2022秋九年級數(shù)學(xué)上冊 第24章 一元一次方程24.2 解一元二次方程 2配方法——配方法解方程教學(xué)設(shè)計（新版）冀教版

1、精品文檔配方法配方法解方程課時安排 3課時沉著說課 配方法是繼探索一元二次方程近似解的根底上研究的一種求精確解的方法它是一元二次方程的解法的通法因為用配方法解一元二次方程比擬麻煩，一個一元二次方程需配一次方，所以在實際解一元二次方程時，一般不用配方法但是，配方法是導(dǎo)出求根公式的關(guān)鍵，且在以后的學(xué)習(xí)中，會常常用到配方法因此，要理解配方法，并會用配方法解一元二次方程. 本節(jié)的重點、難點是配方法根據(jù)課程的特點，以及學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)特點，本節(jié)內(nèi)容分三課時 在教學(xué)時，首先從前面兩節(jié)課的實例引入求精確解.因為我們已經(jīng)能解形如(x+a)2=b(b0)的方程，所以想到要求一個一元二次方程的精確解時，是否可把方程

2、轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能解的方程，這時引入了一元二次方程的解法配方法 配方法的關(guān)鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式的特征 教學(xué)方法主要是學(xué)生自主探索、發(fā)現(xiàn)的方法課 題配方法教學(xué)目標 (一)教學(xué)知識點 1會用開平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程 2理解一元二次方程的解法配方法 (二)能力訓(xùn)練要求 1會用開平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程；理解配方法 2體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法 3能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性 (三)情感與價值觀要求 通過師生的共同活動，學(xué)生的進一步操作來增強其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力教學(xué)重點 利用配方法解一元二次方程教學(xué)難點 把一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為(x

3、+m)2n(n0)的形式教學(xué)方法 講練結(jié)合法教具準備 投影片六張： 第一張：問題(記作投影片§221 A) 第二張：議一議(記作投影片§ 221 B) 第三張：議一議(記作投影片§ 221 C) 第四張：想一想(記作投影片§221 D) 第五張：做一做(記作投影片§221 E) 第六張：例題(記作投影片§221 F)教學(xué)過程 創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情景，引入新課 師前面我們曾學(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)? 生甲如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根。 用式子表示：假設(shè)x2=a，那么x叫做a

4、的平方根 生乙平方根有以下性質(zhì)： (1)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)的 (2)零的平方根是零 (3)負數(shù)沒有平方根 師很好，那你能求出適合等式x2=4的x的值嗎? 生由x24可知，x就是4的平方根因此x的值為2和-2 師很好；下面我們來看上兩節(jié)課研究過的問題(出示投影片§221 A)如圖，一個長為10 m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 m，如果梯子的頂端下滑1 m，那么梯子的底端滑動多少米? 師由前節(jié)課的分析可知：梯子底端滑動的距離x(m)滿足x2+12x-150上節(jié)課我們已求出了x的近似值，那么你能設(shè)法求出它的精確值嗎? 這節(jié)課我們就來研究一元二

5、次方程的解法 講授新課 師我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的定義及有關(guān)概念，現(xiàn)在同學(xué)們來討論一下：你能解哪些一元二次方程? 生甲等式x2=4就是一元二次方程，像這樣類型的方程我們就能解. 生乙方程(x+3)29，我們也可以解，即是要求(x+3)，使它的平方等于9，而9的平方根是3和-3，所以(x+3)就等于3或-3，因此x0或x-6 師乙同學(xué)分析得很好，大家聽清楚了沒有?好，下面大家看大屏幕(出示投影片§ 221 B)你會解以下一元二次方程嗎?你是怎么做的?(1)x25； (2)3x20；(3)x2-40； (4)2x2-500；(5)(x+2)25； (6)(x-3)26；(7)2x2+

6、500 生甲方程(1)的解為 ，-，因為x是5的平方根 方程(2)的解為0，因為方程3x20可以化為x20，即x是0的平方根 生乙方程(3)可以通過移項化為方程(1)的形式，即x24，所以方程(3)的根為2，-2 方程(4)也可以通過移項化為方程(2)的形式，即2x250，然后再化為x225，因此方程(4)的根為5，-5 生丙解方程(5)和(6)時，只要把(x+2)和(x-3)當作整體看待，其形式就如方程(1)，這樣方程(5)和(6)即可求解 方程(5)就是求(x+2)，使它的平方為5，那么x+2就等于 或- ，因此，x就等于-2+或-2- 方程(6)就是求(x-3)，使它的平方為6，那么(x

7、-3)就等于 或- ，因此，x等于3+ 或3- 生丁方程(7)通過移項得2x2-50而由平方根的性質(zhì)可知：負數(shù)沒有平方根，所以沒有一個實數(shù)適合這個方程 師同學(xué)們分析得真棒，大家利用平方根的定義求解了一類一元二次方程，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法其中適合方程(7)的實數(shù)x不存在，所以原方程無實數(shù)解 從剛剛的解題過程中，我們知道了一元二次方程如果有解，那么它有兩個根，這兩個根可以是相等的，如方程(2)；也可以是不相等的，如方程(1)、(3)、(4)、(5)、(6)，所以我們在書寫時，通常用x1、x2表示未知數(shù)為x的一元二次方程的兩個根 注意： (1)方程3x20有兩個相等的實數(shù)根，即x

8、1=0，x2=0這與一元一次方程3x=0有一個根x0是有區(qū)別的 (2)剛剛我們解的一元二次方程，可用形式ax2+c=0來表示當a、c異號時，方程ax2+c0有兩個不相等的實數(shù)根；當a、c同號時，ax2+c=0沒有實數(shù)根 好，接下來同學(xué)們來看大屏幕(出示投影片§221 C)。分組討論討論判斷以下方程能否用開平方法來求解?如何解?(1)x2-4x+42；(2)x2+12x+365 生甲方程(1)能用開平方法求解因為方程(1)的左邊正好是一個完全平方式，右邊是一個正數(shù)，所以它可以化為(x-2)22這樣利用直接開平方法可得x-2=±，即x1=2+，x2=2-. 生乙方程(2)也能用

9、平方法來解，方法同解方程(1)，即原方程化為(x+6)2=5兩邊分別開平方，得x+6±， 即x1-6+，x2-6- 師很好，同學(xué)們根本了解了解一元二次方程的根本思路，誰來給大家表達一下呢? 生解一元二次方程的根本思路是：把原方程變?yōu)?x+m)2n，然后兩邊同時開平方，這樣原方程就轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程 師真棒，實際上解一元二次方程的關(guān)鍵是要設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，即將原方程“降次，“降次也是一種數(shù)學(xué)方法 下面我們來看能否求出方程x2+12x-15=0的精確值，同學(xué)們先來想一想：(出示投影片§221 D)解方程x2+12x-15=0的困難在哪里?你能將方程x2+12x-1

10、50轉(zhuǎn)化成(x+m)2=n的形式嗎? 生解方程x2+12x-150的困難就是：怎么樣能把x2+12x-15=0的左邊變成一個完全平方形式，右邊變成一個非負數(shù) 師噢，那想一想完全平方式的特征是什么? 生完全平方公式是:a2±2ab+b2(a±b)2 師好，下面大家來做一做(出示投影片§221 E)填上適當?shù)臄?shù)，使以下等式成立(1)x2+12x+ (x+6)2；(2)x2-4x+ =(x- )2；(3)x2+8x+ (x+ )2 生甲(1)的左邊應(yīng)填上：36 (2)的左邊應(yīng)填上4，右邊填；2 (3)的左邊應(yīng)填上16，右邊填：4 生乙老師，我看出來了，這三個等式的左邊填

11、的常數(shù)是：一次項系數(shù)一半的平方；而右邊填的是：一次項系數(shù)的一半是嗎? 師大家說呢? 生齊聲是 師好，我們理解了完全平方式的特征后，把方程；x2+12x-150轉(zhuǎn)化為(x+m)2n的形式 師生共析x2+12x-150， 可以先把常數(shù)項移到方程的右邊，得 x2+12x15 兩邊都加上62(一次項系數(shù)12的一半的平方)，得 x2+12x+62=15+62， 即(x+6)251 師接下來能否求出方程x2+12x-150的精確值，即梯子底端滑動的距離呢? 生齊聲能，給方程兩邊開平方，得 x+6±， 即x+6或x+6- 所以x1-6+,2-6- 師噢，所以梯子底端滑動了(-6+)m或(-6-)m

12、 生老師，梯子底端滑動的距離是正數(shù)，不能是負數(shù)，所以x1是原問題的解，而x2不是 師大家說，對嗎? 生齊聲對 師很好，x1，x2是方程x2+12x-150的根，但x2不是原問題的解，所以應(yīng)舍去 我們通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程x2+12x-150的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法(Solving by completing the square) 下面同學(xué)們來看一例題：(出示投影片§221 F) 例題解方程x2+8x-90 師大家能獨立解這個方程嗎? 生齊聲能 解：可以把常數(shù)項移到方程的右邊，得 x2+8x9 兩邊都加上16，得 x2+8x+169+16， 即(x

13、+4)2=25 開平方，得 x+4±5， 即x+4=5或x+4-5 所以x11，x2-9 師很好，由此我們可以知道：由配方法解一元二次方程的根本思路是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2n的形式，它的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數(shù)，當n0時，兩邊開平方便可求出它的根 注；因為在實數(shù)范圍內(nèi)任何非負數(shù)都有平方根，所以當n0時，方程有解；當n<0時，左邊是一個完全平方式，右邊是一個負數(shù)，因此方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解 接下來，通過做練習(xí)來進一步穩(wěn)固本節(jié)所學(xué)的內(nèi)容 課堂練習(xí) 1解以下方程 (1)x2-10x+257；(2)x2+6x1 解：(1)x2-10x+257， (x-5)27， x-5=

14、±， 即x-5=或x-5=-， 所以x15+，x25- (2)x2+6x1， x2+6x+91+9， (x+3)210， x+3±， 即x+3或x+3- 所以x1-3+，x2-3- 課時小結(jié) 這節(jié)課我們研究了一元二次方程的解法： (1)直接開平方法 (2)配方法 課后作業(yè)(一)課本習(xí)題 (二)1預(yù)習(xí) 2預(yù)習(xí)提綱 如何利用配方法解二次項系數(shù)不為1或一次項系數(shù)不為偶數(shù)的一元二次方程 活動與探究 1解以下關(guān)于x的方程： (1)1(a>0)； (2)x2-a0(a0)； (3)(x-a)2b2； (4)(ax+c)2d(d0，a0) 過程通過對此題的探究，讓學(xué)生了解字母系數(shù)的一元二次方程的解法與數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的解法一樣，因為負數(shù)沒有平方根，因此只有在判明了方程的兩邊均是非負數(shù)時，才能開平方此題的(1)、(2)方程經(jīng)過變形后，可得x2a，因為給了條件a0或d0，所以可以對a進行開平方；方程(3)中，兩邊都是完全平方式，可以同時開平方；方程(4)是給了條件d0，所以也可以直接開平方 結(jié)果 解：(1)化簡為x2=a 因為a0， 所以兩邊同時開平方，得x±， 即x1=，x2- (2)化簡為x2=a 因為a0， 所以兩邊同時開平方，得x±， 即x1=，x2- (3)兩邊同時開平方，得 x-