高三數(shù)學(xué) 1.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 北師大選修2-3

1、.11.1分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理.2導(dǎo)入;在日常的生產(chǎn),生活中,我們常常會遇到一些需要計數(shù)的問題,例如:2010年中國足球協(xié)會超級聯(lián)賽有14支球隊參加,每支球隊要和其余的13支球隊進行比賽,而且在主場和客場各賽一次,那么聯(lián)賽一共要安排多少場比賽呢?我國許多地區(qū)的電話號碼都是由6位升至8位,這樣電話號碼可以增加多少?如果考慮用戶不喜歡帶4的,那么增加多少?回答這些問題將會用到這章的內(nèi)容,這節(jié)課我們先學(xué)習(xí)兩個原理.3問題一： 從天津到大連，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？.4分類計數(shù)

2、原理與分步計算原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法.5對于分類計數(shù)原理，注意以下幾點.（1）從分類計數(shù)原理中可以看出，各類之間相互獨立，都能完成這件事，且各類方法數(shù)相加，所以分類計數(shù)原理又稱加法原理；（2）分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標準，然后在確定的分類標準下進行分類；（3）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的方法.6問題二： 從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一

3、天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？.7分步計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法.8對于分步計數(shù)原理，應(yīng)注意以下幾點.（1）分步計數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟完成了，這件事才算完成；分步計數(shù)原理又叫乘法原理。（2）分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標準；（3）分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只需連續(xù)完成n個步驟后這件事才算完成.9例1 在1,2,3,200中,能夠被5整除的數(shù)有多少個? 解:能

4、夠被5整除的數(shù),末位數(shù)字是0或者5,因此,我們把1,2,3.,200分成兩類來計數(shù):第一類:末位為0的有20個第二類:末位為5的有20個根據(jù)加法原理,在1,2,.,200中,能夠被5整除的數(shù)有40個.10例題講解 例2 有一項活動,需在3名教師,8名男生和5名女生中選人參加 .(1)若只需1人參加,有多少種選法?(2)若需教師,男生,女生各選一人參加,有多少種選法?解(1)只選1人就可以完成這件事而選出的1人有三種類型，即教師，男士，女生，因此要分類相加： 第一類選出的是教師，有3種選法； 第二類選出的是男生，有8種選法； 第三類選出的是女生 ， 有5種選法 根據(jù)加法原理，共有3+8+5=16

5、種選法 （2）完成這件事需要分別選出1名教師，1名男生，1名女生，因此要分步完成第一步：選1名教師，有3種選法；第二步：選1名男生，有8種選法；第三步：選1名女生，有5種選法；根據(jù)乘法原理共有120種選法.11例3電視臺在“歡樂大本營”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多種不同的結(jié)果？ 解：分兩大類：（1）幸運之星在甲箱中抽，先定幸運之星，再在兩箱中各定一名幸運伙伴有：302920=17400種結(jié)果；（2）幸運之星在乙箱中抽，同理有201930=

6、11400種結(jié)果，因此共有不同結(jié)果17400+11400=28800種 大家在綜合運用兩個原理時，既要會合理分類，又能合理分步，一般情形是先分類后分步.12例44張卡片的正、反面分別有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成多少個不同的三位數(shù)？解：分三個步驟：第一步：首位可放81=7個數(shù)；第二步：十位可放6個數(shù)；第三步：個位可放4個數(shù).根據(jù)分步計數(shù)原理，可以組成N=764=168個數(shù).這兩個原理的本質(zhì)區(qū)別在于分類與分步，分類用分類計數(shù)原理，分步用分步計數(shù)原理.用分類計數(shù)原理的關(guān)鍵在于恰當分類，分類要做到“不重不漏”，應(yīng)用分步計數(shù)原理的關(guān)鍵在于分步，要正確設(shè)計分步程序.1

7、3例5四個人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，共有多少種不同的方法？我們可排出所有的分配方案：（1）甲取得乙卡，然后類推，按甲、乙、丙、丁各取得的賀卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案為：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案為：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分類計數(shù)原理，共有3+3+3=9種. 另外，此題也可分步解決：第一步：甲取一張，有3種取法；第二步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余兩人中任一人取，有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法.由分步計數(shù)原理得不同取法有3311=9種.14課堂練

8、習(xí)：課堂練習(xí)： 1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走 （1）從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？ （2）從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 2一名兒童做加法游戲在一個紅口袋中裝著2O張分別標有數(shù)1、2、19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個黃口袋中裝著10張分別標有數(shù)1、2、9、1O的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù)這名兒童一共可以列出多少個加法式子？ 3由09這10個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？.154.完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外4個人只會用第二種方法，

9、從這9個人中選一人完成這項工作，一共有多少種選法?5.有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中取出數(shù)學(xué)、語文、外語書中各取一本，共有多少種取法？.16 要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時用加法， 分步時用乘法，其次要注意怎樣分類和分步，以后會進一步學(xué)習(xí) 在計算完成事件的方法種數(shù)時，何時用加法原理？何時用乘法原理？ 這兩個原理分別是怎樣敘述的？它們的根本區(qū)別是什么？（口答）一件工作可以用兩種方法完成有 5人會用第一種方法完成， 另有4人會用第二種方法完成選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？ 在讀書活動中，一個學(xué)生要從 2本科技書、 2本政治書、 3本文藝書里任選一本，共有多少種不同的選法？ 從甲地到乙地有2條路可通，從乙地