四川大學理論力學第十三章

1、第第1313章章 虛位移原理虛位移原理 虛位移原理是以分析的方法研究非自由質(zhì)點系的平衡問題，該原理不但能簡捷地處理非自由質(zhì)點系的靜力學問題，而且結合達朗貝原理還能建立普遍形式的動力學微分方程。 對質(zhì)點系運動的限制條件稱為約束約束(constraint),約束條件的數(shù)學表達式稱為約束方程約束方程或約束不等約束不等式式。球面擺約束方程:x2 + y2 + z2 = l2mlOxyz 單面約束與雙面約束單面約束與雙面約束 在約束方程中用嚴格的等號表示的約束稱為雙面約束雙面約束(bilateral constraint),含有不等號表示的約束稱為單面約束單面約束(ulilateral constrai

2、nt) 。例如在球面上運動的質(zhì)點,如果規(guī)定質(zhì)點不能離開球面,則約束是雙面的;否則,約束就是單面的。柔繩連接的單擺約束方程:x2 + y2 + z2 l2單面約束單面約束mlxyz約束方程:x2 + y2 + z2 l(t)2 定常約束與非定常約束定常約束與非定常約束 約束方程不顯含時間t的約束稱為定常約束定常約束或穩(wěn)定約束穩(wěn)定約束(scleronomic constraint); 反之, 如果約束方程顯含時間t, 則稱為非定常約束非定常約束或不穩(wěn)定約束不穩(wěn)定約束(rheonomic constraint) 。擺長可變的單擺mluxyz約束方程:(utx)2 + y2 = l2非定常約非定常約束

3、的例子束的例子R=at2約束方程:x2 + y2 + z2 a2t4mluxyOyxz 完整約束與非完整約束完整約束與非完整約束 只限制系統(tǒng)中各質(zhì)點的位置的約束稱為幾何約束幾何約束(geometrical constraint),其其約束方程是坐標和時間的約束方程是坐標和時間的有限方程。有限方程。OAByxrl 曲柄連桿機構曲柄連桿機構xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yByA)2 = l2OAByxl2l1約束方程:xA2 + yA2 = l12(xBxA )2 +(yByA)2 = l22雙數(shù)學擺雙數(shù)學擺 與幾何約束相對應的是運動約束運動約束(constraint o

4、f motion), 即限制質(zhì)點運動速度的約束,其約束方程其約束方程是含有坐標和時間以及坐標對時間的導數(shù)的微分是含有坐標和時間以及坐標對時間的導數(shù)的微分方程。方程。 沿水平直線純沿水平直線純滾的圓盤滾的圓盤 上述約束為運動約束,但其約束方程可積分為有限形式,從而轉化為幾何約束。幾何約束和可積分的運動約束稱為完整約束完整約束(holonomic constraint)。這里可積分的意思是不依賴于運動方程而單獨積分成有限形式。不可積分的運動約束稱為非完整約束非完整約束(nonholonomic constraint) 。AvAxddddAxrtt A(x1, y1)B (x2, y2)yOM (x

5、, y)xv 兩質(zhì)點用長為l的剛性輕桿連接,在水平面上運動,桿中點M的速度只能沿桿向。(x1x2 )2 +(y1y2)2 = l2幾何約束方程為:桿的中點坐標為:x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2由題意 y/ x = (y1y2)/(x1x2 )(y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1y2)/(x1x2 )故非完整約束方程為 適當選取的唯一確定質(zhì)點系位置的一組獨立變適當選取的唯一確定質(zhì)點系位置的一組獨立變量稱為廣義坐標量稱為廣義坐標(generalized coordinate)。對于完整系統(tǒng)(僅受完整

6、約束的系統(tǒng)),其廣義坐標數(shù)即為系統(tǒng)的自由度自由度(degree of freedom)。 小球在三維空間的運動,自由度為3, 廣義坐標可選直角坐標x,y,z。 當它被限制在平面z=b上運動時, 自由度為2, 廣義坐標可選直角坐標x,y;或極坐標r,。xyzz=br(x,y)xA2 + yA2 = r2 xB = 0 xA2 +(yByA)2 = l2 確定質(zhì)點系位置所需的獨立變量數(shù)為1, 即系統(tǒng)的自由度為1, 可在 xA、yA和 yB 中任選一個作為廣義坐標, 但是選取角有時會更方便。曲柄連桿機構曲柄連桿機構OAByxrlxA2 + yA2 = l12(xBxA )2 +(yByA)2 = l

7、2212系統(tǒng)的自由度為2, 可在xA、yA 、xB 和 yB 中任選2個能唯一確定系統(tǒng)位形的變量作為廣義坐標, 當然也可以選取1和2 。 廣義坐標不一定是直角坐標廣義坐標不一定是直角坐標,也可以是球坐標、也可以是球坐標、柱坐標、角度、距離、面積等等柱坐標、角度、距離、面積等等,只要它是一組能只要它是一組能唯一確定系統(tǒng)位形的獨立變量就行。唯一確定系統(tǒng)位形的獨立變量就行。雙數(shù)學擺雙數(shù)學擺OAByxl2l1 可能位移可能位移(possible displacement) 是指約束所允許的系統(tǒng)的任何一組無限小位移。 本節(jié)將引入可能位移、實位移和虛位移的概念,研究它們之間的關系,以及它們要滿足的條件。

8、drdrOABdrAdrBdrBdrA 實位移實位移 在無限小時間間隔dt內(nèi),系統(tǒng)的真實運動所產(chǎn)生的位移稱為實位移實位移(actual displacement)。 所謂真實運動,是指既滿足約束方程又滿足運動微分方程和初始條件的系統(tǒng)運動。因此,在任意時刻,系統(tǒng)的實位移是唯一的,并且是可能位移之一。但反過來,任意一組可能位移則不一定是實位移。 虛位移虛位移 在定常約束的情況下, 可能位移就是虛位移虛位移(virtual displacement)。在非定常約束的情況下,虛位移是約束被凍結凍結后的可能位移。定常約束定常約束rr約束方程: zut = 0非定常約束非定常約束 dz = udt 可能位

9、移dr在z方向的投影等于udt。z=ut=0 虛位移r在z方向的投影等于零。 等時變分運算與微分運算相同等時變分運算與微分運算相同,但但t0。xyztt+dtudrrdr可能位移和虛位移是純碎的幾何概念,它們不涉及系統(tǒng)的實際運動,與運動方程和初始條件無關。實位移是系統(tǒng)真實運動產(chǎn)生的位移,是可能位移中的一個。一般說,系統(tǒng)的可能位移和虛位移都不是唯一的,在不破壞約束的前提下, 具有一定的任意性; 但實位移卻是唯一的。在定常約束的情況下,虛位移與可能位移相一致,實位移是虛位移中的一個。在非定常約束的情況下,虛位移是約束被凝固后的可能位移,實位移是可能位移中的一個,但不是虛位移中的一個。注意注意:一、

10、一、 虛位移的計算虛位移的計算 本節(jié)討論如何確定非自由質(zhì)點系的虛位移之間的關系,僅研究定常的完整系統(tǒng)定常的完整系統(tǒng), 常用的方法有幾何法和解析法。 幾何法幾何法 在定常約束的情況下,實位移是虛位移中的一個, 而質(zhì)點的實位移是與其速度成正比的, 故可用求速度的幾何法來分析各質(zhì)點的虛位移之間的關系, 這就是幾何法的主要思路。 解析法解析法 解析法是將各質(zhì)點的坐標表示為廣義坐標的函數(shù),然后再求變分,得到用廣義坐標的獨立變分表示的虛位移。例例1 圖示曲柄連桿機構,已知和 ,OA=AD,試確定A、B和D的虛位移之間的關系。解解: 系統(tǒng)的自由度為1,獨立的虛位移只有一個。A、B和D的虛位移如圖示。根據(jù)相應

11、的速度關系可得OABD+rArBrDADrr2)sin(cosABrrcos/ )sin(ABrrADrr2例例2 圖示雙數(shù)學擺,已知l1和l2, 試確定A 和B 的虛位移之間的關系。解解: 系統(tǒng)的自由度為2 , 取1和2為廣義坐標,如圖所示有12OAByxl2l111coslxA11sinlyA2211coscosllxB2211sinsinllyB11coslxA11sinlyA2211coscosllxB2211sinsinllyB12OAByxl2l1111sin lxA111coslyA222111sinsinllxB222111coscosllyB二、二、 虛位移原理虛位移原理 具

12、有定常、理想約束的完整系統(tǒng)平衡的充具有定常、理想約束的完整系統(tǒng)平衡的充分必要條件是分必要條件是 : 作用于質(zhì)點系的所有主動力作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移上的元功總和為零。在任何虛位移上的元功總和為零。 上述結論稱為虛位移原理虛位移原理(principle of virtual displacement),其表達式為 虛位移原理是分析靜力學的基本原理,因為力在虛位移上的功稱為虛功,故虛位移原理也稱為虛功原理虛功原理(principle of virtual work)。 虛位移原理虛位移原理0iii Fr關于虛功原理與剛體靜力學平衡條件的兩點說明:虛功原理常常被認為是更普遍的原理;(1)

13、虛功原理的基本思想是一種變分原理的思想。 理想約束理想約束 如果質(zhì)點系所受的約束力在任意虛位移上的元功總和為零,則該約束稱為理想約束理想約束(ideal constraint)。 這是理想約束的一般定義,顯然,在定常約束的情況下,它與原有的定義沒有區(qū)別。但在非定常約束的情況下,它們是不同的。 虛位移原理虛位移原理(二二)三、三、 虛位移原理的應用虛位移原理的應用 虛位移原理特別適合于解以下幾類靜力學問題:在機構的平衡問題中求主動力之間的關系在機構的平衡問題中求主動力之間的關系; 求系求系統(tǒng)的平衡位置統(tǒng)的平衡位置; 求系統(tǒng)平衡時的個別約束力。求系統(tǒng)平衡時的個別約束力。 求平衡系統(tǒng)的約束力時,首先

14、要解除與之對應的約束, 代之以約束力, 并將該約束力當作主動力看待。此外, 非理想約束的約束力非理想約束的約束力(例如摩擦力例如摩擦力)必須必須全部視為主動力全部視為主動力, 并計入其虛功。并計入其虛功。0iii FrOABDMF1F2例例1 圖示曲柄連桿機構, 已知F1 、 F2 、和 , OA=AD=R, 試求平衡力矩M。解解: A、B和D的虛位移如圖示。由虛功原理可得F1 rD sin + F2 rB M = 0因為rD = 2rArB = rA sin( + )/ cos = rA /ROABDMF1F22120sin()(sin)cosAFMFrR 212sin()sincosRFM

15、RF rArB +rD3060ABECDlF2F1例例2 小球D和E重F1和F2 ,可分別沿固定的光滑金屬絲AC和BC滑動, 二球用一根不可伸長的繩連接,如圖所示,試求平衡時的 角。提示提示: 此題是應用虛功原理求系統(tǒng)的平衡位置,考慮如何將二主動力的虛功表示為某個獨立變分(例如 )的函數(shù)。解解: 取y軸鉛直向上,由虛功原理有y F1yD F2yE = 0因為yD = AD sin 30 而AD = AC l cos yD = (AC l cos )/2 同理可得3060ABECDlF2F132cosEyl 32(sin)EyBCl 12sinDyl F1 yD F2 yE = 012sinDy

16、l 32cosEyl 1213022(sincos)FlF l 213arctanFF 3060ABECDlF2F1解解: D、E的虛位移如圖示。由虛功原理可得rDrE030cos30sino2o1EDrFrFEDrFrF213因sincosEDrr所以EErFrF213tan123tanFF點評點評:(1) 對于理想約束系統(tǒng),在機構的平衡問題中求主動力之間的關系及求系統(tǒng)的平衡位置時, 應用虛功原理, 由于僅涉及主動力, 因而計算比較簡潔。(2)應用虛功原理的關鍵是將虛功方程左邊將虛功方程左邊表示成獨立虛位移上的虛功總和表示成獨立虛位移上的虛功總和,為此必須首先確定各個虛位移之間的關系, 常用

17、的方法有幾何法和解析法。ACBDF例例3 圖示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。試求:(1)支座B 的約束反力;(2)DB 桿的內(nèi)力。提示提示: 求平衡系統(tǒng)的約束力時,首先要解除與之對應的約束,代之以約束力,并將該約束力當作主動力看待。 解解: (1) 鉸B解除約束,代之以約束反力FB, B和D的虛位移如圖示。由虛功原理可得F rD FB rB = 0而 rB=2rD (F 2FB )rD = 0FB = F/2ACBDFFBrDrB (2) 解除桿DB, 代之以內(nèi)力FDB及FDB如圖示, 并畫出相關的虛位移, 由虛功原理可得F rD FDB rB = 0因為rB cos =

18、rC sin 2 又25BCrr 25DCrr CDrrADAC ACBDFFDBFDBrDrBrCF rD FDB rB = 0FDB = F rB = rD ACBDFrDrBrCFDBFDB點評點評: 求平衡系統(tǒng)的某個約束力時, 只需要解除與之對應的約束, 代之以相應的約束力,并給予虛位移, 但必須保證不破壞結構和其它約束條件。ABGCDO例例4 圖示均質(zhì)桿AB重G ,長2l,兩端均為光滑接觸。如要AB桿在任何位置均能保持平衡,試求曲線OD的形狀。提示提示: OD曲線的形狀應使其上A點的坐標在任意位置都滿足虛功方程。yx解解: 引入坐標系如圖示,由虛功原理有G yC = 0yC = 0因為yC = (yA + yB)/2yC = (yA + yB)/2yA + yB = 0積分上式得yA + yB = C1ABGCDOyxyA + yB = 2l再由幾何關系yA + yB = C1當yA=0時, yB =2l, 故C1=2l, 因此ABGCDOyx2224()BAAyyxl 222214()AAxlyll 例例5 圖示機構,已知FP及, 滑塊E處的靜摩擦系數(shù)為f, AK=EK=a, CD=DK=KB=BC=b。試求機構平衡時的力FQ的取值范圍。ABECKDFPFQxyFNF解解: 用虛功原理求解時, 摩擦力應作為主動力,故必須先求出。MA=0FN=FP/2在臨界狀態(tài)有F