1.2.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1、1.2.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則備課人：王宏偉 年級(jí)組：高二教材分析  本節(jié)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算這一節(jié)的關(guān)鍵部分，對(duì)后面更深刻地研究導(dǎo)數(shù)起著至關(guān)重要的作用在導(dǎo)數(shù)的定義中，我們不僅闡明了導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)質(zhì)，也給出了利用定義求導(dǎo)數(shù)的方法但是，如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)都直接按定義去求它的導(dǎo)數(shù)，往往是極為復(fù)雜和困難的，甚至是不可能的因此，我們希望找到一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(作為我們的基本公式)與運(yùn)算法則，借助它們來簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)的計(jì)算過程因此教材直接給出了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，使得用定義求導(dǎo)數(shù)比較麻煩問題得以解決，為以后導(dǎo)數(shù)的研究帶來了方便，同時(shí)也將所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和實(shí)際應(yīng)用問題結(jié)合起來

2、，使得導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性發(fā)揮得淋漓盡致復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算這一節(jié)的最后一小節(jié)內(nèi)容教材在基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上將導(dǎo)數(shù)的計(jì)算研究得更深入，雖然基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解決了不少導(dǎo)數(shù)問題，但對(duì)于由函數(shù)和函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)還沒有涉及，我們平時(shí)研究的函數(shù)不會(huì)僅限于基本初等函數(shù)，因此我們要想將問題研究得更加透徹，就得繼續(xù)研究導(dǎo)數(shù)教材層層深入，給我們展示了什么是復(fù)合函數(shù)，同時(shí)將復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則也展示給了學(xué)生因此，使很多較難的問題層層分解以后顯得簡(jiǎn)單易懂課時(shí)分配  2課時(shí)第1課時(shí)(基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則)； 

3、;第2課時(shí)(復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則)第1課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能目標(biāo)(1)熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；(2)掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則2過程與方法目標(biāo)能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過學(xué)習(xí)本節(jié)課，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)知能力由于利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)非常復(fù)雜，本節(jié)課直接給出了八個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則學(xué)生不用推導(dǎo)而直接去求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系，達(dá)到學(xué)有所用在訓(xùn)練中也加深了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用八個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù).教學(xué)難點(diǎn)：商求

4、導(dǎo)法則的理解與應(yīng)用.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)五種常見函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)公式填寫下表函數(shù)導(dǎo)數(shù) 二、提出問題，展示目標(biāo) 我們知道,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，以后看見這種函數(shù)就可以直接按公式去做，而不必用導(dǎo)數(shù)的定義了。那么其它基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)怎么呢？又如何解決兩個(gè)函數(shù)加。減。乘。除的導(dǎo)數(shù)呢？這一節(jié)我們就來解決這個(gè)問題。三、合作探究 1（1）分四組對(duì)比記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表函數(shù)導(dǎo)數(shù)（2）根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）與（2）與2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和（或差）的導(dǎo)數(shù)法則1 兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差），即(u±v)¢u¢±

5、;v¢例1 求yx3sinx的導(dǎo)數(shù)解：y¢(x3) ¢(sinx) ¢3x2cosx 例2 求yx4x2x3的導(dǎo)數(shù)解：y¢4x3 2x1（2）積的導(dǎo)數(shù)法則2 兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即 (uv)¢u¢vuv¢由此可以得出 (Cu)¢C ¢uCu¢0Cu¢Cu¢ 也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即 (Cu)¢Cu¢ 例3 求y2x33x25x4的導(dǎo)數(shù)解：y

6、2;6x26x5例4 求y(2x23) (3x2) 的導(dǎo)數(shù)解：y¢(2x23) ¢ (3x2)(2x23)(3x2) ¢4x(3x2)(2x23)·318x28x9或：，（3）商的導(dǎo)數(shù) vu¢=v¢u-vu¢v2例5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （1） （2） （3）提示：積法則,商法則, 都是前導(dǎo)后不導(dǎo), 前不導(dǎo)后導(dǎo), 但積法則中間是加號(hào), 商法則中間是減號(hào).四、當(dāng)堂檢測(cè) 1填空： (3x21)(4x23) ¢( )(4x23) (3x21)( )； (x3sinx) ¢( )x2·sinxx3·

7、; ( )2判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正：(3x2)(2x3) ¢2x(2x3)3x2(3x2)(3x2)(2x3) ¢2x(2x3)3x2(3x2)3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y2x33x25x4； （2） yax3bxc； （3） ysinxx1； （4）y(3x21)(2x)； 4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)5思考：設(shè) f(x)x(x1) (x2) (xn)，求f ¢ (0) 6函數(shù)f(x)x(x1) (x2)(x3) (x100)在x0處的導(dǎo)數(shù)值為( )A. 0 B. 1002 C. 200 D. 100!五、課堂總結(jié)（1）分四組寫出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表：

8、（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：1和（或差）的導(dǎo)數(shù) (u±v)¢u¢±v¢2積的導(dǎo)數(shù) (uv)¢u¢vuv¢3商的導(dǎo)數(shù) vu¢=v¢u-vu¢v2六課后作業(yè)1課本第18頁(yè)習(xí)題1.1A組:42求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） y(1x2)cosx； （2）（3） （4）七、板書設(shè)計(jì) 1.2.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）一、復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)五種常見函數(shù)、y=1x、的導(dǎo)數(shù)公式二、提出問題，展示目標(biāo) 三、合作探究 1分四組對(duì)比記憶基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表2導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：（1）和（或差）的導(dǎo)數(shù)（2）積

9、的導(dǎo)數(shù)（3）商的導(dǎo)數(shù)四、當(dāng)堂檢測(cè) 五課堂總結(jié)六課后作業(yè)八課后反思第2課時(shí)課程內(nèi)容：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容分析：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的重點(diǎn)，也是導(dǎo)數(shù)的難點(diǎn). 要弄清每一步的求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo).求導(dǎo)時(shí)對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)要寫明，可以通過具體的例子，讓學(xué)生對(duì)求導(dǎo)法則有一個(gè)直觀的了解.教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)與技能  （1）理解復(fù)合函數(shù)的概念 （2）能正確分解簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)，記住復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式（3）理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2過程與方法 （1）記基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，會(huì)利用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （2）通過分析復(fù)合層次確定函數(shù)的復(fù)合順序，為正確求導(dǎo)奠定

10、基礎(chǔ) 3情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，做到不漏，不重，熟練，正確培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，做事的條理性和處理問題大局觀，進(jìn)而影響到學(xué)生的一生。教學(xué)目的：理解 ，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，掌握規(guī)律，利用規(guī)律教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的概念與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的導(dǎo)入與理解授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入 1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：；2.法則1 法則2 , 法則3 二、講解新課 1.舉出例子、，讓學(xué)生感覺到這既不是基本初等函數(shù)，也不是初等函數(shù)，然后引入如何函數(shù)的概念。2.復(fù)合函數(shù): 由幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，叫復(fù)合函數(shù)由函數(shù)與復(fù)

11、合而成的函數(shù)一般形式是，其中u稱為中間變量.3.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路：方法一：；方法二：將函數(shù)看作是函數(shù)和函數(shù)復(fù)合函數(shù)，并分別求對(duì)應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下：，兩個(gè)導(dǎo)數(shù)相乘，得 ， 從而有 對(duì)于一般的復(fù)合函數(shù)，結(jié)論也成立，以后我們求yx時(shí)，就可以轉(zhuǎn)化為求yu和ux的乘積，關(guān)鍵是找中間變量，隨著中間變量的不同，難易程度不同.4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux=(x)，函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yu=f(u)，則復(fù)合函數(shù)y=f( (x)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且 或fx( (x)=f(u) (x).證明：（教師參考不需要給學(xué)生講）設(shè)x有增量x，則對(duì)應(yīng)的u，y分別有增量u，

12、y，因?yàn)閡=(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，所以u(píng)= (x)在點(diǎn)x處連續(xù).因此當(dāng)x0時(shí)，u0.當(dāng)u0時(shí)，由. 且.即 (當(dāng)u0時(shí)，也成立)5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).6.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解求導(dǎo)相乘回代. 注意： 間變量的選擇應(yīng)是基本初等函數(shù)結(jié)構(gòu) 鍵是正確分清函數(shù)的復(fù)合層次 般是從最外層開始，由外及里，一層一層地求導(dǎo)     善于把一部分表達(dá)式作為一個(gè)整體最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)（即代回）三、講解范例 例1 試說明下列函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的？（1）； （2）；（3）； （4）解

13、：（1）函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；（2）函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；（3）函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成；（4）函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成.說明：討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時(shí)，“內(nèi)層”、“外層”函數(shù)一般應(yīng)是基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.例2 寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：（1），；（2），.解：（1）； （2）.例3 求的導(dǎo)數(shù)解： 設(shè)，則 .注意：在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時(shí)復(fù)合函數(shù)可以由幾個(gè)基本初等函數(shù)組成，所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個(gè)整體，然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo)

14、.例4 求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù).解：令y=f(x)=sinu; u=x2=(sinu)u·(x2)x=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例5 求y=sin2(2x+)的導(dǎo)數(shù).分析: 設(shè)u=sin(2x+)時(shí)，求ux，但此時(shí)u仍是復(fù)合函數(shù)，所以可再設(shè)v=2x+.解：令y=u2，u=sin(2x+)，再令u=sinv，v=2x+=yu(uv·vx)yx=yu·uv·vx=(u2)u·(sinv)v·(2x+)x=2u·cosv·2=2sin(2x+)cos

15、(2x+)·2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即yx=2sin(4x+)例6 求函數(shù)y=(2x23)的導(dǎo)數(shù).分析: y可看成兩個(gè)函數(shù)的乘積，2x23可求導(dǎo)，是復(fù)合函數(shù)，可以先算出對(duì)x的導(dǎo)數(shù).解：令y=uv，u=2x23，v=, 令v=，=1+x2 = (1+x2)x=yx=(uv)x=uxv+uvx=(2x23)x·+(2x23)·=4x即yx= 四、課堂練習(xí) 1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量，再求導(dǎo)).(1)y=(5x3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2x2)3 (4)y=(2x3+x)22.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量，再

16、求導(dǎo))(nN*)(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx解：(1)令y=sinu，u=nx=(sinu)u·(nx)x=cosu·n=ncosnx(2)令y=cosu，u=nx=(cosu)u·(nx)x=sinu·n=nsinnx(3)令y=tanu，u=nx=(tanu)u·(nx)x=()u·n=·n=n·sec2nx(4)令y=cotu，u=nx=(cotu)u·(nx)x=()u·n=·n=·n=ncsc2nx.五、課堂

17、小結(jié) 這節(jié)課你學(xué)到了什么?把它寫下來?。?）明確了什么是復(fù)合函數(shù)（2）學(xué)會(huì)了分解復(fù)合函數(shù)（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：（4）開闊思路，恰當(dāng)選用求導(dǎo)數(shù)方法（5）計(jì)算要認(rèn)真，要學(xué)會(huì)循序漸進(jìn)。（6）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡(jiǎn)單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；（7）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解求導(dǎo)相乘回代.六、課后作業(yè)1. 課本第18頁(yè)習(xí)題1.1A組:4、62. 求的導(dǎo)數(shù).解：令y=，u=ax2+bx+c=()u·(ax2+bx+c)x=·(2ax+b)=(ax2+bx+c)(2ax+b)=即yx=3. 求y=sin2的導(dǎo)數(shù).解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=·vx=(u2)u·(sinv)v·