13.2命題與證明(共3課時)

1、13.2命題與證明第1課時命題與證明(一)教學目標【知識與技能】1.理解真命題、假命題、公理、原命題、逆命題等概念.2.會判斷一個命題的真假,能區(qū)分公理、定理和命題.3.理解證明的含義,體驗證明的必要性和數(shù)學推理的嚴密性.【過程與方法】1.通過一些簡單命題的證明,訓練學生的邏輯推理能力.2.根據(jù)命題的證明需要,要求學生畫出圖形,寫出已知、求證,訓練學生將命題轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言的能力.【情感、態(tài)度與價值觀】1.通過對命題真假的判斷,培養(yǎng)學生科學嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和求真務實的作風.2.讓學生積極參與數(shù)學活動,對數(shù)學定理、命題的由來產(chǎn)生好奇心和求知欲,讓學生認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系,提高學生學習數(shù)學的積

2、極性.重點難點【重點】學習命題的概念和命題、公理、定理的區(qū)分.【難點】嚴密完整地寫出推理過程.教學過程一、創(chuàng)設情境,導入新知教師多媒體出示:有一根比地球赤道長1m的銅線將地球赤道繞一圈,想一想,銅線與地球赤道之間的空隙有多大?能放進一顆棗嗎?能放進一個蘋果嗎?學生交流討論后回答.生甲:都放不進去.生乙:棗能放進,蘋果放不進.生丙:都能放進.師:我們現(xiàn)在用這個式子來算,設赤道的長為C,則銅線與地球赤道之間的間隙是-=0.26(m),可見,棗和蘋果都能放進去.通過這個例子,你們受到了什么啟發(fā)?生:有些東西想象的或感覺的不一定可靠,要具體分析.師:對,我們要做到有理有據(jù).上一節(jié)研究三角形的性質(zhì)時,我

3、們通過折疊、剪拼、度量等方法得到三角形的內(nèi)角和是180°,但對這種方法,有的同學提出這樣的疑問:在剪拼時,發(fā)現(xiàn)三個內(nèi)角難以拼成一個平角,只是接近180°的某個值;度量三個角,然后相加,不一定能準確地得到180°.這兩種情況怎么解釋呢?學生思考、交流、討論.師:是這樣的,研究幾何圖形時,從觀察和實驗得到的認識,有時會有誤差,難以使人確信其結(jié)果一定正確.因此,就得在觀察的基礎上有理有據(jù)地說明理由,這就是說,要判斷數(shù)學命題的真假,需要做必要的邏輯推理.二、共同探究,獲取新知師:推理是一種思維活動,人們在思維活動中,常常要對事物的情況做出種種判斷.教師多媒體出示:(1)長

4、江是中國第一大河;(2)如果1和2是對頂角,那么它們相等;(3)2+35;(4)如果一個整數(shù)的各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù),那么這個數(shù)能被3整除.教師找一名學生回答,然后集體訂正.師:在邏輯學中,凡是可以判斷出真(即正確)、假(即錯誤)的語句叫做命題.上面的(1)、(2)、(4)都是正確的命題,我們稱之為真命題;(3)是錯誤的命題,我們稱之為假命題.如果一個語句沒有對某一事件的正確與否作出任何判斷,那么它就不是命題,比如感嘆句、疑問句、祈使句等.教師多媒體出示:(1)請關上窗戶;(2)你明天騎車來上學嗎?(3)天真冷啊!(4)今天晚上不會下雨.(5)昨天我們?nèi)ヂ糜瘟?師:請同學們判斷一下哪些語句

5、是命題?學生討論后回答,然后集體訂正.師:每個命題都由題設、結(jié)論兩部分組成,題設是已知事項,結(jié)論是由已知事項推出的事項.命題常寫成“如果那么”的形式.有時我們?yōu)榱撕啽?省略關聯(lián)詞“如果”、“那么”,如命題“如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等”,可以寫成“對頂角相等”.以“如果那么”為關聯(lián)詞的命題的一般形式是“如果p,那么q”,或者說成“若p,則q”,其中p是這個命題的條件(或假設),q是這個命題的結(jié)論(或題斷).三、邊講邊練教師多媒體出示:【例1】指出下列命題的條件與結(jié)論:(1)兩條直線都平行于同一條直線,這兩條直線平行;(2)如果A=B,那么A的補角與B的補角相等.生甲:(1)中“兩條直線

6、平行于同一條直線”是條件,“兩條直線平行”是結(jié)論.生乙:“A=B”是條件,“A的補角與B的補角相等”是結(jié)論.四、層層推進,深入探究師:將命題“如果p,那么q”中的條件與結(jié)論互換,便得到一個新命題“如果q,那么p”,我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題,其中一個叫做原命題,另一個叫做原命題的逆命題.我們在前面學習了命題都可以判斷真假,當一個命題是真命題時,它的逆命題也是真命題嗎?學生交流討論后發(fā)表意見.師:我們可以看這樣一個例子,“如果1與2是對頂角,那么1=2”是真命題,它的逆命題是什么?生:它的逆命題是“如果1=2,那么1與2是對頂角”.師:它是真命題還是假命題呢?生:假命題.師:你是怎么判斷它

7、是假命題的呢?學生交流討論后回答.教師多媒體出示下圖.師:對.我們可以舉一個例子,比如角平分線分成的兩個角,1=2,但顯然,這里1與2就不是對頂角.像這種符合命題條件,但不滿足命題結(jié)論的例子,我們稱之為反例.若要說明一個命題是假命題,只要舉出一個反例即可.五、練習新知,加深討論師:請同學們看教材中本節(jié)例1后練習的第2題.教師找學生回答,然后集體訂正得到:(1)假命題.反例:|-1|=|1|,但-11.(2)假命題.反例:(-1)×(-1)>0,但-1是負數(shù).(3)真命題.(4)假命題.若兩條不平行的直線與第三條直線相交,同位角不相等.師:我們來看第3題.教師找學生回答,然后集體

8、訂正得到:(1)真命題,(2)真命題,(3)真命題.師:在數(shù)學命題的研究中,為了確認某些命題是真還是假,需要對命題的正確性進行論證,在論證過程中,必須追本求源,真理不需要再作論證,其正確性是人們在長期實踐中檢驗所得的真命題,作為判斷其他命題真假的依據(jù),這些作為原始根據(jù)的真命題稱為公理.同學們想一下,我們學過哪些公理?生甲:經(jīng)過兩點有一條直線,并且只有一條直線.生乙:兩點之間的所有連線中,線段最短.生丙:經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線平行于這條直線,師:對,這些都是公理.有些命題,它們的正確性已經(jīng)過推理得到證實,并被選定作為判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫做定理.誰能舉幾個例子?生甲:對

9、頂角相等.生乙:三角形的三個內(nèi)角和等于180°.生丙:等角的補角相等.師:對.推理的過程叫做證明.下面,我們來證明一個七年級時用過的定理“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”.教師多媒體出示:【例2】已知:如圖所示,直線c與直線a、b相交,且1=2.求證:ab.師:若已知“同位角相等,兩直線平行”這個定理,怎么證明“內(nèi)錯角相等,兩直線平行”這個結(jié)論?學生交流討論,教師巡視指導.學生口述,教師板書推理過程.證明:1=2,(已知)又1=3,(對頂角相等)2=3.(等量代換)ab.(同位角相等,兩直線平行)教師強調(diào):證明中的每一步推理都要有根據(jù),不能想當然.這些根據(jù),可以是已知條件,也可以是定義、公理

10、、已經(jīng)學過的定理.【例3】已知:如圖,AOB+BOC=180°,OE平分AOB,OF平分BOC.求證:OEOF.證明:OE平分AOB,OF平分BOC(已知)1=AOB,2=BOC.(角平分線的定義)又AOB+BOC=180°,(已知)1+2=(AOB+BOC)=90°.(等式性質(zhì))OEOF.(垂直的定義)六、課堂小結(jié)師:我們今天學習了什么內(nèi)容?學生回答,教師補充完善.教學反思在這節(jié)課上,通過舉反例判定一個命題是假命題,培養(yǎng)學生學會從反面思考問題的方法.通過強調(diào)正面的嚴密性,讓學生理解證明的必要性和推理過程要步步有據(jù).在教學方法上我主要采用“舉一”,讓學生獨立思考、

11、自由交流、集思廣益,從而達到“反三”的目的.盡可能地調(diào)動更多學生主動參與、交流、溝通,通過自身思維碰撞構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu),從而準確地判斷命題的真假,對于假命題舉出反例.對于命題的證明,要求學生能寫出證明的一般步驟并能做到步步有據(jù).第2課時命題與證明(二)教學目標【知識與技能】1.掌握三角形內(nèi)角和定理及其三個推論.2.熟悉并掌握較簡單命題的證明方法及其表述.3.探索并理解三角形的內(nèi)角和定理.4.會靈活地運用三角形內(nèi)角和定理的幾個推論解決實際問題.【過程與方法】1.經(jīng)歷探索并證明三角形內(nèi)角和定理的過程.2.讓學生在思考與探索的過程中了解三角形內(nèi)角和定理的幾個推論.【情感、態(tài)度和價值觀】1.通過三角形

12、內(nèi)角和定理的證明,讓學生體會到數(shù)學的嚴謹性和推理的用途.2.通過讓學生積極思考、踴躍發(fā)言,使他們養(yǎng)成良好的學習習慣.3.通過生動的教學活動,發(fā)展學生的合情推理能力和表達能力,提高學生學習和探索數(shù)學的興趣.重點難點【重點】三角形內(nèi)角和定理的證明,三角形內(nèi)角和定理及其推理.【難點】三角形內(nèi)角和定理的證明.教學過程一、創(chuàng)設情境,導入新知師:在前面我們學習了三角形的內(nèi)角和定理,你還記得它的內(nèi)容嗎?學生回答.師:我們用什么方法證明過這個命題?生:用折疊、剪拼和度量的方法.師:很好!在上節(jié)課我們學習了定理的概念,大家還記得嗎?生:記得.它們的正確性已經(jīng)過推理得到證實,并被選定作為判定其他命題真假的依據(jù),這

13、樣的真命題叫做定理.師:對.三角形的內(nèi)角和定理是一個定理,它能夠被證實,上節(jié)課我們還學習了簡單命題的證明,現(xiàn)在我們來證明這個定理.二、共同探究,獲取新知教師多媒體出示:【例1】證明三角形內(nèi)角和定理:三角形的三個內(nèi)角和等于180°.師:在證明命題時,要分清命題的條件和結(jié)論,如果問題與圖形有關,首先,根據(jù)條件畫出圖形,并在圖形上標出有關字母與符號;再結(jié)合圖形,寫出已知、求證.這個命題的條件和結(jié)論分別是什么?生:條件是一個三角形,結(jié)論是它的內(nèi)角和等于180°.師:這個命題與圖形有關嗎?生:有關.師:那我們要畫出什么圖形?生:一個三角形.教師在黑板上畫出一個三角形.師:題目中沒有已

14、知、求證,我們自己要寫出來.已知就是條件,求證的就是要證的結(jié)論.應該怎么寫?生:已知:ABC,如圖所示.求證:A+B+C=180°.教師板書.師:以前我們通過剪拼將三角形的三個內(nèi)角拼成了一個平角,這不是證明,但它卻給我們以啟發(fā),現(xiàn)在我們通過作圖來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化,給出證明.教師邊操作邊講解:在剪拼中我們可以把B剪下,放在這個位置,在證明中我們可以作出一個角與B相等,來代替這種操作.并且為了證明的需要,在原來圖形上添畫的線,這種線叫做輔助線.同學們看,應該怎樣添畫輔助線來幫助我們證明這個問題?生:延長BC到D,以點C為頂點、CD為一邊作2=B.教師作圖:師:對.如果再知道什么條件就能得到結(jié)

15、論了?學生討論后回答.生:因為1+2+ACB是一個平角,等于180°,如果A=1,那么就有A+B+C=1+2+ACB=180°,這樣就證出了結(jié)論.師:對.現(xiàn)在我們看怎樣證A=1?學生交流討論.教師提示:A和1是什么角?生:內(nèi)錯角.師:怎么證兩個內(nèi)錯角相等?生:兩直線平行,內(nèi)錯角相等.師:在題中要證哪兩條直線平行?怎么證它們平行?生:證明CEBA,因為2=B,由同位角相等,兩直線平行,就可以證出CEBA了.師:很好!我們現(xiàn)在來把這個推導過程具體寫一下.要注意,我們剛才是分析,可以由結(jié)論推條件,但在書寫過程中,要先寫條件,再寫結(jié)論,這個順序要理清.學生口述,教師板書.師:現(xiàn)在大

16、家想一想,如果一個三角形中一個角是90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,另外兩個角的和會是多少?生:90°.師:對.兩個角的和是90°,我們可以稱它們之間是什么關系?生:互余.師:對.由此我們得到三角形內(nèi)角和定理的第一個推論.教師板書:推論1直角三角形的兩銳角互余.三、邊講邊練師:三角形內(nèi)角和定理的證明有多種方法,課本練習中給出了另外兩種證法.大家能不能說出第一題的思路?生:過點A作DEBC后,由兩直線平行,內(nèi)錯角相等來建立兩個相等關系,再由平角的定義就可證出了.師:你們已經(jīng)理清了思路,現(xiàn)在請大家將書上的證明過程補充完整.學生完成練習第1題.師:第二個練習的思路大家清楚嗎

17、?學生交流討論后回答.生:過三角形一邊上一點作兩條平行線,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)使ABC的三個內(nèi)角與組成平角的三個角分別相等,再由平角的定義證明它們的和是180°.師:很好!請同學們把證明過程補充完整.學生補充練習第2題的證明,教師巡視指導,然后集體訂正.四、層層推進,深化理解教師多媒體出示:師:在三角形內(nèi)角和定理的證明中,我們曾經(jīng)如圖中所示那樣把ABC的一邊BC延長至點D,得到ACD,像這樣由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.在上圖中,ABC的外角,也就是ACD與它不相鄰的內(nèi)角A、B有怎樣的關系?你能給出證明嗎?學生小組交流討論后回答.生:ACD與ACB的和是1

18、80°,所以ACD=180°-ACB;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,A+B+C=180°,A+B=180°-C.由等式的性質(zhì),得到ACD=A+B.師:很好!除了這個相等關系,還能得到什么大小關系?生:ACD>A,ACD>B.師:很好!在證明中主要應用了三角形內(nèi)角和定理,我們把這兩個結(jié)論稱為這個定理的兩個推論.教師板書:推論2三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.推論3三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.師:像這樣,由公理、定理直接得出的真命題叫做推論.推論2可以用來計算角的大小,推論3可以用來比較兩個角的大小.【例2】已知:如圖所示,1、2、3是ABC的三個外角.求證:1+2+3=360°.師:這個問題實質(zhì)上是三角形外角和定理,即三角形三個外角的和是360°.請大家想一下,怎么證明這個命題?學生交流討論后回答,然后集體訂正.證明:1=ABC+ACB,2=BAC+ACB,3=BAC+ABC,(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)1+2+3=2(ABC+ACB+BAC).(等式性質(zhì))