復(fù)變練習(xí)冊(cè)匯總

1、學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):17第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)一、選擇題1當(dāng) "呂時(shí)，z100+z75+z50的值等于(A) i(B) -i(C) 1(D) 12.設(shè)復(fù)數(shù) z滿足 arg(z +2) =，arg(z-2)=，那么 z=(36(A) -1+V3i(B) -73+i(C) - , 24.使得z =|z成立的復(fù)數(shù)z是(+空 i2 2TT則原向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)3個(gè)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)二，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為i-73i，3(A) 2(B)l+73i(C)(D) 73 + i(A)不存在的(B)唯一的(C)純虛數(shù)(D)實(shí)數(shù)5.方程z+2-3i =72所代表的曲線是(A)中心為2 -3i，半徑為的圓周(B)中心為-2+

2、3i，半徑為2的圓周中心為-2+3i，半徑為的圓周(D)中心為2-3i，半徑為2的圓周6 .函數(shù)f(z) = u(x, y)+iv(x,y)在點(diǎn)z。= x。+ iy。處連續(xù)的充要條件是(A) u(x,y)在(xo, yo)處連續(xù)(B) v(x,y)在(Xo,yo)處連續(xù)(C) u(x,y)和 v(x, y)在(xo, yo)處連續(xù)(D) u(x,y) +v(x,y)在(x。，y。)處連續(xù)、填空題1.設(shè)-(，則I z =2. 設(shè) Z =(2-3i)(-2 + i)，貝U argz =3. 復(fù)數(shù)富詈黑的指數(shù)表示式為4 .方程 z+1 -2i =z-2+i所表示的曲線是連接點(diǎn)的線段的垂直平分線5.

3、jimji+z2 + 2z4)=三、將下列復(fù)數(shù)化為三角表達(dá)式和指數(shù)表達(dá)式:(1) i(2)-i + 73i四、求下列各式的值:(1) (73-i)5(2) (1 + i)100+ (1-i)100(3)五、解方程：（Z + i）5 = 111六、設(shè)復(fù)數(shù)Z H1，且滿足I z | = 1,，試證Re=1 z2七、證明復(fù)平面上的直線方程可寫成：az + a Z +c = 0,（其中為a工0復(fù)常數(shù)，c為實(shí)常數(shù)）八、證明復(fù)平面上的圓周方程可寫成：zz + az+az + c = 0,(其中a為復(fù)常數(shù)，c為實(shí)常數(shù))1九、函數(shù)w =把下列z平面上的曲線映成 w平面中的什么曲線?z十、f(z)=丄(三二2i

4、 z z(2) X2 + y2=4),(zK0)試證當(dāng)ZT 0時(shí)f(z)的極限不存在。學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):第二章解析函數(shù)、判斷題(1) 若f(z)在點(diǎn)Z0不連續(xù)，則f(z)在點(diǎn)Z0不可導(dǎo).()若f(Z)在點(diǎn)Z0可導(dǎo)，則f(z)在點(diǎn)Z0解析.()若u, v在區(qū)域D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，則f(Z)= U + iv在D內(nèi)解析.()(4)指數(shù)函數(shù)ez是以2曲為周期的函數(shù).()(5) sinz在整個(gè)復(fù)平面上有界.()、選擇題1.函數(shù)f(z)=x2 +iy2在點(diǎn)z=0處是()(A)解析的(B)可導(dǎo)的(C)不可導(dǎo)的(D)既不解析也不可導(dǎo)2.假設(shè)點(diǎn)zo是函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)，貝U函數(shù)f(z)在點(diǎn)Zo處()(A)不

5、可導(dǎo)(B)不解析(C)不連續(xù)(D)以上答案都不對(duì)3下列函數(shù)中，為整個(gè)復(fù)平面上解析函數(shù)的是 ()(A) x2-y22xyi(B) x2+xyi(D) Z(C ) X3 -3xy2 +3x+i(-y3 +3x2y + 3y)4.函數(shù)f(z)=zRe(z)在z = 0處的導(dǎo)數(shù)(A)等于0(B)等于1 ( C)等于-1(D)不存在三、填空題1 .設(shè) f (z) = cos(2z) + i sin(1)，貝U -= z dz12.復(fù)數(shù) Ln( i2)=3. Imln( 3-4i)=4 .方程1 - e=0的全部解為四、證明區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件之一的解析函數(shù)必為常數(shù)(1)若f(Z)也在D內(nèi)解析；(2) 若

6、f(z)在D內(nèi)為常數(shù);au + bv = c,其中a,b與c為不全為零點(diǎn)實(shí)常數(shù)。五、討論下列函數(shù)的解析性:(1)|z|2+2z ( 2)xy+ ix2y (3)ei(cosx + i sinX)六、求ez和Arge七、求下列初等函數(shù)的值。（2）sm2i ；(4)(1 + 廳(1) e(呻(3)Ln (-i) In(-3 + 4i)八、解方程:(1) sinz +cosz = 0 ;兀(2)ln(2iz)=2+ i ; (3) cosz=02九、當(dāng)I, m,n取何值時(shí)f（Z）= my3 + nx2 y+ i（ x中Ixy2）在復(fù)平面上處處解析?學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):第三章復(fù)變函數(shù)的積分判斷題lz十1

7、.積分 q dz的值與半徑r(r:>0)的大小無關(guān)。() z -a2.若在區(qū)域D內(nèi)有f '(z) = g(z)，則在D內(nèi)g-(z)存在且解析。()<1)的積3.若f (z)在0v|zc1內(nèi)解析，且沿任何圓周c:|z = r(0分等于零，則f(z)在z=0處解析。()4.設(shè)vi,v2在區(qū)域D內(nèi)均為U的共軛調(diào)和函數(shù),則必有Vi =V2。()5.解析函數(shù)的實(shí)部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)。(6.以調(diào)和函數(shù)為實(shí)部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù)。二、選擇題：1.設(shè)c為從原點(diǎn)沿y2 =x至1+i的弧段，貝U J(x + iy2)dz =()c(A)汁(B) -(C)5.一一 i6(D)2.設(shè)c為不經(jīng)過

8、點(diǎn)1與-1的正向簡(jiǎn)單閉曲線,c(z-1)(z + 1)2dz 為兀i(B)-2都有可能3.設(shè)c為正向圓周亦2，則倚dz=(-sin1(B) sin1(C) 2iisin1(D) 2iisin14.設(shè)c為正向圓周1"231z cos則qc(1-z)2z 2dz 二()(A)2 兀 i(3cos1 -sin1)(B) 0(C)6兀i cos1(D)-2iisin15.設(shè) f (z)=e©其中zf i)=(-2ii(B) -1(C) 2町(D) 16.設(shè)c是從0到1TT-+ -i的直線段,2則積分fzezdz =(A)(B)2(D)7.設(shè)v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)為u(x,y)的共軛

9、調(diào)和函數(shù),則下列函數(shù)中為D內(nèi)解析函數(shù)的是()(A) v(x,y) + iu(x,y)(B) v(x,y) -iu(x,y)(C) u( X, y) iv( X, y)(D)便exex三、填空題1.設(shè)C為正向圓周|z| = 1，貝U Jgdz =C2 氣1j2.設(shè)C為正向圓周1=1，則礙護(hù)=3sin(73.設(shè) f(z) = q 戸 2dE ,其中 12，則 f "(3) =I鼻亡z4.設(shè)c為正向圓周z=3，則 qczLZdz = Iz d5解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的6.若函數(shù)u(x,y) =x' +axy2為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù) a =四、利用牛頓-萊布尼茲公式

10、計(jì)算下列積分.JI. I 2z (1) re dzTD2打sin zdz(3)1JoZS in zdz五、計(jì)算下列復(fù)積分，圓周均為正向(1)丄- iz(dz ；Z-；)(z + 2)丄|z*eizz2 +1dz，1zT一(3)z=2(2)(3)dz2,八，2|zA(z+4)I I 2z；dz六、計(jì)算積分2兀iadz，其中c為下列正向圓周:Fz(z-1)3七、已知下列各調(diào)和函數(shù),試求解析函數(shù)f(z)=u + iv(1) u = X2 十 xy- y2, f (i) = T + i , U = 2xy- 2y, f (2 -i，2JI八、設(shè)f(z)在|z| cRCR")內(nèi)解析，且f(0)

11、 =1, f'(0) = 2，試計(jì)算積分q (z+irdz并由此得出 Qcos22 f (e舊)d日之值.|z4Z2九、設(shè)f(z),g(z)都在簡(jiǎn)單閉曲線c上及c內(nèi)解析，且在c上f(Z)= g(z)，證明：在c內(nèi)也有 f(Z)= g(z)。十、設(shè)Ci與C2為兩條互不包含，也互不相交的正向簡(jiǎn)單閉曲線，z21 L 證明：丄J丄 sin zdz + J2眄-ZoCz-Zod J z2當(dāng)Zo在G內(nèi)時(shí),sin zo當(dāng)z0在C2內(nèi)時(shí)。1一、設(shè)解析函數(shù)f（Z）= U + iv,試證:（1） -U是V的共軛調(diào)和函數(shù)；（2）i f（Z）也是解析函數(shù)。十二、設(shè)f（z）在圓環(huán)域尺R2內(nèi)解析,作兩圓周:=Ki

12、' z-a=K2;且K K R2'當(dāng)Z0滿足K Zo-aK'試證：柯西積分公式仍成立，其中C = Ki"+ K21516學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):第四章、選擇題：1.設(shè) an1)n +ni (n =1,2,),n +4(A)等于0(B)等于12.下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的級(jí)數(shù)為 處 1 + 3i n處(3 + 4i)n(A) (V(B) (3 4i) (C)n z12n z!n!3下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)為(處 4i處(_1)ni(A) Z +丄)(B) 2： UL + tnn nn二n 24若幕級(jí)數(shù)2 Cnzn z0則 liman ()n_(C)等于)繪i nz -心

13、n)c(C) z ,2 Inn(D在Z = 1 + 2i處收斂，那么該級(jí)數(shù)在(D)不存在(D)Z 臺(tái)心 Jn + 1)(-1)ninn 二2n性為(A)絕對(duì)收斂設(shè)幕級(jí)數(shù)h(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)不能確定處處 cn 寸n -1 工口 P cnn 41,Z ncnz和 Z zn=0n =0 n + 1Cnzn zQR1,R2,R3，貝U R1,R2,R3之間的關(guān)系是()(A) Rt < R2 V R3 ( B) Rt > R2 > R3 ( O Rt = R2的收斂半徑分別為< R3(D) R1 = R2 = R3.n兀c sin 6.幕級(jí)數(shù)S (-)n的收斂半徑R

14、=()n二 n 2(A) 1(B) 27幕級(jí)數(shù)Z上£zn十nzo n+1(C)72(D)+ 比(A) ln(l+z)118.級(jí)數(shù)+丄+“z z(A) |z|<1在Z<i內(nèi)的和函數(shù)為(B) ln(1-z) (D) In 11 +z+ z + z2中的收斂域是()(B) 0<Z < 1 (C ) 1 <(D)< +oC1In1 一 z(D)不存在的399.函數(shù)sinz，在 z誇處的泰勒展開式為()(A)處(-1)nEn+lJZ")兀-2nH1(z<)2(B)P)n兀2n(D)處(一1)n£(2n +1)!(Z"2)J

15、I(zc 母)2Z j(z-)2nn 衛(wèi)(2n)!2、填空題1.幕級(jí)數(shù)S (2i)nz2n的收斂半徑n =02.設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，Zo為D內(nèi)的一點(diǎn)，d為Zo到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離，那么當(dāng)Cn =-Zo <d 時(shí)，f(Z)=2 Cn(Z-Zo)n 成立，其中n zO3.函數(shù)arctanz在z=0處的泰勒展開式為4.設(shè)幕級(jí)數(shù)2 CnZn的收斂半徑為R，那么幕級(jí)數(shù)2 (2n -1)Cnzn 的收n=0n=0斂半徑為5.函數(shù) z(zT)在Kz-i 內(nèi)的洛朗展開式為C - nn=1三、下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？czn=2 In nn處(3 + 5i ) Z 一 7 n! s zn

16、nT n四、試確定下列幕級(jí)數(shù)的收斂半徑.(1) z (1+i )znn 二0(3) Z enznn=a五、把下列函數(shù)展開成Z的幕級(jí)數(shù)，并指出收斂半徑.（1）六、求下列函數(shù)展開在指定點(diǎn)Z0處的泰勒展式，并寫出展式成立的區(qū)域.(z+1)(z+2)，Zo=21(2) -,zo=1z(3)將函數(shù)E藥在指定的圓域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)(1)0c Z-1 <1,(2) 1 C Z-2 <八、如果級(jí)數(shù)2 cnzn在它的收斂圓的圓周上一點(diǎn) zo處絕對(duì)收斂，證明它n zO在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對(duì)收斂.學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):、選擇題:1.函數(shù)(A) 1第五章 留數(shù)在Z = 2內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B) 2(C)(D

17、) 412.設(shè)函數(shù)f以z=a為m級(jí)零點(diǎn)，則為函數(shù)帀的(B)本性奇點(diǎn)(A)可去奇點(diǎn)(C) m級(jí)極點(diǎn)(D)小于m級(jí)的極點(diǎn)3設(shè)z=0為函數(shù)Sin3ZZ的m級(jí)極點(diǎn)，那么m =()(A) 2(B) 4(C)3(D) 5c4 .設(shè) f(z)anZnn zQ在彳cR內(nèi)解析，k為正整數(shù)，Ref)，0=()(A) ak(B)k!ak(C) ak U(D)(k-1)!aQ5在下列函數(shù)中，Resf(z),0 =0的是(B)f(zSin-z z(A) f(z)=e zrsinz+cosz(C)f(z)=(D)、填空題1設(shè)z=0為函數(shù)Z2(ez-1)的m級(jí)零點(diǎn)，那么m =1 2z2 .函數(shù)f(z)=匸二在其孤立奇點(diǎn)z

18、= 0處的留數(shù)zResf (z),0 =3 .若Z0(H處)是f(z)的可去奇點(diǎn)或解析點(diǎn)，則Res f (z),zo=13 一4. 積分 sfz ezdz =2三、求下列函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).Z +1(1)?T2(3) z2 sin1z(4)12z 3(Z2 +1)3(5)丄zsin z四、利用留數(shù)計(jì)算下列積分(積分曲線均取正向)2ze 2dz(1)h(z 1)ez2dzz=32(z-1)(z+3)2-Vdzsin z/Q、斤sinz(3) 冶#27)五、證明：如果zo是f(z)的m(m>1)級(jí)零點(diǎn)，那么zo是f(Z)的m-1級(jí)零 點(diǎn).、求出下列函數(shù)在處的留數(shù) z(z+1)4(z4

19、)、求下列各積分之值:(1).嚴(yán)05+3si門嚴(yán)2兀1.Jo Ed日-be.Jo2X ?dx;1 +x2：X dx來X +4x+5學(xué)號(hào):姓名:班級(jí):積分變換、填空題1. F1 =(相同，不同)2. 設(shè) Ff (t) = F (w)，則 F (w)與 f (t)有的奇偶性.3. F u(t)=4.函數(shù)f (t) = sin3餐(t - t0)的傅立葉變換5.6.Sintcost =7.8. L、綜合題I A 0 < t < T1求矩形脈沖函數(shù)f(tk,其他的Fourier變換.2.已知f(t)=嚴(yán)Eio, t<0求 Ff( t jf3.求函數(shù) f(t)=sin3t 的 Four

20、ier 變換.4.求函數(shù) f (t )=costsint的 Fourier 變換.5已知某函數(shù)的Fourier變換為 F (o =冗+ ©0 )+ X© 叭),求該函數(shù)f (t ).6 .求下列函數(shù)的Lap lace變換:n t <2)2, nI 2cost, t > 4)f (t ) = tcosatp-p- 27*、設(shè)"邊鳥"甘：0，求 ： fi5)8*.若 L證明(象函數(shù)的微分性質(zhì))F(n)(s) = (1 九 tnf(t), Re(s)>c特別地，L tf (t)=-F'(s)，或 f(t)=-1L，LF'(s)

21、1 并利用此結(jié)論計(jì)算下式：(1) f (G = t f0etsin2tdt，求 F (s).O + 1(2) F (s) = ln，求 f (t).s-1三、利用Laplace變換求解下列方程:1. yS4y'+3y =e=y(0)=y'(0) = 12.八2y' + 2y =2e cos2t,y(0) = y'(0) = 03. yJy= e2t,y(0) =y(0)=廠(0) =0t =e4. !XXy t，x(0) = 0,xW. ly +3x -2y =2e答案第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、BAADCC、1,V2; 2,兀 i 、（1）e2160兀arctan8

22、 ； 3， e;(2)2e3;4, -1 + 2i ; 2-i 5 , -1 + 2i-j四、(1) -16(/3 + i); 一251；_ 1施町 k = 0 (3)Tv 4兀-血ej k = 1五、z = e5" - i，(k = 0,1,234)八、略；七、略;八、略九、(1)u2 +v2-，表示一半徑為-的圓周。直線：u = -v4十、略第二章解析函數(shù)、 B (2)B (3)C A一214二、1. 2sin(2z) -(i/z )cos(1 / z) 2。(k+)兀i 3。一 arctg- 4。一 2kii4 3四、證明：關(guān)鍵證明U,V的一階偏導(dǎo)數(shù)皆為0!五、（1）僅在原點(diǎn)可

23、導(dǎo)，處處不解析（2）在原點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析（3）處處解析六、2ez2 2=ex -y2Argez=2xy + 2"，（ k為任意整數(shù)）七、(1)e2(4+iv)2 2(2)2_2 .i(e -e )2(-l + 2kNi2ln( -3 + 4i) = ln 5 +(兀-arcta n4)i3八、解方程：（1）兀“廠九、解：m = 1,n =1 = -3第三章復(fù)變函數(shù)的積分乂弋 X，天，X，X、DDCBAAB平均值；6,-3三、1， 2加；2， 10兀i ； 3，0； 4， 6兀i ； 5,四、（1）丄（i T）21 1=冗齊.如“-4i（r-e2m-£sh2 叮i(3) s

24、in 1-cosl五、（1），由柯西積分公式如4 + i(2)e（3）在積分曲線內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)奇點(diǎn)±i，圍繞i, -i分別做兩條相互外離的小閉合曲線c1,c2，則由復(fù)合閉路原理得：0(4) 衛(wèi)12六、（1）由柯西積分公式：T ；（2）由高階導(dǎo)數(shù)公式：-2（3）由復(fù)合閉路原理J2昭 z(z-13七、由柯西一黎曼方程出發(fā),(1) f(Z)= U + iv = x2 + xy - y211x2 + 2xy + )i,整理后可得：f(z) =(1-i)z22 f(z)=i(z-1)2八、丁+1)2乎2兀dz = 8；ii, Jo cos2冶.第四章級(jí)數(shù)答案.CCDADBABB；3£

25、;船2"*R(|Z v1) ； 4;22C - n且為絕對(duì)收斂.三(1)，級(jí)數(shù)I:-收斂,心n!C i n(2)級(jí)數(shù)送是收斂的.為條件收斂.n=2 ln nZ呼發(fā)散n=02(4) 級(jí)數(shù)z收斂，且為絕對(duì)收斂.心 n!O A _ *iZ <72，收斂半徑為r = V2 .從而冪級(jí)數(shù)Z 丁z2n'的收斂域?yàn)?五(1)(擊)2亠小3心葉卄嚴(yán)十葉c11 1 f(z) =1Z-Z2-Z3川lil,|z v1處11(z+ 1)(z +2) _2(蘆"XZ"2) Jz"2 <3 .1 1=1_2(z1)創(chuàng) +(1)2n(z1)2+ili,|z1甜.(

26、3)c4-3z2(1-3i)n 出3n(z-1i)n .七、在0< zT <1內(nèi),在1 <z-2 內(nèi)比1(z-1)(z-2)=2(")(z-2嚴(yán)八. 證明：略第五章留數(shù)答案、CCACD、1, 3; 2, -4/3 ; 3, 0; 4, 12 三、(1)函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是z = 0,z=2，且z=0,z = 2均是其1級(jí)極點(diǎn).1ReStf (z)j0-2zReStf (z) ,2 =1 1 e(2)函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是 z=0 , Res,0z函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是z = 0 , ReSz2 sin-,0z函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是z=± ,且Z = ±

27、i是函數(shù)的3級(jí)極點(diǎn),Resf (z)j 扌3 i83Resf(z)j-i.8函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)是z = k兀，k亡Z .1 Res,0 =0zsin z1 1Res,k兀=(1)k，k H0zsin z四、(1), Jie2z弋1山申z(1ez)sinz dz = 2泊.412z dz =0五、證明：略六(DResz2 -1ez=-sh 12Res4,z(z+1)4(z-4)七、(1)5+3sin 嚴(yán)JI-22兀Ia+cos£"=7a&22(3) F厶 dx = l :厶 dxb 1 +x42 81 +x4e cos2(4)2 c°sxdx=x2 +4x

28、+ 5積分變換答案:、填空題1.2 兀 6(w)2.3.丄jw+ 兀 6(w)4. Sin3t0 ejwt05. 土6. s47. cos2t8.452.3.F f (t )= n 慎© -3 ) 3 認(rèn) 一1 ) +33(時(shí) +13( +3)4.n 3© + 2)- 3© -2)5.由函數(shù) 3(t-t0 )g(t)dt = g(t0 )，易知1 - *f (t )= f F (=co30t2 n亠6. 1)Lf(t)卜 J0 f (tedt"i1-e 2Si丿s +1n2 (Re(s) A 0 )2)ft)"。-bore +5 3(otd 5

29、 + (Re(s)A2)2ts-23)1te-XI 1s(s-14)It cosat =-(s2 +a2t47*、解：二 fi（t嚴(yán) f2（t） =12I10t co8.(1)簽 2t1L k sin2tdt卜2(3s2 +12S + 13解：令L J 丁9）卜5）丄4y(t) =L= Y(s "=丄(7 +2t)e丄一L、442. y (t )=t et sin t3. y(t)站丫(s) =1e上e+lt4 .方程組的解為JxH)-ey(t ) = e復(fù)變函數(shù)與積分變換 期末考試試卷（A卷）、選擇題（共15分，每小題3分）11.已知z=2+2iA1C.22.| Z + i |習(xí)Z

30、 -i |所表示的平面區(qū)域?yàn)锳.單位圓的內(nèi)部B.下半平面C.上半平D.整個(gè)平面3.幕級(jí)數(shù)(-1)nznn =1n3的收斂半徑R=A.B. 2C. 3D.44.Z =0是函數(shù)ez 1A.極點(diǎn)B.可去奇點(diǎn)C.本性奇占八、A. ez > 0B. sinz有界C. zn是多值函數(shù)D.ez處處解析D零點(diǎn)5. 下列說法正確的是、填空題（共15分，每小題3分）1.復(fù)數(shù)Z = 2i的二角表示式2.對(duì)數(shù)Ln（ -1）的主值為3.嚴(yán)z嚴(yán).（圓周取正向）f4. lim 11 +- n 丿5.f(z) =(z-2) (z-1)3,則 z =1是 f(z)的三、（8分）函數(shù)f（z）=3x-2iy在何處可導(dǎo)？何處解

31、析？ 四、（10分）已知u（x, y ）= X3-3xy2為調(diào)和函數(shù)，求解析函數(shù)f（z）=u+iv.且滿足條件f（0）=i.五、計(jì)算下列積分（圓周均取正向）（每題4分，共12分）i(1)J0(3ez +2z)dz 1-1 COSZz際Rdz;六、（10分）判斷下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？比11）送-心n/ 1 +丄I n丿2提乎;n=0 4七、（10分）1已知f (z)=，求f（z）在zo =2處的泰勒展開式，并指出收斂半徑.八、（10分）求函數(shù)f（z） =z在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).九、（10分）求函數(shù)f（t）=2e的拉普拉斯變換.復(fù)變函數(shù)與積分變換本科期末考試試卷（A 卷)參考答案及評(píng)分細(xì)則

32、、選擇題（共15分,每小題3 分)1.D；2.C；3.A;4.B5.D、填空題（共15 分,每小題3 分)兀1. 2(co +i sin3)；2.兀 i ；3. 0；4. 1;5.347三、解：1、U =3x , V = -2y 則fffa=3, =0, =0, = 2 0 byexby二f（z）沒有可導(dǎo)的點(diǎn)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.（4 分）小2.、小2.3,、LVy=Ux=3x - 3/, V =【(6- y3dy)= x 3- y+c x( 5Vx =6xy+ 戶一Uy c，x(=)023c(x) =C v(x, y) =3x y y +c由于 f(0) =i，得 c=0，f(z) =z3

33、 +i五、解：1、(3ez+2z)dz= 3ez +z2；=3ei-22、z2+17|dz=2兀i (z2 +1)是zTz#=4町3、n cosz1“J dz=2兀i 一 (cosz) /z#= 一兀 cos1i具(z-D2繪(2i)n2)送卅4n由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知故原級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂.七、解:f (z)以Z = -1為奇點(diǎn)/. R =1 -1 -2 |=31 1 1二 f(z)=z+13+(z-2)31+(z-2)/3=苕(期(罟)n,|z2|<33 nz03八、解:f(z)的有限奇點(diǎn)為z=1,z=T。z eResf (z),1lim( 1) f(zlimzReSfZ(九U

34、1Zm(1V1-)-2-4 e九、解:F(s) = J0 fedt七心.2=f= 2*0S +1處 1 fi、六、解：1)2 - M +-si n丿3COC A(1)1： an =送1發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散 n 4n 2 n49、選擇題（共15分，每小題3分）11.已知z=1+h/3貝 y argz =一兀a<3兀B.-3C.JID.- 62.等式 |z + 3|=|z i |所表示的軌跡為A.橢圓B.雙曲線C.直線D.圓周3.幕級(jí)數(shù)F (z j)的收斂圓為A. |z-1| = 1B. |z-1| = 2C. |z|=1D. |z| = 24.z=0是函數(shù)f(z)sinz 的z2A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn) C.本性奇點(diǎn)D零點(diǎn)5.下列說法正確的是A. ln（-1）沒有意義B. COSZ有界C. Vz是多值函數(shù)D. z=0的輻角為零、填空題（共15分，每小題3分）1.復(fù)數(shù)z=l+i的指數(shù)表示式2.ez = - i的全部解為3.嚴(yán)z嚴(yán).（圓周取正向）4. lim 1 + lin_15.z0=2是莎的極點(diǎn)，則f（ 2）=二、（8分）函數(shù)f（