初二年級(jí)幾何證明例題精講(20200915051422)

1、第3頁(yè)共11頁(yè)初二年級(jí)幾何證明例題精講【例11.已知：如圖6,厶BCE、 ACD分別是以BE、AD為斜邊的直角三角形，且BE=AD， CDE是等邊三角形.求證： ABC是等邊三角形.證明：/ BCE=90 / ACD=90在 ECBm ACD中/ BCEW BCAy ACEBE=AD/ ACD2 ACEy ECD/ BCEy ACD/ ACBy ECDEC=CD圖6/ ECD=60 CD=EC即 ACB=60 ECBA DCA( HL ) BC=ACV/ ACB=60 ABC是等邊三角形【例 21、如圖，已知 BC > AB , AD=DC。BD 平分/ ABC。求證：/ A+ / C=

2、180 .證明：在BC上截取BE=BA,連接DE,V BD 平分/ BAC/ ABD = / EBD在 ABD和 EBD中'AB=EB</ ABD = / EBD,BD=BD ABD 也 EBD (SAS)1、線段的數(shù)量關(guān)系：通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中/ A= / BED AD= DEVAD=DC DE=DC 得 / DEC=/CV/ BED+ / DEC=180°/ A+ / C=180°證明線段相等。倍長(zhǎng)中線【例.31如圖，已知在 ABC中，N C=90 : Z B =30 °, AD平分N BAC，交BC于點(diǎn)D .求證：

3、BD =2CD證明：延長(zhǎng)DC到E,使得CE=CD,聯(lián)結(jié)AEV/ C=90° AC 丄 CDVCD=CE AD=AEV/ B=30°/ C=90°V/ ADE=60 ° AD=A ADE為等邊三AD=DE BVDB=DA BD=DE BD=2DCDC第3題一/ BAC=60 °V AD 平分/ BAC/ BAD=30 ° DB=DA / ADE=60 °【例4.】 如圖，D是 MBC的邊BC上的點(diǎn)，且CD=AB，ADBBAD , AE是 MBD的中線。求證：AC=2AE。/ ADC= / ABD+ / BDAV/ ABE= /

4、 FDE/ ADC= / ADB+ / FDE 即 / ADC = / ADF 在 ADF和 ADC中 fAD=AD/ ADF = / ADCLDF =DC ADF 也 ADC(SAS) AF=AC AC=2AE證明：延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F使得EF=AE聯(lián)結(jié)DFF在 ABE和 FDE中BE =DEw / AEB= / FEDI AE=FE ABE 也 FDE ( SAS) AB=FD / ABE= / FDE AB=DC FD = DC ZADB =NBADV/ ADC= / ABD+ / BADBAE.【變式練習(xí)】、如圖， ABC中, BD=DC=ACE是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/DF/ ADB=

5、 / ACD+ / CDAV/ ACE= / FDE/ ADB= / ADC+ / FDE 即 / ADB = / ADF 在 ADF和 ADB中AD=AD/ ADF = / ADBD F =DB ADF 也 ADB(SAS)/ FAD=/ BAD AD 平分/ DAE證明：延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F使得EF=AE聯(lián)結(jié)在 ACE和 FDE中CE =DE / AEC= / FED.AE=FE ACE 也 FDE ( SAS) AC=FD / ACE= / FDEVDB=AC DB = DFV/ ADB= / ACD+ / CADV AC=DC / CAD= / CDA【小結(jié)】熟悉法一、法三“倍長(zhǎng)中線”的輔助

6、線包含的基本圖形“八字型”和“倍長(zhǎng)中線”兩種基本操作方法，倍長(zhǎng)中線，或者倍長(zhǎng)過中點(diǎn)的一條線段以后的 對(duì)于解決含有過中點(diǎn)線段有很好的效果?！咀兪骄毩?xí)】：且 AC=BF。證明：延長(zhǎng)如圖所示，AD是 ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,求證：AE=EF。AD至點(diǎn)G，使得DG=AD，聯(lián)結(jié)BD在 ADC和 GDB中 BG= BFAD=GD/ BFG= / BGF/ ADC= / GDBV/ CAD = / BGDBD=DC/ BFG= / CAD ADC GDB (SAS)V/ BFG=/ AFE得 AC= BG / CAD = / BGD/ AFE= / FAE AE =AFVAC=BF、借助角

7、平分線造全等【例5】如圖，已知在 ABC中, / B=60°， ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)0,第3頁(yè)共11頁(yè)求證：0E=0D證明：在AC上截取AF=AE ,聯(lián)結(jié)OF在 ABC中,/ B+/ BAD/ ACB=180'AE=AF在 AOEm AOFV/ B =60 °/ BAD/ ACB=120AO =Io/ EAO/ FAOV AD 平分/ BAC AOEA AOF( ASA在 CO丙 COF中/ BAC= 2Z OAC/ AOE/ AOE OE=OF/ DCO / FCOV CE 平分/ ACBV/ AOE=60 °CO=CO/ ACB= 2/

8、ACO/ AOE+/ AOE/FOC=180/ DOC/FOC 2 / OAC+2 ACO=120/ FOC=6O:. CODA COF( ASA/ OAC/ ACO=60V/ AOE=/ COD OD =OFV / AOE= / OAC/ ACO / COD=60V OE=OFAOE=6OAD OE=OD【例61.如圖， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC , BD是/ ABC的平分線,BD的延長(zhǎng)線垂直于過C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證:BD=2CE.證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F,在 BEF和 BEC中,V/ 1 = / 2，BE=BE，/ BEF=/ BEC=90，

9、 BEF A BEC, EF=EC，從而 CF=2CE。 又/ 1 + / F=/ 3+/ F=90° ,故/ 1 = / 3?！纠?】正方形ABCDK E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=E,【小結(jié)1解題后的思考：_x0001_于角平行線的問題，常用兩種輔助線;求/ EAF的度數(shù).在 A ABD和 A ACF中，v / 1 = / 3, AB=AC , / BAD= / CAF=9°, A ABD A ACF,二 BD=CF，二 BD=2CE。/ GAEM FAE/ DAF+M BAF=90/ GAB =/ FAD/ GAF = 90° / EAF

10、= 45 °I la2IIIi|延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G 使得BG =BE 先證明 ADF也 ABE可得至U AF =AG / DAF = / GAB EF =BE +DF EF = BE+BG =GE:. GAE 也 FAE則N CBD的大【例8】.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕, 小為 90°(1)中結(jié)論/ ECB/ AHB=90/ ECB/ CHF=90例 91.如口圖，已知/ ABC= / DBE=90 °, DB=BE , AB=BC . (1)求證：AD=CE ,AD丄CE 若 DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到 ABC外部，其他條件不變，則是否仍成立？請(qǐng)證

11、明 提示：/ ABC/ DBE =90° / ABC-/ DBC/ DBE - / DBC/ HFC=90即/ ABD/ CBE ABD 也 CBEAD=CE/ BAD/ ECB / BAD/ AHB=90【例101 .如圖在Rt ABC中,AB=AC, / BAC=90 ° ,O為BC中點(diǎn).寫出O點(diǎn)到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離關(guān)系(不要求證明)線段AB、AC上移動(dòng),在移動(dòng)過程中保持AN=BM,請(qǐng)判 明你的結(jié)論.聯(lián)結(jié)OA則 OA(» OABDTE為等腰直角三角形第5頁(yè)共11頁(yè) OA=OB=OC ANO也 BMO(/ NOAM OBM可得 ON=OM / NO

12、A=/ MOB可得到/ NOM= / AOB=9O °例 11】如圖，已知心ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且iDEF也是等邊三角形.(1)除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相 等線段，并證明你的猜想是正確的;(2)你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？寫出變化過程.AE=BF =CD AF=BD =CEABC等邊三角形 ADEF也是等邊三角形得到/ EFD=60 / ABC=60V/ AFD玄 FBD+Z FDB/ AFD/ AFE+/ EFD / AFE=/ BDF同理： AEF CDE、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例12】、如圖，MBC中，AB=2AC AD

13、平分N BAC，且AD=BD求證：CDIACC【例 13】如圖，AC/ BD, EA,EB分別平分/ CAB,/ DBACD過點(diǎn) E,求證;AB = AC+BD【例16】已知:/ 1 = / 2, CD=DE , EF/AB，求證：EF=AC第11頁(yè)共11頁(yè)上，并且AP, BQ分別是N BAC，ZABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP證明：如圖（1）,過O作OD/ BC交AB于D,/ ADOh ABC=180 60° 40° =80°,又/ AQOMC+/ QBC=80，/ ADOh AQO又/ DAOh QAO OA=AO ADOA AQOOD=O, A

14、D=AQ又TOD/ BP,h PBOh DOB又Th PBOh DBO h DBOh DOBBD=OD又Th BPAh C+h P AC=70 ,/ BOPh OBAh BAO=70 , h BOPhBPO BP=OBAB+B P=AD+DB+B P=AQ+OQ+BO=AQ+BQ【例15】.如圖，在 ABC中，/ ABC=60 ° , AD、CE分別平分/ BAC、/ ACB , 求證：AC=AE+CD .方法同【例5】G,聯(lián)結(jié)CG 也GDCFE = CG延長(zhǎng)FD至點(diǎn) 先證明 FDE 得 /EFD = /CGD,EF/AB/ EFD =/ 1/CGD=/1/ 1 = / 2, / 2

15、=/ CGD AC= CG FE = CG EF=AC【例17】如圖,SBC為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別在BC,AC上，且BM = CN ,AM與BN交于Q點(diǎn)。也 BCN (SAS) / BAM的度數(shù)。先證明 ABM可得/ CBN =/ AQN= / ABQ+ / BAQ/ BAM= / CBN / AQN= / ABQ+ / CBN 即 / AQN= / ABC = 60°(4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全 等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”【例18】：如圖,A ABC中, AB=AC E是AB上一點(diǎn),F是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連 EF 交 BC于 D,

16、若 EB=CF 求證：DE=DF證明：過E作EG/AC交BC于 G, 則/ EGB/ ACB又 AB=AC；/ B=/ ACB/ B=/ EGB / EGD/ DCF EB=EG=CF/ EDB/ CDF DGE3 A DCF DE=DF.【例19】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD / BC, BC = DC , CF平分/ BCD ,(2) ADDF/ AB , BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E.求證：（BFC DFC;=DE.聯(lián)結(jié)BD證明： CF平分/ BCD/ ADB= / CDB/ BCF=/ DCF DF / AB在 BCF和 DCF中(BC=CD/ ABD= / BDFBF=DF<

17、;/ BCF=/ DCF/ FDB= / FBD、CF=CF BCF 也 DCF (SAS) BF=DF(2) AD / BC/ ADB = / CBD BC = DC(ASA)/ CBD= / CDB/ ABD= / FBD 在 ABD和 EBD中/ ABD= / EBDBD=BD/ ADB= / EDB ABD 也 AD = DE EBD【課堂練習(xí)】1.如圖，已知 AE 平分/ BAC, BE 上 AE 于 E, ED / AC，/ BAE=36。，那 么/ BED= 126°延長(zhǎng)AE交AC于F2 .如圖：BE 丄 AC , CF 丄 AB , BM=AC , CN=AB。求證：

18、(1) AM=AN ; (2) AM 丄 AN。【試卷上面的已講】綜合題：已知在 ABC中，N ABC =45，高AD所在的直線與高BE所在的直線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG / BC，交直線AB于點(diǎn)G ,聯(lián)結(jié)CF . （1）當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)（如圖a所示），求證：AD=FG+CD ；（2）當(dāng)NBAC是鈍角時(shí)（如圖b所示），寫出線段AD、CD、FG三者之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫出證明過程,直接寫結(jié)論；當(dāng)BE=FE, BD=4時(shí)，求FG的長(zhǎng).第27（ a）題11頁(yè)第27 (b )題可知 FDC和 AFG都為等腰直角三角形圖（b）中 ABD 和 FD=DC AF =FG AFG都為等腰直角三角形 AD=AF+FD BDF第15頁(yè)共11頁(yè) AD=FG+DCDC = FDFD=AF+ADCD=FD【總結(jié)】常見輔助線的作法有以下幾種:1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對(duì)折”.2)遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的