2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修四學(xué)案：2.2.1向量的加法

1、2.2.1 向量的加法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解并掌握向量加法的概念， 了解向量加法的物理意義及其幾何意義 2 掌握向 量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運(yùn)用這兩個(gè)法則作兩個(gè)向量的加法運(yùn) 算 3 了解向量加法的交換律和結(jié)合律， 并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運(yùn)算律的合理性.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一向量加法的定義及其運(yùn)算法則分析下列實(shí)例：（1）飛機(jī)從廣州飛往上海，再?gòu)纳虾ｏw往北京（如圖）,這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移是相同的.（2）有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1= 3 000 N , F2= 2 000 N，牽引繩之間的夾角為0=60如圖），如果只用一條拖輪來(lái)牽引

2、，也能產(chǎn)生跟原來(lái)相同的效果.思考 1 從物理學(xué)的角度，上面實(shí)例中位移、牽引力說(shuō)明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算?思考 2 上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別用什么法則?平面向量2.2 向量的線性運(yùn)算梳理（1）向量加法的定義的運(yùn)算，叫做向量的加法.向量求和的法則已知向量 a, b,在平面上任取一點(diǎn) 0,作 0A= a, AB= b,則向量對(duì)于零向量與任一向量a 的和有 a+ 0 =向量加法的三角形法則和平行四邊形法則實(shí)際上就是向量加法的幾何意義.知識(shí)點(diǎn)二 向量加法的運(yùn)算律思考 1 實(shí)數(shù)加法有哪些運(yùn)算律？思考 2 根據(jù)圖中的平行四邊形 ABCD，驗(yàn)證向量加法是否滿足交換律.（注：AB= a, A

3、D =叫做a 與 b 的和，記作，即 a+ b= 0A+AB =這種求法則.以同一點(diǎn) 0 為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a, b 為鄰邊作？OABC，則以 0 為起點(diǎn)的對(duì)角線就是 a 與 b 的和.把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法法則b）聯(lián)系：（1）當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的;（2）三角思考 3 根據(jù)圖中的四邊形 ABCD ,驗(yàn)證向量加法是否滿足結(jié)合律.（注：AB = a, BC = b, CD=c)梳理向量加法的運(yùn)算律交換律a+ b=結(jié)合律()+ c= a+ ()題型探究類型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則例 1 如圖 （2）,已知向量 a, b, c,

4、求作向量 a + b 和 a + b+ c.反思與感悟向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別和聯(lián)系.區(qū)別：（1）三角形法則中強(qiáng)調(diào) “首尾相接”，平行四邊形法則中強(qiáng)調(diào)的是“共起點(diǎn)”；三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量求和.形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半.跟蹤訓(xùn)練 1 如圖所示，0 為正六邊形 ABCDEF 的中心，化簡(jiǎn)下列向量.類型二向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用例 2 化簡(jiǎn)：(1)BC + AB; (2)DB + CD +BC; (3)AB + DF + CD + BC + FA.反思與感悟(1)根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連結(jié)，再運(yùn)

5、用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順 序后相加.(2)向量求和的多邊形法則：A1A2+ A2A3+ A3A4+ + An-1An= A1An.特別地，當(dāng) An和 A1重合- - - -時(shí)，A1A2+ A2A3+ A3A4+ + An-1Al= 0.跟蹤訓(xùn)練 2 已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)等于 1，則|AB+AD+ BC + DC| =_類型三向量加法的實(shí)際應(yīng)用 例 3 在靜水中船的速度為 20 m/min ,水流的速度為 10 m/ min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于 水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.引申探究1 .若本例中條件不變，則經(jīng)過(guò) 1 h,該船的實(shí)際航程是多少？2.若本例中其他條件不變， 改為

6、若船沿垂直水流的方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)的方向與岸方向 的夾角的正切值.(1)0A + 0C =；(2)BC+FE=;(3)0A + FE =則小船的實(shí)際航行速度的大小為km/h.反思與感悟向量既有大小又有方向的特性在實(shí)際生活中有很多應(yīng)用，準(zhǔn)確作出圖象是解題 關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，用兩根繩子把重 10 N 的物體 W 吊在水平桿子 AB 上,/ BCW = 120求 A 和 B 處所受力的大小.（繩子的重量忽略不計(jì)）當(dāng)堂訓(xùn)練1._ 如圖，在正六邊形ABCDEF 中，BA + CD + EF =_2.如圖，D ,E, F 分別是 ABC 的邊 AB, BC, CA 的中點(diǎn)，則下列等式中錯(cuò)誤的是

7、序號(hào)）1FD+ DA + DE = 0；2AD+ BE +CF= 0；3FD+DE+AD=AB；4AD+ EC +FD=BD.1, AB= a, BC = b, AC= c,則 |a + b+ c| =_ABCD中，AC=AB+AD，則四邊形一 -定是5.小船以 10 3 km/h 的靜水速度沿垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為ACW= 150_（填3 .已知正方形的邊長(zhǎng)為4 .如圖所示，在四邊形10 km/h,廠規(guī)律與育法 -!1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個(gè)法則是統(tǒng)一的， 當(dāng)兩個(gè)向量 首尾相連時(shí)常選用三角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則.2.向

8、量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意 的組合去進(jìn)行.3.使用向量加法的三角形法則時(shí)要特別注意 “首尾相接”.和向量的特征是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫(xiě)成0,而不應(yīng)寫(xiě)成 0.O,作 OA = a, AB = b, BC= c,貝 U OC= a + b+ c.答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考 1 后面的一次位移叫做前面兩次位移的合位移，四邊形OABC 的對(duì)角線表示的力是OA與 OC 表示的力的合力，體現(xiàn)了向量的加法運(yùn)算.思考 2 三角形法則和平行四邊形法則.梳理兩個(gè)向量和（2）OB a+ bOB三角形

9、 0+ a a OB 平行四邊形知識(shí)點(diǎn)二思考 1 交換律和結(jié)合律.思考 2 /AC=AB+ BC,.AC= a + b.AC=AD+DC,AC = b+ a.a + b= b+ a. 思考 3/ AD = AC + CD = (AB + BC)+ CD,AD = (a + b) + c,-又 AD = AB + BD = AB + (BC + CD), AD =a+ (b+ c),- (a+ b) + c= a + (b+ c).梳理 b+ a a+ b b+ c題型探究例 1 解（1）作法：在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O,作 OA = a, AB = b,貝 V OB= a+ b.在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O

10、 a A跟蹤訓(xùn)練 1(1)0B(2)AD(3) 0 例 2 解 BC+ AB = AB+ BC= AC. (2)DB + CD + BC= BC + CD + DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0.AB+DF+CD+BC+ FA=AB+BC+ CD+DF+ FA=AD+DF+ FA=AF+ FA=o.跟蹤訓(xùn)練 222例 3 解 作出圖形，如圖所示.船速V船與岸的方向成a角，由圖可知 V水+ V船=V實(shí)際,結(jié)合已知條件，四邊形 ABCD 為平行四邊形,在 Rt ACD 中,|CD|= |AB|=|V水|= 10 m/min ,|AD|= |v船|= 20 m/min ,ICDI = 10=

11、 1=20= 2,AD|船是沿與水流的方向成 120的角的方向行進(jìn).引申探究1 .解由例 3 知 v船=20 m/min ,v實(shí)際=20 xsin 60=AC + CD + DF + FACOSa= a=60從而船與水流方向成120的角.1.CF 2 32.2 4平行四邊形5. 20=10 3(m/min),故該船 1 h 行駛的航程為 10 ,3X60 = 600 3(m) = (km).2 .解 如圖，作平行四邊形 ABDC，則 AD = v實(shí)際，設(shè)船實(shí)際航向與岸方向的夾角為a,則即船實(shí)際行進(jìn)的方向與岸方向的夾角的正切值為2.跟蹤訓(xùn)練 3 解 如圖所示，設(shè) CE, CF 分別表示 A, B 所受的力，10 N 的