柯莫哥洛夫檢驗(yàn)

1、柯莫哥洛夫與斯米爾諾夫檢驗(yàn)一、柯莫哥洛夫檢驗(yàn)設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為，是 x 的連續(xù)函數(shù)。是來自 X 的樣本。設(shè)要檢驗(yàn)的原假設(shè)是：這里要保證是一個(gè)已知的特定的連續(xù)分布函數(shù)，且不含任何未知參數(shù)。要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)首先要構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，這里構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的思路是從樣本經(jīng)驗(yàn)分布入手。定義樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，這里的表示為：其中的為如下的示性函數(shù)：這里要指出，時(shí)相互獨(dú)立同分布與的隨機(jī)變量。證明如下：于是有服從退化分布。又由于，所以，是的無偏估計(jì)。再由，Bernoulli大數(shù)定律于是，是的相合估計(jì).在由中心極限定理可以知道：對(duì)于固定的X，在n較大的時(shí)候有漸進(jìn)正態(tài)分布進(jìn)一步有：通過以上的推導(dǎo)，我們似乎找到了一個(gè)

2、合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,它的分布是已知的，如果越大則越傾向于拒絕原假設(shè)。但是這里的分布的收斂性是對(duì)逐點(diǎn)收斂的，而不是一致收斂，因此并不適合用于構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。我們還需進(jìn)一步的處理樣本。在這里需要介紹格里文科定理：對(duì)于任給的自然數(shù)n，設(shè)是取自總體分布函數(shù)一組樣布觀察指標(biāo)，為其經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，記則有：這里的幾乎處處以概率1趨于0，但是我們還需要進(jìn)一步的探討其精確或者漸進(jìn)分布。我們可以獲得如下定理：TH1:設(shè)是連續(xù)的分布函數(shù)， y為任意實(shí)數(shù),在原假設(shè)為真時(shí):這里的定理獲得的分布是精確的分布，并且不要求的具體形式，只要求是連續(xù)分布函數(shù)，因此該定理的分布函數(shù)與的形式無關(guān)，至于樣本量有關(guān)。顯然，最大距離越大，越傾

3、向于拒絕原假設(shè)，故檢驗(yàn)的拒絕域應(yīng)有形式。對(duì)于給定的顯著性水平（0<<1），有定理給出的精確分布定出分布的上側(cè)分位數(shù)，使得：。其中，但是，當(dāng)n>100時(shí)，利用上面的定理計(jì)算的分位數(shù)已非常繁瑣，這時(shí)可以用柯爾莫哥洛夫?qū)o出的漸進(jìn)分布計(jì)算拒絕域。TH2：設(shè)理論分布是連續(xù)分布函數(shù)，且不含任何未知參數(shù)，則在原假設(shè)為真且n趨于無窮時(shí)：（*）該定理給出了最大距離的漸進(jìn)分布。由于對(duì)原假設(shè)做出做檢驗(yàn)時(shí)的拒絕域任為，故對(duì)給定的顯著性水平（0<<1），可用定理給出的上側(cè)分位數(shù)，使：或其中，二、斯米爾諾夫檢驗(yàn)斯米爾諾夫檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)兩個(gè)總體的真分布是否相同.其檢驗(yàn)的思想方法與柯莫哥洛夫檢驗(yàn)類似。設(shè)是來自具有連續(xù)分布函數(shù)的總體X中的樣本，設(shè)是來自具有連續(xù)分布函數(shù)的總體 Y 中的樣本，且假定兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。欲檢驗(yàn)假設(shè)：:vs :構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：其中和分別是這兩個(gè)樣本所對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。當(dāng)不真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量有偏大的趨勢(shì)?？梢垣@得如下定理：TH1：如果，且為連續(xù)函數(shù)，則有:其中x為任意實(shí)數(shù), .TH2：如果定理TH1所述條件成立，則有其中K(x)由式(*)定義由定理1可見，統(tǒng)計(jì)量的精確分布不依賴于總體的真分布函數(shù)，以上兩個(gè)定理提供了比較兩個(gè)總體的分布函數(shù)的方法。對(duì)于給