專題二平行四邊形常用輔助線的作法精排版修訂版

1、專題二平行四邊形常用輔助線的作法精排版修訂版IBMT standardization office IBMT5AB-IBMT（）8-IBMT2C-ZZT18請?zhí)顚懝久Q專題講義 平行四邊形+幾何輔助線的作法一、知識(shí)點(diǎn)1.四邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)四邊形的內(nèi)角和等于360。；(2)四邊形的外角和等于360。.2.多邊形的內(nèi)角和與外角和定理:(1)n邊形的內(nèi)角和等于等-2)180、；(2)任意多邊形的外角和等于360。.3.平行四邊形的性質(zhì):【兩組對(duì)邊分別平行;四邊形ABCD是平行四邊形彳(2)(4)(5)兩組對(duì)邊分別相等: 兩組對(duì)角分別相等; 對(duì)角線互相平分； 鄰角互補(bǔ).4、平行四邊形

2、判定方法的選擇 5、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法(1)利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形 例1、如圖，已知點(diǎn)0是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊 形.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行,且要:行構(gòu)造平行四邊形求證：0E與AD互相平分.c 中，E、F 為 AB 上兩點(diǎn)，AE=BF, ED/AC, FGAC 交 BC 分別為 D, G.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊E 仁Qj/ME 仁心D求證：ED+FG=AC.(3)利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形線互相平分構(gòu)造平用亍平移法構(gòu)造平行例3、如圖，已知AD是ABC的中線,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC

3、說明：本(4)連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全藕劈 例4、如圖，在平行四邊形A8CO中，點(diǎn)E,E在時(shí)酒殘/於七宜?*:潘保慶廣為八 一個(gè)端點(diǎn),和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等需證明一冬緯段即可)例5、如右圖2,在平行四邊形A3C。中，對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)0,如果AC=12,80=10, AB = m9那么加的取值范圍是()A、1 < / < 11B、2 < m < 22D、5 < m < 6求證：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2(7)延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)

4、化為三角形。例7、已知：如右上圖4,在正方形A8C0中，£尸分別是8、D4的中點(diǎn)，BE與CF 交于尸點(diǎn)，求證：AP=AB二、課堂練習(xí)：1、如圖，E是平行四邊形A3。的邊A3的中點(diǎn)，AC與。石相交于點(diǎn)尸，若平行四邊形 ABCD的面積為s,則圖中面積為:S的三角形有()A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)2、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)，得到一個(gè) 四邊形.3、如圖，AD, BC 垂直相交于點(diǎn) 0, ABCD, BC=8, AD=6,則AB+CD的長二。，并證明4、已知等邊三角形ABC的邊長為a, P是內(nèi)一點(diǎn)，PDAB, PEBC, PF AC,點(diǎn)D、E、F分別在 BC、AC

5、、AB±,猜想：PD+PE+PF=你的猜想.5、平行四邊形被力中，£,G,凡”分別是四條邊上的點(diǎn)，5.AE = CF,BC = DH9試說明：E/與G"相互平分.6、如圖，平行四邊形的）的對(duì)角線，。和劭交于0, E、 任作一直線分別交戰(zhàn)CD于G、H.試說明：GF/EH.7、如圖，已知A3=AC, B是9的中點(diǎn)，E是血的中點(diǎn).試說明：CD = UCE8、如圖，E是梯形被力腰加的中點(diǎn).9、已知六邊形 ABCDEF 的 6 個(gè)內(nèi)角均為 120° ， CD=2cm, BC=8cm, AB=8cm, AF=5cm,試求此六邊形的周長.10、已知A45c是等腰三角形

6、，AB=AC, D是BC邊上的任一點(diǎn)，DF 1AC.CH ±AB 9 垂足分別為 E、F、H求證：DE + DF=CH11、已知：在RQ18C中，AB = BC；在KfAAOE中，AD=DE；連結(jié)與C,眼EC值中 點(diǎn)M,連結(jié)DM和8M.(1)若點(diǎn)。在邊AC上，點(diǎn)E在邊A5上且與點(diǎn)8不重合，如圖，求證：5M = "M 且 SMLOM；(2)如果將圖8-中的A40E繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證 明.答案: 例4、連結(jié)8尸(2)BF = DE證明：連結(jié)。8,。尸，設(shè)08,AC交于點(diǎn)0; A

7、E=FC：.AO-AE = OC-FC OE = OFV四邊形4 BCD為平行四邊形：.AO = OC,DO = OB四邊形必尸。為平行四邊形:.BF=DE例5、解：將線段03沿。方向平移，使得。8 = CE,3邑則有四邊形83E為平 行四邊形,二在AACE中，AC=12f CE = BD=。, AE=2AB = 2m：.12-10<2/h<12 + 10,即2<2加<22 解得 1 vmvll故選A例6、證明：過4。分別作AEJ_8c于點(diǎn)七，5C的延長線于點(diǎn)F:.AC2 = AE2 +CE2 =AB2- BE2 + (BC - BE)2 = AB2 + BC2 - 2

8、BE - BC貝！J AC? + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 + 2BC CF - 2BC, BE 四邊形A3CQ為平行四邊形：.AB/CDAB = CD, AD=BC：.ZABC=ZDCFZAEB=ZDFC = 90°：.AABE=ADCF：.BE=CF：.AC2+ BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2例7、證明：延長b交A4的延長線于點(diǎn)K 四邊形A8C0為正方形A AB/CDKAB = CD9 CD = AD, ZBAD= ZB CD = ZD = 90°:.ACDF g AKAF又: NO = NDAK = 90。，DF

9、= AF AK = CD = AB : CE = -CD,DF = -AD:. CE = DF22V ZBCD=ZD = 90°:. MCEg&CDF：. Z1 = Z2V Zl + Z3 = 90°；. Z2 + Z3 = 90°/. ZCPB = 90°,貝I) /KPB = 90°:.AP=AB二、課堂練習(xí)1、C 2、平行 3、104、a5、分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形力防的對(duì)角線，若能說明四邊形 M是平行四DFC邊形，根據(jù)H盡'/平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)即可得到EF與做相互平分。b6、分析：觀察圖形，GF

10、與EH為四邊形GEHF的對(duì)邊，若能說明四邊形成防是平行四邊 形，平行四邊形具有對(duì)邊平行的性質(zhì)可得GF/EH. 夕7、分析：延長龍至凡 使四綏 連結(jié)/、BF,得四邊形狼。是平今自連形，骨用平行四邊形形,ABE與四邊形的財(cái)?shù)鹊椎雀?，所以以?：S平行四姓3,接下來說明 乙S禪形X5Q= S平行四邊形&W艮。可 o9、 10、證明：過D點(diǎn)作DG±CH于G工四邊形DGHE為矩形:.ZB=ZGDC又 AB=AC:.NGDC=NACB又 NDGC=NDFC=90°AACDGADCF （AAS）ADE=GH EHDGA NB=NACBCD=DC （公共邊）又 DE«LA

11、B 于 E, CHLAB 于 HADF=CG又 CH=CG+GH/.CH=DF+DG （等量代換）平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同 性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成 三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理， 其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：(1)連對(duì)角線或平移對(duì)角線：(2)過頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形(3)連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行 或中位線(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相

12、似或等積三角 形。(5)過頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)£尸在對(duì)角線AC上，且AE=b，請你以Q為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只需證明一條線段即可)(D 連結(jié) BF(2) BF = DE證明：連結(jié)O&OF,設(shè)。氏AC交于點(diǎn)0V四邊形A8C。為平行四邊形：.AO= OC、DO = OBAE=FC：.AO-AE=OC-FC 即。E =四邊形為平行四邊形:.BF=DE第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。

13、例2如右圖2,在平行四邊形A8C。中，對(duì)角線AC和3。相交于點(diǎn)0,如果 AC=12,BD = 0f AB = mt那么?的取值范圍是()A1 </? < 11B2 cm <22C0<m < 12 D5cm <6解：將線段沿OC方向平移，使得。8 = CE,=則有四邊形88E為平行四邊形，:在AACE中，AC=12, CE = BD=10, AE = 2AB = 2m/. 12-10<2/n<12 + 10,即2<2？<22 解得故選A第三類：過一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3,四邊形

14、A8C。為平行四邊形求證：AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2證明：過AO分別作于點(diǎn)E,_L 8C的延長線于點(diǎn)F:.AC2 = AE2 +CE2 =AB2- BE2 + (BC - BE)2 = AB2 + BC2 - 2BE BC貝!J AC? + bd2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 + 2BC CF - 2BC BE四邊形ABC。為平行四邊形: AB CD旦AB = CD, AD=BC：.ZABC= /DCFV ZAEB= ZDFC = 90°:.ABE=ADCF：.BE =CF:.AC2+ BD2 = AB2 + BC2 + C

15、D2 + DA2第四類：延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4,在正方形A8C。中，E/分別是CO、OA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn),求證：AP=AB證明：延長b交84的延長線于點(diǎn)K;四邊形A8C。為正方形:.AB / CD3.AB = CDf CD = ADt ZBAD= ZB CD = ZD = 90°： N1 = ZK又.NO = NOAK = 90。，DF = AF:. &CDF W AKAF：.AK = CD = ABV CE = -CD,DF = -AD :. CE = DF22V NBCD=ZD = 90°:. MCEg

16、 XCDF:. Z1 = Z2V Zl + Z3 = 90°:. Z2 + Z3 = 90°/. ZCPB = 90°,貝1J /KPB = 90°：.AP=AB第五類：延長一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形A8CZ）中，點(diǎn)石為邊CO上任一點(diǎn)，請你在該圖基礎(chǔ) 上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長AE與8c的延長線相交于夕，則J有AAEQsaFEC, "'ABsAFEC, AAEOsWAB第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6,在平行四邊形A8C。中，AN = BN, BE =、BC, NE交BD于F ,