2018版高中數(shù)學蘇教版必修四學案：2.2.1向量的加法

1、2.2.1 向量的加法【學習目標】1理解并掌握向量加法的概念， 了解向量加法的物理意義及其幾何意義 2 掌握向 量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運 算 3 了解向量加法的交換律和結(jié)合律， 并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性.問題導學知識點一向量加法的定義及其運算法則分析下列實例：（1）飛機從廣州飛往上海，再從上海飛往北京（如圖）,這兩次位移的結(jié)果與飛機從廣州直接飛往北京的位移是相同的.（2）有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1= 3 000 N , F2= 2 000 N，牽引繩之間的夾角為0=60如圖），如果只用一條拖輪來牽引

2、，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果.思考 1 從物理學的角度，上面實例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運算?思考 2 上述實例中位移的和運算、力的和運算分別用什么法則?平面向量2.2 向量的線性運算梳理（1）向量加法的定義的運算，叫做向量的加法.向量求和的法則已知向量 a, b,在平面上任取一點 0,作 0A= a, AB= b,則向量對于零向量與任一向量a 的和有 a+ 0 =向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實際上就是向量加法的幾何意義.知識點二 向量加法的運算律思考 1 實數(shù)加法有哪些運算律？思考 2 根據(jù)圖中的平行四邊形 ABCD，驗證向量加法是否滿足交換律.（注：AB= a, A

3、D =叫做a 與 b 的和，記作，即 a+ b= 0A+AB =這種求法則.以同一點 0 為起點的兩個已知向量a, b 為鄰邊作？OABC，則以 0 為起點的對角線就是 a 與 b 的和.把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法法則b）聯(lián)系：（1）當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的;（2）三角思考 3 根據(jù)圖中的四邊形 ABCD ,驗證向量加法是否滿足結(jié)合律.（注：AB = a, BC = b, CD=c)梳理向量加法的運算律交換律a+ b=結(jié)合律()+ c= a+ ()題型探究類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例 1 如圖 （2）,已知向量 a, b, c,

4、求作向量 a + b 和 a + b+ c.反思與感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系.區(qū)別：（1）三角形法則中強調(diào) “首尾相接”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”；三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.跟蹤訓練 1 如圖所示，0 為正六邊形 ABCDEF 的中心，化簡下列向量.類型二向量加法運算律的應用例 2 化簡：(1)BC + AB; (2)DB + CD +BC; (3)AB + DF + CD + BC + FA.反思與感悟(1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連結(jié)，再運

5、用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順 序后相加.(2)向量求和的多邊形法則：A1A2+ A2A3+ A3A4+ + An-1An= A1An.特別地，當 An和 A1重合- - - -時，A1A2+ A2A3+ A3A4+ + An-1Al= 0.跟蹤訓練 2 已知正方形 ABCD 的邊長等于 1，則|AB+AD+ BC + DC| =_類型三向量加法的實際應用 例 3 在靜水中船的速度為 20 m/min ,水流的速度為 10 m/ min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于 水流的航線到達對岸，求船行進的方向.引申探究1 .若本例中條件不變，則經(jīng)過 1 h,該船的實際航程是多少？2.若本例中其他條件不變， 改為

6、若船沿垂直水流的方向航行，求船實際行進的方向與岸方向 的夾角的正切值.(1)0A + 0C =；(2)BC+FE=;(3)0A + FE =則小船的實際航行速度的大小為km/h.反思與感悟向量既有大小又有方向的特性在實際生活中有很多應用，準確作出圖象是解題 關(guān)鍵.跟蹤訓練 3 如圖，用兩根繩子把重 10 N 的物體 W 吊在水平桿子 AB 上,/ BCW = 120求 A 和 B 處所受力的大小.（繩子的重量忽略不計）當堂訓練1._ 如圖，在正六邊形ABCDEF 中，BA + CD + EF =_2.如圖，D ,E, F 分別是 ABC 的邊 AB, BC, CA 的中點，則下列等式中錯誤的是

7、序號）1FD+ DA + DE = 0；2AD+ BE +CF= 0；3FD+DE+AD=AB；4AD+ EC +FD=BD.1, AB= a, BC = b, AC= c,則 |a + b+ c| =_ABCD中，AC=AB+AD，則四邊形一 -定是5.小船以 10 3 km/h 的靜水速度沿垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為ACW= 150_（填3 .已知正方形的邊長為4 .如圖所示，在四邊形10 km/h,廠規(guī)律與育法 -!1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的， 當兩個向量 首尾相連時常選用三角形法則，當兩個向量共起點時，常選用平行四邊形法則.2.向

8、量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意 的組合去進行.3.使用向量加法的三角形法則時要特別注意 “首尾相接”.和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點.向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0,而不應寫成 0.O,作 OA = a, AB = b, BC= c,貝 U OC= a + b+ c.答案精析問題導學知識點一思考 1 后面的一次位移叫做前面兩次位移的合位移，四邊形OABC 的對角線表示的力是OA與 OC 表示的力的合力，體現(xiàn)了向量的加法運算.思考 2 三角形法則和平行四邊形法則.梳理兩個向量和（2）OB a+ bOB三角形

9、 0+ a a OB 平行四邊形知識點二思考 1 交換律和結(jié)合律.思考 2 /AC=AB+ BC,.AC= a + b.AC=AD+DC,AC = b+ a.a + b= b+ a. 思考 3/ AD = AC + CD = (AB + BC)+ CD,AD = (a + b) + c,-又 AD = AB + BD = AB + (BC + CD), AD =a+ (b+ c),- (a+ b) + c= a + (b+ c).梳理 b+ a a+ b b+ c題型探究例 1 解（1）作法：在平面內(nèi)任意取一點O,作 OA = a, AB = b,貝 V OB= a+ b.在平面內(nèi)任意取一點O

10、 a A跟蹤訓練 1(1)0B(2)AD(3) 0 例 2 解 BC+ AB = AB+ BC= AC. (2)DB + CD + BC= BC + CD + DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0.AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+ CD+DF+ FA=AD+DF+ FA=AF+ FA=o.跟蹤訓練 222例 3 解 作出圖形，如圖所示.船速V船與岸的方向成a角，由圖可知 V水+ V船=V實際,結(jié)合已知條件，四邊形 ABCD 為平行四邊形,在 Rt ACD 中,|CD|= |AB|=|V水|= 10 m/min ,|AD|= |v船|= 20 m/min ,ICDI = 10=

11、 1=20= 2,AD|船是沿與水流的方向成 120的角的方向行進.引申探究1 .解由例 3 知 v船=20 m/min ,v實際=20 xsin 60=AC + CD + DF + FACOSa= a=60從而船與水流方向成120的角.1.CF 2 32.2 4平行四邊形5. 20=10 3(m/min),故該船 1 h 行駛的航程為 10 ,3X60 = 600 3(m) = (km).2 .解 如圖，作平行四邊形 ABDC，則 AD = v實際，設船實際航向與岸方向的夾角為a,則即船實際行進的方向與岸方向的夾角的正切值為2.跟蹤訓練 3 解 如圖所示，設 CE, CF 分別表示 A, B 所受的力，10 N 的