雙曲線方程與性質(zhì)教案1

1、雙曲線方程與性質(zhì)教案 1教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握雙曲線的定義、方程和性質(zhì);(2)在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識(shí)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力.教學(xué)過程、復(fù)習(xí)(1)橢圓定義是什么?(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?(學(xué)生口述，教師板書.)二、新課把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離之差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì) 怎樣？它的方程是怎樣的呢？激發(fā)學(xué)生求知欲望.我們來看一下簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn):(邊畫、邊操作、邊說明.)如圖1,定點(diǎn)Fi、F2是兩個(gè)按釘，MN是一個(gè)細(xì)套管，兩條線分別拴 在按釘上且穿過套管，點(diǎn) M移動(dòng)時(shí)，IMF1| - |MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲 線的一個(gè)分支，由|MF2| - |MF1|是同一常數(shù)

2、，可以畫出另一個(gè)分支.注意：|MFi| - |MF2|的絕對(duì)值要小于|FiF2|，否則作不出圖形.這個(gè)曲線就叫做雙曲線.我們能否說出雙曲線定義？這里有幾個(gè)問 題先考慮一下：（1）定點(diǎn)Fi、F2與動(dòng)點(diǎn)M不在一個(gè)平面上，能不能得出雙曲線?（回答是否定的.）觀察圖形，|MFi|、|MF2|哪個(gè)大?（回答是不定，當(dāng)點(diǎn) M在雙曲線右支時(shí)，|MFi | > |MF2| ；當(dāng)點(diǎn)M在雙 曲線左支時(shí)，|MFi| < |MF2| .）點(diǎn)M與點(diǎn)（回答是未必,Fi、F2距離差是否就是|MFi| - |MF2| ?也可以是|MF2| - |MFi| .正確表示是|MFi| - |MF2| .)點(diǎn)M與點(diǎn)Fi、

3、F2的距離之差是否會(huì)大于|FiF2| ?（回答是應(yīng)小于|F iF2| .）在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)（小于|FiF2|）的 點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.隨即指出：這兩個(gè)定點(diǎn) Fi、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的 距離叫做焦距；雙曲線的定義可以與橢圓相對(duì)照來記憶，不要死記.現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以參照求橢圓的方程的方法來求 雙曲線的方程.首先建立直角坐標(biāo)系，即以兩定點(diǎn)連線為x軸，兩定點(diǎn)的垂直平分線為y軸.然后，觀察雙曲線（圖2）的特征，猜測(cè)雙曲線方 程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似處？弓I出量2a、2c, |FiF2| =

4、2c.把點(diǎn)M移動(dòng)到x上的點(diǎn) A、A處，可 以看出|AiA2| = |FiF2| - |FiA| |F2A2| = |FiF2| 2|F2A2|=|FiA2| |F2A2| = 2a,所以Ai、a的坐標(biāo)是(一a, 0)和(a , 0).把同學(xué)們觀察的結(jié)果歸納成:(1)雙曲線與x軸相交于兩點(diǎn) Ai( a, 0)、A(a , 0),與y軸不相交;(2) 曲線關(guān)于X、y軸都對(duì)稱;隨點(diǎn)M移動(dòng)，點(diǎn)M的坐標(biāo)(X , y)的絕對(duì)值同時(shí)增加(或減少).根據(jù)上面的性質(zhì)，對(duì)照橢圓定義及其方程，設(shè)想出雙曲線方程的形 式.由可猜得方程變數(shù)只含有平方項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，由可以猜得惱I聲即有2 3 2a" b可能與-由可

5、以猜得冷-7 形式上與舊圓相類似.這個(gè)方程的結(jié)構(gòu)雖然可以反映出上述三個(gè)歸納出來的特征，但設(shè)想 出來的結(jié)論是否可靠，需要在理論上加以證明.下面進(jìn)行推導(dǎo)，以證明 設(shè)想的正確性.由定義可知，雙曲線就是集合P= M| |MFi| - |MF2| =± 2a.將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方，得37十3十-37十537+i+-1v>+(x + i;)2 +y衛(wèi)=4/ 士 4a J(x- u)，+b + (x - c) +護(hù)化簡(jiǎn)得X - J i+ 7兩邊再平方，整理得“22、 2 2 2 2 2 2、(c a )x ay = a (c a ).（以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).由雙曲線定義，2

6、c>2a，即c>a，所以c a >0.設(shè)C2 a2= b2（b > 0），代入上式，得bx也就是這證明我們的設(shè)想是對(duì)的.以上推導(dǎo)是可逆的，由曲線與方程關(guān)系 來衡量，可以確信這就是雙曲線的方程.我們把它叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程./o4求得雙曲線的方程后，可結(jié)合圖形再一次理解 特別注意c2= a2+ b2與橢圓中a2 = b2 + c的不同處, 一樣，如果雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上（圖3）,焦點(diǎn)是 只要將方程的x、y互換就可以得到它的方程a、c的幾何意義， 并指出：與橢圓方程Fi（0 , C）、F2（O , C）,這個(gè)方程也是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.我們一起把學(xué)過的橢圓與雙曲線 作一比較

7、便于更好記住它們的方程與性質(zhì).方程 圖形 宦義橢矗2 2 十 731a bIMFiHIMFI=3ajjg曲線J b''IMFil-m=士 3ay 4F范圍對(duì)稱 性a> c> 0呂（bAQ）|z|疼 a, |yWbJEz換成一盤，或把y換成一y 或把X、y同時(shí)換成一 Ky時(shí)方程 不變圖總關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，也關(guān)于瘵 點(diǎn)中心對(duì)稱0<a< C戶一只=( b> 0 )同左頂點(diǎn)Ca, 0). ( a, 0 ) » < 0 f b) , CD* t )（讓學(xué)生回答，教師引導(dǎo)、啟發(fā)與訂正并板書.）三、練習(xí)（口答.）+ , 1與雙曲線宀15宀1啲焦點(diǎn)相

8、同.2.已知兩點(diǎn)F（ 5, 0）、F2（5 , 0），求與它們的距離的差的絕對(duì)值 是6的點(diǎn)的軌跡方程.如果把這里的數(shù)字 6改為12,其他條件不變，會(huì) 出現(xiàn)什么情況？3求已知焦點(diǎn)Fi（0 , 3）、F2（O , 3），且2a = 4的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程.四、布置作業(yè)課本習(xí)題：略預(yù)習(xí)：1閱讀教材中雙曲線的幾何性質(zhì)4（漸近線）與性質(zhì) 5（離心率 ）2.推出|MQ|（此為雙曲線上任一點(diǎn)到漸近線的距離，見教材）的表達(dá)式，以此再重新研究雙曲線與漸近線的關(guān)系（從以上兩題可以明確量 b的幾何意義，由此對(duì)方程的理解可以深入 步 ）教案說明（1）雙曲線的定義、方程與性質(zhì)的教學(xué)通常是分開講解的，本節(jié) （包 括課內(nèi)外

9、 ） 是集中處理的.我的想法是它們構(gòu)成一個(gè)比較完整的知識(shí)系 統(tǒng)，集中研究能使學(xué)生在一開始就能看到系統(tǒng)知識(shí)的全貌，理解各個(gè)知 識(shí)在系統(tǒng)中的地位和互相關(guān)系，這樣理解就更深刻些、全面些，尤其 和b對(duì)雙曲線形狀的決定作用，這些都是全面理解方程所不可缺少的.（2） 集中處理系統(tǒng)的基本知識(shí)也是雙基訓(xùn)練的一種形式， 是鞏固基本 知識(shí)較好的方法.從記憶方面來講，集中系統(tǒng)的記憶知識(shí)，比孤立各個(gè) 記憶知識(shí)要好.因?yàn)閺囊粋€(gè)知識(shí)容易聯(lián)想另一個(gè)有關(guān)知識(shí)，互相補(bǔ)充和 完善.學(xué)生進(jìn)入新的知識(shí)領(lǐng)域時(shí)就可以用分解和組合的 或者靈活地解決本知識(shí)系統(tǒng)中更難的問題.如以 到180°變化時(shí)，曲線X2+y2cosa= 1怎樣變

10、化” a的值進(jìn)行分類，再組成各種曲線.（3）本節(jié)對(duì)定義和方程的分解合成方法， 是把一個(gè)知識(shí)分解成更小的 知識(shí)，弄清它們的含義和互相關(guān)系，再組成一個(gè)完整概念，這是掌握知 識(shí)系統(tǒng)的一種方法.這不僅能夠掌握知識(shí)本身，而且能培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn) 用知識(shí)和創(chuàng)新的能力. 方法去定義新的概念， 后遇到“當(dāng) a 從 0° 這類問題，就能夠把（4） 本教案注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用學(xué)生在思考中有自己的特 點(diǎn)，只要思考得合理，這不僅是允許的，而且應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)因?yàn)橐恍┊惓?的思路可能是將來發(fā)明創(chuàng)造的預(yù)兆因此，不能把學(xué)生的思考都納入教 師預(yù)先設(shè)計(jì)的軌道不然，長(zhǎng)此下去有使學(xué)生的思維僵化的危險(xiǎn)在研 究雙曲線性質(zhì)方面，學(xué)生的研究方法和內(nèi)容都不盡一致，我們只歸納一 些共同點(diǎn)，而保留不同點(diǎn)在作業(yè)中，列表對(duì)比雙曲線與橢圓，也不規(guī) 定統(tǒng)一內(nèi)容， 由學(xué)生自己決定 （當(dāng)然下節(jié)課要做講評(píng) ） 由于學(xué)生受知識(shí)、 能力、經(jīng)驗(yàn)等限制，也