù)利利息)每年復(fù)利一次，其復(fù)利本利和與復(fù)利利息為多少？解：F=1000X( 1+ 15 % ) 5=1000 X (F / P ， 15%，5)=1000X 2.011=2011 （元）I =2011- 1000=1011 （元）能表示資金在不同時(shí)間點(diǎn)流入與流3、現(xiàn)金流量圖（cash flow diagram） 描述現(xiàn)金流量作為時(shí)間函數(shù)的圖形，它 出的情況。是資金時(shí)間

6、價(jià)值計(jì)算中常用的工具。三大要素：大小、流向、時(shí)間點(diǎn)30020020020001000現(xiàn)金流入0 1現(xiàn)金流IB400說(shuō)明:.水平線是時(shí)間標(biāo)度，時(shí)間的推移是自左向右,每一格代表一個(gè)時(shí)間單位（年、月、日）；.箭頭表示現(xiàn)金流動(dòng)的方向：向上現(xiàn)金的流入,向下一一現(xiàn)金的流出;.現(xiàn)金流量圖與立腳點(diǎn)有關(guān)。注意： .第一年年末的時(shí)刻點(diǎn)同時(shí)也表示第二年年初。 .立腳點(diǎn)不同,畫法剛好相反。 .凈現(xiàn)金流量=現(xiàn)金流入-現(xiàn)金流出.現(xiàn)金流量只計(jì)算現(xiàn)金收支（包括現(xiàn)鈔、轉(zhuǎn)帳支票等憑證）,不計(jì)算項(xiàng)目?jī)?nèi) 部的現(xiàn)金轉(zhuǎn)移（如折舊等）。例7:某投資者購(gòu)買了 1000元的債券，限期3年，年利率10%到期一次還本付 息，按照復(fù)利計(jì)算法，則3年

7、后該投資者可獲得的利息是多少？F=?i=10%解：匸P(1+i)n 1=1000(1+10%)3 1=331 元 (三)年金的現(xiàn)值與終值?年金是(Annuity )指等額、定期的系列收支。特點(diǎn)：等額、等期 形式：等期等額償還貸款，等期等額發(fā)放養(yǎng)老金、等期等額支付工程款、 每年相同的銷售收入?按年金的收付時(shí)點(diǎn)，可以將年金劃分為:普通年金、預(yù)付年金、遞延年金、永續(xù)年金1、普通年金(Ordinary Annuity)又稱后付年金：是指各期期末收付的年金。245(1) 普通年金終值：是一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和。每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和n-1AAA* A(i+i)°

8、;A-(ki)- 0A(hi)切+“門1普通年金終值計(jì)算公式的推導(dǎo)每年的支付金額為A;利率為I;期數(shù)為n;則按復(fù)利計(jì)算的普通年金終值A(chǔ)1 i A1 i 2A1F為:3八彳 n 1 A1 i每年的等式兩邊同乘(2A1 i A1 i 21+i):A1A , n 1. . nA1 i A1 i上述兩式相減，整理后,得到:其中:是普通年金為1元、利率為i、經(jīng)過(guò)n期的年金終值，記作(F/A, i , n),可以通過(guò)查閱“年金終值系數(shù)表”取得相關(guān)系數(shù)。(1+8% ) 5 -1 / 8 % (F / A , 8%, 5) 5.867=586.7 (元)例8:某人5年內(nèi)，每年年底存入銀行100元，存款利率為8

9、%,問(wèn)第5年年末 年金終值為多少？解：F =100=100=100(2) 償債基金的計(jì)算償債基金(Sinking Fund)是指為了在約定的未來(lái)一定時(shí)點(diǎn)清償某筆債務(wù)或 積聚一定數(shù)額的資金而必須分次等額存入的準(zhǔn)備金，也就是為使年金終值達(dá)到既 定金額的年金數(shù)額。償債基金的計(jì)算是根據(jù)年金的終值計(jì)算年金的即已知終值求 年金。根據(jù)普通年金終值計(jì)算公式：A F/A,i,n1 i 1i可知:FF/A,i,n式中的普通年金終值系數(shù)的倒數(shù)，稱償債基金系數(shù)記作(A/F, i , n)償債基金系數(shù)和普通年金終值系數(shù)互為倒數(shù)?！纠恐朴嗊€款計(jì)劃例9:假設(shè)江南公司擬在3年后還清100萬(wàn)元的債務(wù)，從現(xiàn)在起每年末等 額存入

10、銀行一筆款項(xiàng)。假設(shè)銀行存款利率為10%，每年需要存入多少元？解：F10030.21萬(wàn)元F/A,10%,3A F /A,i, n在銀行利率為10%時(shí)，每年存入30.21萬(wàn)元，3年后可得100萬(wàn)元，用來(lái)還清債 務(wù)。由于有利息因素，不必每年存入 33.33萬(wàn)元，只要存入較少的金額，3年后 本利和即可達(dá)到100萬(wàn)元用以清償債務(wù)。（3）普通年金現(xiàn)值的計(jì)算它是一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利現(xiàn)值之和。n1A(i+1)VA-(i+1)'3Cti-1)A(i+1)普通年金現(xiàn)值公式的推導(dǎo):由于：1P A1 iA1 i 2A1 i 3A1 i n等式兩邊同乘（1+i）:1 i P A1 i0 A1i

11、1 A1 i 2A1 i (n1)上述兩式相減（2） (1)：A1 i其中:i是普通年金為1元、利率為i、經(jīng)過(guò)n期的年金現(xiàn)值記作（P/A, i，n）可以通過(guò)查閱“年金現(xiàn)值系數(shù)表”取得相關(guān)系數(shù)。例10：假設(shè)你需要在每年年末取出100元，連續(xù)取3年，在銀行存款利率為10% 的情況下，你現(xiàn)在要向銀行存入多少錢？P=100X（ 1+10% -1+100 x（ 1+10% -2+100 x（ 1+10% -3 =248.68 元例12:某公司須馬上向銀行存入一筆款項(xiàng)，以便在今后 5年內(nèi)能于每年年終發(fā) 放特種獎(jiǎng)金4000元?，F(xiàn)時(shí)銀行存款年利率為 8%，問(wèn)該公司現(xiàn)在應(yīng)向銀行存入 多少元？解：P =4000

12、X 1 （1+8% ） -5 / 8%=4000 X （P / A，8%，5）=4000 X 3.993=15972 （元（4）、年資本回收額的計(jì)算年資本回收額（Capital Recovery ），是指在約定年限內(nèi)等額收回初始投入 資本或清償所欠的債務(wù)。即根據(jù)年金現(xiàn)值計(jì)算的年金，即已知現(xiàn)值求年金。根據(jù)普通年金現(xiàn)值計(jì)算公式：A P/ A,i, n可知:P/A,i ,n普通年金現(xiàn)值系數(shù)的倒數(shù)，稱資本回收系數(shù)記作（A/P，i，n ）資本回收系數(shù)與年金現(xiàn)值系數(shù)互為倒數(shù) 例13：假設(shè)江南公司現(xiàn)在擬出資 10%，公司擬在3年內(nèi)收回投資， 解：A100100萬(wàn)元投資某項(xiàng)目，項(xiàng)目投資回報(bào)率預(yù)計(jì)為 請(qǐng)問(wèn)每年至

13、少要收回多少元 ？40.21萬(wàn)元P / A,i,nP/A ,10%,3投資回報(bào)率為10%時(shí)，每年至少要收回40.21萬(wàn)元，才能確保3年后收回初始 投資額100萬(wàn)元。2.即付年金（預(yù)付年金）即付年金是指一定時(shí)期內(nèi)，每期期初等額收付的系列款項(xiàng)。（1）即付年金終值：是其最后一期期末時(shí)的本利和，即各期收付款項(xiàng)的復(fù)利終 值之和。023n 1nn期即付年金終值n1n期普通年金終值預(yù)付年金與普通年金比較：普通年金收付款的時(shí)點(diǎn)？在期末 預(yù)付年金的收付款時(shí)點(diǎn)？在期初 這是兩者的區(qū)別。在實(shí)務(wù)中，我們可以在理解普通年金終值計(jì)算的基礎(chǔ)上掌握預(yù)付年金終值的計(jì) 算。具體有兩種方法：方法一：利用同期普通年金的終值公式再乘以

14、（1+i）計(jì)算(1 + i)A (F/A, i , n)預(yù)付年金的終值計(jì)算公式為:F AF/A,i, n 1 i方法二：利用期數(shù)加1，系數(shù)減1的方法計(jì)算 預(yù)付年金的終值計(jì)算公式應(yīng)為：F A F/A,i,n 1 A A F/A,i,n 1123n-1nA (F/A,i,n+1 ) -A1000萬(wàn)元，預(yù)8%該項(xiàng)目的投例14：假如江南公司有一基建項(xiàng)目，分五次投資，每年年初投資 計(jì)第五年末建成。該公司的投資款均向銀行借款取得，利率為 資總額是多少？（1 ）按方法一計(jì)算：F= A （ F/A，i，n） （1+i）=1000X（ F/A，8% 5）X（ 1+8%=1000X 5.8666 X（ 1+8%=

15、6335.92 （元）（2）按方法二計(jì)算：F= A （ F/A，i，n+1）- A=A （F/A，i，n+1）- 1）=1000X （F/A，8% 6）- 1）=1000X（ 7.3359 1）=6335.90 （元）1000元，現(xiàn)時(shí)銀解：F =1000=1000 或：F=1000=1000（2）預(yù)付年金現(xiàn)值的計(jì)算例15： 某人計(jì)劃在連續(xù)10年的時(shí)間里，每年年初存入銀行 行存款利率為8%，問(wèn)第10年末他能一次取出本利和多少元？X （F / A，8%，10） X（ 1+ 8 %）X 14.487 X 1.08=15645（元）X （F / A，8%，11）-1X （16.645-1）=15645

16、（元）預(yù)付年金現(xiàn)值，是指一定時(shí)期內(nèi)每期期初收付款項(xiàng)的復(fù)利現(xiàn)值之和。每期期初收付款項(xiàng)的復(fù)利現(xiàn)值之和。有兩種計(jì)算方法。0 1門期即付年,金現(xiàn)值 'A A0n-1n期普通年金現(xiàn)值方法一：利用同期普通年金的現(xiàn)值公式再乘以(1+i )計(jì)算(1+/)o4A （P/A 兒 n）即付年金的現(xiàn)值公式:P A P/A,i,n 1 i1的方法計(jì)算方法二： 利用期數(shù)減1,系數(shù)加 預(yù)付年金的現(xiàn)值公式：P AP/ A,i, n1 A A P/A,i,n 11A f PjA,hn-l） +A也就是說(shuō)，即付年金現(xiàn)值系數(shù)與普通年金現(xiàn)值系數(shù)相比，期數(shù)減1,系數(shù)加1。例16：江南公司擬購(gòu)買新設(shè)備，供應(yīng)商有兩套付款方案。方案

17、一是采用分m+1 m+ 2 . m +n付款方式，每年年初付款20000元，分10年付清。方案二是一次性付款15萬(wàn) 元。若公司的資金回報(bào)率為6%你將選擇何種付款方式，假設(shè)有充裕的資金。解：實(shí)際上，將方案一求出的現(xiàn)值與方案二的15萬(wàn)元進(jìn)行比較即可得出結(jié)果。也就是求預(yù)付年金的現(xiàn)值，因此有：=20000 X( P/A, 6% 10)X( 1+6%=20000X 7.3601 X( 1+6%=156034.00 (元)或，=20000X (P/A, 6% 10 1)+ 1)=20000 X( 6.8017 + 1)=156034.00 (元)所以，應(yīng)選擇一次性付款。例17:企業(yè)若租用一臺(tái)設(shè)備，在10年

18、中，每年年初要付租金 5000元，現(xiàn) 時(shí)銀行存款利率為8%。假設(shè)該設(shè)備原值40000元，無(wú)殘值，問(wèn)該企業(yè)應(yīng)租還是 應(yīng)買？X (P / A , 8%, 10) X( 1+ 8 %)X 6. 71 X 1.08=36234(元)X (P / A , 8%, 9)+1X (6.247+1)=36235(元)V 40000 元租設(shè)備劃得來(lái)！解:P =5000=5000或：P=5000=5000預(yù)付年金的終值比普通年金的終值大 (預(yù)付 期數(shù)加 1,系數(shù)減1)預(yù)付年金的現(xiàn)值比普通年金的現(xiàn)值大 (預(yù)付 期數(shù)減 1,系數(shù)加1)是指第一次年金收付形式發(fā)生在第二期或第普通年金與預(yù)付年金的比較年金期間利率和金額相同

19、時(shí)， 年金終值系數(shù)在普通年金終值系數(shù)上,©年金期間利率和金額相同時(shí)， 年金現(xiàn)值系數(shù)在普通年金現(xiàn)值系數(shù)上,3、遞延年金遞延年金(Deferred Annuity ) 二期以后的年金。遞延年金的支付形式如圖所示。02 .m+ 1 m+ 2 .> Jn遞延期遞延年金發(fā)生的期數(shù)從圖中可以看出，前m期沒(méi)有發(fā)生年金收付形式。我們一般用 m表示遞延期數(shù), 用n表示遞延年金發(fā)生的期數(shù)，則總期數(shù)為 m+n(1)、遞延年金終值計(jì)算n。由于遞延期m與終值無(wú)關(guān)，只需考慮遞延年金發(fā)生的期數(shù)0遞延期遞延年全發(fā)生的期數(shù)計(jì)算公式如下:F AF/A,i,n例18:農(nóng)莊的累計(jì)凈收益為多少？假設(shè)江南公司擬一次性投資

20、開發(fā)某農(nóng)莊，預(yù)計(jì)該農(nóng)莊能存續(xù) 15年，但是前 5年不會(huì)產(chǎn)生凈收益，從第6年開始，每年的年末產(chǎn)生凈收益 5萬(wàn)元。在考慮資 金時(shí)間價(jià)值的因素下，若農(nóng)莊的投資報(bào)酬率為 10%該農(nóng)莊給企業(yè)帶來(lái)累計(jì)收益 為多少？0S+10遞延期5遞延年金發(fā)生的期數(shù)10求該農(nóng)莊給企業(yè)帶來(lái)的累計(jì)收益，實(shí)際上就是求遞延年金終值。 根據(jù)10%10)=50000 X( F/A，=50000 X 15.937=796850 (元)(2)、遞延年金現(xiàn)值計(jì)算1m+12m+21An-lnm-hn-l m+n遞延年金是指在最初若干期沒(méi)有收付款項(xiàng)的情況下，后面若干期有等額的系 列收付款項(xiàng)。遞延年金的現(xiàn)值是自若干時(shí)期后開始每期款項(xiàng)的現(xiàn)值之和。

21、 即是后 n期年金貼現(xiàn)至m期第一期期初的現(xiàn)值之和。遞延年金的現(xiàn)值與遞延期數(shù)相關(guān)遞延的期數(shù)越長(zhǎng)，其現(xiàn)值越低。遞延年金的 現(xiàn)值計(jì)算有三種方法。方法1：把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現(xiàn)值，然后再向前折現(xiàn)。2 . mni+1m+2 .n遞延朗遞延年金發(fā)生的期數(shù)AP/A,i,n P/F,i,m方法2：把遞延期每期期末都當(dāng)作有等額的年金收付 A，把遞延期和以后各期看成是 一個(gè)普通年金，計(jì)算出這個(gè)普通年金的現(xiàn)值再把遞延期虛增的年金現(xiàn)值減掉即 可。12m+ 1m十2 .假設(shè)遙延期內(nèi)tt期都有A收忖P /A,i,m n P / A, i, m先求遞延年金終值，再折現(xiàn)為現(xiàn)值012nn+2 . m+ n方法3

22、：A F /A,i,n P/F,i,m n例19：農(nóng)莊的累計(jì)投資限額為多少?假設(shè)江南公司擬一次性投資開發(fā)某農(nóng)莊，預(yù)計(jì)該農(nóng)莊能存續(xù) 15年，但是前 5年不會(huì)產(chǎn)生凈收益，從第6年開始，每年的年末產(chǎn)生凈收益 5萬(wàn)元。在考慮資 金時(shí)間價(jià)值的因素下，若農(nóng)莊的投資報(bào)酬率為 10%假設(shè)江南公司決定投資開發(fā) 該農(nóng)莊，根據(jù)其收益情況，該農(nóng)莊的累計(jì)投資限額為多少？分析:0> J遞延年金發(fā)生的期數(shù)l_0遞延期55+2 .5+10實(shí)質(zhì)上，求現(xiàn)值只有未來(lái)的收益大于當(dāng)前的投資額， 企業(yè)才有投資的意愿。由于不同時(shí)點(diǎn)上 的資金不能直接比較。因此，必須考慮資金時(shí)間價(jià)值，將未來(lái)的收益與當(dāng)前的投 資額進(jìn)行對(duì)比。因?yàn)檫f延期 m為5 ,發(fā)生遞延年金收付期數(shù)n為10。解：按第一種方法計(jì)算:P= 50000X( PA, 10% 10)X( F/F, 10% 5) =50000X 6.1446 X 0.6209=190759.11 (元)按第二種方法計(jì)算:P= 50000X( F/A, 10% 15) 50000X( P/A, 10% 5)=50000X 7.6061 50000X 3.7908=190765.00 (元)按第三種方法計(jì)算:P= 50000X( F/A, 10% 10)X( P/F , 10% 15) =50000X 15.