2021-2022學年浙江省金華一中高一（上）期末數(shù)學試卷及答案解析

1、2021-2022學年浙江省金華一中高一（上）期末數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1. 解析幾何是17世紀法國數(shù)學家()和費馬創(chuàng)立的，它的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學從此進入變最數(shù)學時期，為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎A. 吳文俊B. 卡特C. 陳景潤D. 笛卡爾2. 直線x2y+2=0的斜率為()A. 2B. 2C. 12D. 123. 傾斜角為120°，在x軸上的截距為1的直線方程是()A. 3x+y+1=0B. 3xy1=0C. 3x+y3=0D. 3x+y+3=04. 已知向量a=(1,1,0)，b=(1,0,2)，且ka+b與a2b互相垂直，則k=()A

2、. 114B. 15C. 35D. 1145. 經(jīng)過點(1,0)且圓心是兩直線x=1與x+y=2的交點的圓的方程為()A. (x1)2+y2=1B. (x1)2+(y1)2=1C. x2+(y1)2=1D. (x1)2+(y1)2=26. 若雙曲線C1：x22y28=1與C2：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為45，則b=()A. 2B. 4C. 6D. 87. 正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，則直線AD1與EF所成角的余弦值是()A. 12B. 63C. 32D. 628. 拋物線M：y2=4x的準線與x軸交

3、于點A，點F為焦點，若拋物線M上一點P滿足PAPF，則以F為圓心且過點P的圓被y軸所截得的弦長約為(參考數(shù)據(jù)：52.24)()A. 2.4B. 2.3C. 2.2D. 2.1二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）9. 平行于直線x+y+1=0，且與圓x2+y2=4相切的直線的方程是()A. x+y+22=0B. x+y2=0C. x+y22=0D. x+y+2=010. 下列方程能夠表示圓的是()A. x2+y2=1B. x2y2=2C. x2+y2+2x=1D. x2+y2+xy1=011. 已知兩點A(5,0)，B(5,0)，若直線上存在點P，使|PA|PB|=6，同時存在點Q，使|Q

4、B|QA|=6，則稱該直線為“一箭雙雕線”，給出下列直線，其中為“一箭雙雕線”的是()A. y=x+1B. y=2C. y=43xD. y=2x12. 已知O是坐標原點，A，B是拋物線y=x2上不同于O的兩點，且OAOB，下列結(jié)論中正確的是()A. |OA|OB|2B. |OA|+|OB|22C. 直線AB過拋物線y=x2的焦點D. O到直線AB的距離小于或等于1三、單空題（本大題共3小題，共15.0分）13. 雙曲線x24y212=1的離心率e= _ 14. 若圓C經(jīng)過坐標原點和點(4,0)，且與直線y=1相切，則圓C的方程是_15. 在三棱錐OABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直且相等，

5、點P，Q分別是線段BC和OA上的動點，且滿足BP12BC，AQ12AO，則PQ和OB所成角的余弦的取值范圍是_四、多空題（本大題共1小題，共5.0分）16. 已知橢圓C：x24+y29=1與動直線l：y=32x+m相交于A、B兩點，則實數(shù)m的取值范圍為          ；設弦AB的中點為M，則動點M的軌跡方程為          五、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17. 已知直線l經(jīng)過兩

6、條直線l1：x+y4=0和l2：xy+2=0的交點，直線l3：2xy1=0；(1)若l/l3，求l的直線方程；(2)若ll3，求l的直線方程18. 已知橢圓C的兩焦點分別為F1(22,0)、F2(22,0)，長軸長為6，(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知過點(0,2)且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的長度19. 如圖，在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(1)求證：EFCD；(2)求DB與平面DEF所成角的正弦值20. 已知圓C：x2+y2+2x3=0，直線l1與圓C相交于不同的A、B兩點，點M(0,1)是線段

7、AB的中點(1)求直線l1的方程；(2)是否存在與直線l1平行的直線l2，使得l2與圓C相交于不同的兩點E、F(l2不經(jīng)過圓心C)，且CEF的面積S最大？若存在，求出l2的方程及對應的CEF的面積S.若不存在，請說明理由21. 如圖，平面ABCD平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF/DE，AFFE，AF=AD=2DE=2()求證：EF平面BAF；()若二面角ABFD的平面角的余弦值為24，求AB的長22. 已知拋物線方程y2=4x，F(xiàn)為焦點，P為拋物線準線上一點，Q為線段PF與拋物線的交點，定義：d(P)=|PF|FQ|(1)當P(1,83)時，求d(P)；(2)證明：存在常

8、數(shù)a，使得2d(P)=|PF|+a；(3)P1，P2，P3為拋物線準線上三點，且|P1P2|=|P2P3|，判斷d(P1)+d(P3)與2d(P2)的關系答案和解析1.【答案】D【解析】解：解析幾何是17世紀法國數(shù)學家笛卡爾和費馬創(chuàng)立的，它的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學從此進入變最數(shù)學時期，為微積分的創(chuàng)建奠定了基礎故選：D創(chuàng)立解析幾何的主要數(shù)學家是笛卡爾、費馬本題考查數(shù)學史，考查解析幾何發(fā)展史等基礎知識，是基礎題2.【答案】C【解析】解：直線x2y+2=0，可得y=12x+1，所以直線的斜率為：12故選：C直接利用直線方程，求解直線的斜率即可本題考查直線的斜率的求法，是基礎題3.【答案

9、】D【解析】解：設直線方程為y=kx+b，傾斜角為120°，k=tan120°=3，故y=3x+b，又在x軸上的截距為1，0=3×(1)+b，即b=3，故直線方程為3x+y+3=0，故選：D根據(jù)傾斜角可求出斜率，再根據(jù)截距即可求出答案本題考查了直線方程的傾斜角與斜率的關系以及截距的運用，屬于基礎題4.【答案】D【解析】【分析】本題考查空間向量坐標的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積運算，以及空間向量垂直的條件，屬于基礎題可求出ka+b=(k+1,k,2)，a2b=(3,1,4)，根據(jù)ka+b與a2b互相垂直，即可得出(ka+b)(a2b)=0，進行數(shù)量積的坐標運算即可求出k

10、的值【解答】解：ka+b=(k+1,k,2)，a2b=(3,1,4)；ka+b與a2b垂直，(ka+b)(a2b)=3(k+1)+k8=0，解得k=114故選：D  5.【答案】B【解析】解：圓心是兩直線x=1與x+y=2的交點，圓心為x=1x+y=2 的解，即圓心坐標為(1,1)，又該圓經(jīng)過點(1,0)，半徑為1，故圓的標準方程為(x1)2+(y1)2=1故選：B首項將兩條直線聯(lián)立，即可推得圓心坐標，再根據(jù)圓經(jīng)過點(1,0)，即可求得圓的標準方程本題考查了圓的標準方程的求解，屬于基礎題6.【答案】B【解析】解：雙曲線C1：x22y28=1的漸近線方程為y=

11、77;2x，由題意可得C2：x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax，即有b=2a，又2c=45，即c=25，即有a2+b2=20，解得a=2，b=4，故選：B求出雙曲線C1的漸近線方程，可得b=2a，再由焦距，可得c=25，即有a2+b2=20，解方程，可得b=4本題考查雙曲線的虛半軸長，注意運用雙曲線的漸近線方程和基本量的關系，考查運算能力，屬于基礎題7.【答案】B【解析】解：正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1，BD的中點，設正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為2，以D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz，則E(0,0,1)，

12、F(1,1,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,2)，AD1=(2,0,2)，EF=(1,1,1)，設直線AD1與EF所成角為，則cos=|AD1EF|AD1|EF|=483=63直線AD1與EF所成角的余弦值是63故選：B以D為原點，建立空間直角坐標系Dxyz，利用向量法能求出直線AD1與EF所成角的余弦值本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直線所成角的定義、向量法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題8.【答案】D【解析】解：由題意，A(1,0)，F(xiàn)(1,0)，點P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上設點P的橫坐標為m，聯(lián)立圓與拋物線的方程得x2+4x1=0，m>0，m=2

13、+5，點P的橫坐標為2+5，|PF|=m+1=1+5，圓F的方程為(x1)2+y2=(51)2，令x=0，可得y=±525，|EF|=2525=252×2.24=2.1，故選：D由題意，點P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上，聯(lián)立圓與拋物線的方程，求出點P的橫坐標，利用拋物線的定義求出|PF|，可得圓F的方程，再令x=0，即可求出答案本題考查拋物線與圓的方程，考查拋物線的定義，確定點P在以AF為直徑的圓x2+y2=1上是關鍵9.【答案】AC【解析】解：根據(jù)題意，要求直線平行于直線x+y+1=0，則設要求直線的方程為x+y+m=0，若要求直線與圓x2+y2=4相切，則|m|2

14、=2，解可得m=±22，則要求直線的方程為x+y±22=0；故選：AC根據(jù)題意，設要求直線的方程為x+y+m=0，由直線與圓的位置關系可得|m|2=2，解可得m的值，代入直線的方程計算可得答案本題考查圓的切線方程的計算，涉及直線平行的判定，屬于基礎題10.【答案】AC【解析】解：x2+y2=1是圓的標準方程，所以A正確；x2y2=2不是圓的方程，是雙曲線方程，所以B不正確；x2+y2+2x=1化為(x+1)2+y2=2，是圓的方程，所以C正確；x2+y2+xy1=0，不是圓的方程，所以D不正確；故選：AC利用圓的標準方程與一般方程判斷即可本題考查圓的方程的判斷，是基礎題11

15、.【答案】AB【解析】解：結(jié)合雙曲線的定義，可得滿足|PA|PB|=6的點P的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，滿足|QB|QA|=6的點Q的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的左支，則其中焦點坐標為A(5,0)和B(5,0)，即c=5，a=3，可得b=4；故雙曲線的方程為x29y216=1，依題意，若該直線為“一箭雙雕線”，則這條直線必與雙曲線的左右支相交，進而分析可得，y=x+1，y=2與其相交，y=43x與雙曲線的漸近線平行，與右支沒有交點，y=2x代入雙曲線的方程可得無實數(shù)解故選：AB結(jié)合雙曲線的定義，可得滿足|PA|PB|=6的點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支，滿足|QB|QA|=

16、6的點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的左支，進而可得其方程，若該直線為“一箭雙雕線”，則這條直線必與雙曲線的左右支相交，依次分析4條直線可得答案本題考查雙曲線與直線的位置關系，要掌握判斷雙曲線與直線相交，交點位置的判定方法，屬于基礎題12.【答案】ABD【解析】解：設A(x1,x12)，B(x2,x22)，(x10,x20 ) OAOB，OAOB=0，OAOB=(x1,x12)(x2,x22)=x1x2+x12x22=x1x2(1+x1x2)=0，1+x1x2=0，x2=1x1，|OA|OB|=(x12+x14)(x22+x24)=(x12+x14)(1x12+1x14)=1+x12

17、+1x12+12+2x121x12=2，當且僅當x12=1x12，即x1=±1時等號成立，故選項A正確，又|OA|+|OB|2|OA|OB|22，故選項B正確，直線AB的斜率為x22x12x2x1=x2+x1=x11x1，直線AB的方程為：yx12=(x11x1) (xx1)，當x=0時，y=1，焦點坐標(0,14)不滿足直線AB的方程，故選項C錯誤，原點(0,0)到直線AB：(x11x1)xy+1=0 的距離d=1(x11x1)2+121，故選項D正確，故選：ABD設A(x1,x12)，B(x2,x22)，利用OAOB=0可得x2=1x1，再利用基本不等式即可求

18、出|OA|OB|22，從而|OA|+|OB|2|OA|OB|22，表達出直線AB的方程，再利用點到直線距離公式即可得到d=1(x11x1)2+121本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，考查了利用基本不等式求最值，考查了點到直線距離公式，是中檔題13.【答案】2【解析】解：雙曲線x24y212=1中，a2=4，b2=12，c2=16，a=2，c=4，e=ca=2故答案為：2利用雙曲線x24y212=1，求出a，b，c，即可求出雙曲線的離心率本題考查雙曲線方程與性質(zhì)，確定a，c的值是關鍵14.【答案】(x2)2+(y+32)2=254【解析】解：設圓的圓心坐標(a,b)，半徑為r，因為圓C經(jīng)過坐標原點和點

19、(4,0)，且與直線y=1相切，所以a2+b2=r2(a4)2+b2=r2|b1|=r，解得a=2b=32r=52，所求圓的方程為：(x2)2+(y+32)2=254故答案為：(x2)2+(y+32)2=254設出圓的圓心坐標與半徑，利用已知條件列出方程組，求出圓的圓心坐標與半徑，即可得到圓的方程本題考查圓的標準方程的求法，列出方程組是解題的關鍵，考查計算能力15.【答案】33,1【解析】解：如圖所示，建立空間直角坐標系： 不妨設A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，P(0,b,1b)(12b1)，Q(a,0,0)(0a12). QP=(a,b,1b)，OB=(0,1,0)所以

20、，cos<QP，OB>=QPOB|QP|OB|=ba2+b2+(1b)2=1(ab)2+(1b1)2+1，因為ab0,1，1b1,2，所以a=0，b=1時，cos<QP，OB>=1取得最大值；a=b=12時，cos<QP，OB>=33取得最小值所以PQ和OB所成的角的余弦值的取值范圍是33,1利用空間向量的夾角公式進行異面直線所成的角的求解，注意分類討論本題考查了異面直線所成的角的夾角，向量夾角公式，考查了分類討論的方法，推理計算能力，屬于中檔題16.【答案】(3,3)3x+2y=0，x(2,2)  【解析】【分析】本題考查直線與橢圓的位

21、置關系的應用，橢圓的簡單性質(zhì)的應用，軌跡方程的求法，考查計算能力直線與橢圓聯(lián)立方程組，通過判別式大于0，求解m的范圍；設出AB坐標，利用韋達定理，轉(zhuǎn)化求解M的軌跡方程即可【解答】解：由y=32x+mx24+y29=1，得：9x2+6mx+2m218=0；設A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得：=36m24×9(2m218)>0，可得：32<m<32設弦AB的中點為M(x,y)，可得：x=x1+x22=m3y=y1+y22=3(x1+x2)4+m=m2,可得：3x+2y=0，x(2,2)故答案為：(32,32)；3x+2y=0，x(2,2)  

22、17.【答案】解：(1)由x+y4=0xy+2=0，得x=1y=3，l1與l2的交點為(1,3)設與直線2xy1=0平行的直線為2xy+c=0，則23+c=0，c=1所求直線方程為2xy+1=0(2)設與直線2xy1=0垂直的直線為x+2y+c=0，則1+2×3+c=0，解得c=7所求直線方程為x+2y7=0【解析】(1)由x+y4=0xy+2=0，得l1與l2的交點為(1,3).設與直線2xy1=0平行的直線為2xy+c=0，由此能求出l的直線方程(2)設與直線2xy1=0垂直的直線為x+2y+c=0，由此能求出l的直線方程本題考查直線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意直

23、線的位置關系的合理運用18.【答案】解：(1)由F1(22,0)、F2(22,0)，長軸長為6，得：c=22，a=3，b=a2c2=1，橢圓方程為x29+y2=1；(2)設A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB的方程為y=x+2，聯(lián)立y=x+2x29+y2=1，得10x2+36x+27=0，x1+x2=185，x1x2=2710，|AB|=2|x1x2|=2(x1+x2)24x1x2=2(185)24×2710=635【解析】(1)由題意可得c=22，a=3，由隱含條件求得b，即可得到橢圓方程；(2)設出A，B的坐標，聯(lián)立直線AB的方程與橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得

24、到線段AB的長度本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查運算能力，屬于中檔題19.【答案】解：以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(如圖)設AD=a，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，E(a,a2,0)，P(0,0,a)，F(xiàn)(a2,a2,a2).(1)證明：EFDC=(a2,0,a2)(0,a,0)=0，EFDC，EFCD(2)設平面DEF的法向量為n=(x,y,z)，由(x,y,z)(a2a2a2)=0(x,y,z)(aa2,0)=0，得即a2(x+y+z)=0ax+a2y=0，取x=1，則y=2，z=

25、1，n=(1,2,1)，cos<BD，n>a2a6=36設DB與平面DEF所成角為，則sin=36【解析】以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設AD=a，求出D，A，B，C，E，P，F(xiàn)，坐標(1)通過EFDC=0，證明EFCD(2)設平面DEF的法向量為n=(x,y,z)，由(x,y,z)(a2a2a2)=0(x,y,z)(aa2,0)=0，推出n=(1,2,1)，利用cos<BD，n>a2a6=36.設DB與平面DEF所成角為，求出sin=36本題是中檔題，考查空間向量求直線與平面的夾角，證明直線與直線的垂直，直線與平面所成的角，考查計

26、算能力20.【答案】解：(1)圓C：x2+y2+2x3=0，可化為圓C：(x+1)2+y2=4，圓心坐標為(1,0)，直線l1與圓C相交于不同的A、B兩點，點M(0,1)是線段AB的中點，CM直線l1，kCM=1，直線l1的斜率為1，直線l1的方程為y=x+1；(2)設直線l2的方程為y=x+b，即x+yb=0，(1,0)到直線l2的距離為d=|1b|2<2，|EF|=24d2，CEF的面積S=12d24d2=d2(4d2)d2+4d22=2，當且僅當d2=4d2，即d=2時CEF的面積S最大，此時|1b|2=2<2，b=1或3，最大面積為2，直線l1的方程為y=x+1，l2的方程

27、為x+y+3=0【解析】(1)圓的方程化為標準方程，根據(jù)直線l1與圓C相交于不同的A、B兩點，點M(0,1)是線段AB的中點，可得CM直線l1，求出斜率，即可求直線l1的方程；(2)設直線l2的方程，求出CEF的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，點到直線的距離公式的應用，直線與圓的相交關系的應用及基本運算的能力21.【答案】()證明：平面ABCD平面ADEF，且ABCD為矩形，BA平面ADEF，又EF平面ADEF，BAEF，又AFEF且AFBA=A，EF平面BAF；()解：設AB=t以F為原點，AF，F(xiàn)E所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fzy

28、z則F(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,3,0)，D(1,3,0)，B(2,0,t)，DF=(1,3,0)，BF=(2,0,t)EF平面ABF，平面ABF的法向量可取m=(0,1,0)設n=(x,y,z)為平面BFD的法向量，則nDF=x3y=0nBF=2xtz=0，取y=1，可得n=(3,1,23t).cos<m,n>=mn|m|n|=24，得t=3，AB=3【解析】()由平面ABCD平面ADEF，且ABCD為矩形，可得BA平面ADEF，得到BAEF，又AFEF，由線面垂直的判定可得EF平面BAF；()設AB=t.以F為原點，AF，F(xiàn)E所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系Fzyz.可得平面ABF的法向量可取m=(0,1,0).再求出平面BFD的法向量n=(3,1,23t).結(jié)合二面角ABFD的平面角的余弦值