高考數(shù)學理第一輪復習學案——平面向量的數(shù)量積與平面向量應用

1、平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例知識能否憶起一、兩個向量的夾角1定義已知兩個非零向量a和b，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角2范圍向量夾角的范圍是0°180°，a與b同向時，夾角0°；a與b反向時，夾角180°.3向量垂直如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作ab.二、平面向量數(shù)量積1已知兩個非零向量a與b，則數(shù)量|a|b|·cos 叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cos ，其中是a與b的夾角規(guī)定0·a0.當ab時，90°，這時a·b0.2a

2、3;b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積三、向量數(shù)量積的性質1如果e是單位向量，則a·ee·a.2aba·b0.3a·a|a|2，|a|.4cos .(為a與b的夾角)5|a·b|a|b|.四、數(shù)量積的運算律1交換律：a·bb·a.2分配律：(ab)·ca·cb·c.3對R，(a·b)(a)·ba·(b)五、數(shù)量積的坐標運算設a(a1，a2)，b(b1，b2)，則：1a·ba1b1a2b2.2ab

3、a1b1a2b20.3|a|.4cos .(為a與b的夾角)小題能否全取1已知向量a，b和實數(shù)，下列選項中錯誤的是()A|a|B|a·b|a|·|b|C(a·b)a·bD|a·b|a|·|b|解析：選B|a·b|a|·|b|cos |，只有a與b共線時，才有|a·b|a|b|，可知B是錯誤的2已知|a|4，|b|3，a與b的夾角為120°，則b在a方向上的投影為()A2 B.C2 D解析：選D|b|cos 3cos 120°.3(2012·重慶高考)設xR，向量a(x,1)，

4、b(1，2)，且ab，則|ab|()A. B.C2 D10解析：選Bab，a·b0，即x20，x2.a(2,1)，a25，b25，|ab|.4已知向量a和向量b的夾角為30°，|a|2，|b|，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b_.解析：a·b2××3.答案：35已知|a|1，|b|6，a·(ba)2，則向量a與b的夾角_.解析：a·(ba)a·ba22，a·b2a23.cos .向量a與b的夾角為.答案：1.對兩向量夾角的理解(1)兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的

5、角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角(2)兩向量夾角的范圍為0，特別當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為.(3)在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的范圍2向量運算與數(shù)量運算的區(qū)別(1)若a，bR，且a·b0，則有a0或b0，但a·b0卻不能得出a0或b0.(2)若a，b，cR，且a0，則由abac可得bc，但由a·ba·c及a0卻不能推出bc.(3)若a，b，cR，則a(bc)(ab)c(結合律)成立，但對于向量a，b，c，而(a·b)·c與a·(b·c)一

6、般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結合律的(4)若a，bR，則|a·b|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|a|b|，等號當且僅當ab時成立平面向量數(shù)量積的運算典題導入例1(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)滿足條件(8ab)·c30，則x()A6B5C4 D3 (2) (2012·浙江高考)在ABC中，M是BC的中點，AM3，BC10，則·_.自主解答(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)·c(6,3)·(3，x)30.即183x30，解得x4. (2)如圖所示，M

7、C，·()·()22|2|292516.答案(1)C(2)16由題悟法平面向量數(shù)量積問題的類型及求法(1)已知向量a，b的模及夾角，利用公式a·b|a|b|·cos 求解；(2)已知向量a，b的坐標，利用數(shù)量積的坐標形式求解以題試法1(1)(2012·天津高考)在ABC中，A90°，AB1，AC2.設點P，Q滿足，(1) ，R.若·2，則()A.B.C.D2解析：選B由題意可知(1)，且·0，故·(1)222.又|1，|2，代入上式解得.(2)(2011·江西高考)已知兩個單位向量e1，e2的夾

8、角為，若向量b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2_.解析：b1e12e2，b23e14e2，則b1·b2(e12e2)·(3e14e2)3e2e1·e28e.又因為e1，e2為單位向量，夾角為，所以b1·b232×83186.答案：6兩平面向量的夾角與垂直典題導入例2(1)(2012·福州質檢)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為120°，abc0，則a與c的夾角為()A150°B90°C60° D30°(2)(2011·新課標全國卷)已知a與b為兩個不

9、共線的單位向量，k為實數(shù)，若向量ab與向量kab垂直，則k_.自主解答(1)a·b1×2×cos 120°1，cab，a·ca·(ab)a·aa·b110，ac.a與c的夾角為90°.(2)a與b是不共線的單位向量，|a|b|1.又kab與ab垂直，(ab)·(kab)0，即ka2ka·ba·bb20.k1ka·ba·b0.即k1kcos cos 0(為a與b的夾角)(k1)(1cos )0.又a與b不共線，cos 1.k1.答案(1)B(2)1若本例(1

10、)條件變?yōu)榉橇阆蛄縜，b，c滿足|a|b|c|，abc，試求a與b的夾角解：設|a|m(m>0)，a，b的夾角為，由題設知(ab)2c2，即2m22m2cos m2，得cos .又0°180°，所以120°，即a，b的夾角為120°.由題悟法1求兩非零向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結合律；(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角2當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關系以題試法2(1)設

11、向量a(x1,1)，b(x1,3)，則a(ab)的一個充分不必要條件是()Ax0或2 Bx2Cx1 Dx±2(2)已知向量a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，向量d如圖所示，則()A存在>0，使得向量c與向量d垂直B存在>0，使得向量c與向量d夾角為60°C存在<0，使得向量c與向量d夾角為30°D存在>0，使得向量c與向量d共線解析：(1)選Ba(x1,1)，ab(x1,1)(x1,3)(2x2，2)，故a(ab)2(x1)220x0或2，故x2是a(ab)的一個充分不必要條件(2)選D由圖可知d4a3b4，故D正確；對于A，由圖知

12、若向量c與向量d垂直，則有<0；對于B，若>0，則由圖觀察得向量c與向量d夾角小于60°；對于C，若<0，則向量c與向量d夾角大于30°.平面向量的模典題導入例3設向量a，b滿足|a|1，|ab|，a·(ab)0，則|2ab|()A2B2C4 D4自主解答由a·(ab)0，可得a·ba21，由|ab|，可得(ab)23，即a22a·bb23，解得b24.故(2ab)24a24a·bb212，故|2ab|2.答案B由題悟法利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：(1)|a|2a2a&

13、#183;a；(2)|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2；(3)若a(x，y)則|a|.以題試法3(2012·聊城質檢)已知向量a(sin x,1)，b.(1)當ab時，求|ab|的值；(2)求函數(shù)f(x)a·(ba)的最小正周期解：(1)由已知得a·b0，|ab| .(2)f(x)a·ba2sin xcos xsin2x1sin 2xsin2，函數(shù)f(x)的最小正周期為.平面向量數(shù)量積的綜合應用典題導入例4(2012·太原模擬)已知f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b

14、(cos x,1)(xR)(1)求f(x)的周期和單調遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f(A)1，a，·3，求邊長b和c的值(b>c)自主解答(1)由題意知，f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，f(x)的最小正周期T，ycos x在2k，2k(kZ)上單調遞減，令2k2x2k，得kxk.f(x)的單調遞減區(qū)間，kZ.(2)f(A)12cos1，cos1.又<2A<，2A.A.·3，即bc6，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc,7(bc)218，bc5，又b>c，b

15、3，c2.由題悟法向量與其它知識結合，題目新穎而精巧，既符合考查知識的“交匯處”的命題要求，又加強了對雙基覆蓋面的考查，特別是通過向量坐標表示的運算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時，把問題轉化為新的函數(shù)、三角或幾何問題以題試法4(1)(2012·朔州調研)質點受到平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為()A2B2C2 D6(2)若M為ABC所在平面內一點，且滿足()·(2)0，則ABC為()A直角三角形 B等腰三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形解析：(

16、1)選A由已知條件F1F2F30，則F3F1F2，F(xiàn)FF2|F1|F2|cos 60°28.因此，|F3|2.(2)選B由()·(2)0，可知·()0，設BC的中點為D，則2，故·0.所以.又D為BC的中點，故ABC為等腰三角形1(2012·豫東、豫北十校階段性測試)若向量a(x1,2)和向量b(1，1)平行，則|ab|()A.B.C.D.解析：選C依題意得，(x1)2×10，得x3，故ab(2,2)(1，1)(1,1)，所以|ab|.2(2012·山西省考前適應性訓練)已知向量a(2,3)，b(4,7)，則a在b方向上的投

17、影為()A.B.C.D.解析：選D依題意得，向量a在b方向上的投影為.3已知A，B，C為平面上不共線的三點，若向量(1,1)，n(1，1)，且n·2，則n·等于()A2 B2C0 D2或2解析：選Bn·n·()n·n·(1，1)·(1，1)2022.4(2012·湖南高考)在ABC中，AB2，AC3，·1，則BC()A.B.C2D.解析：選A·1，且AB2，1|cos(B)，|cos B.在ABC中，AC2AB2BC22AB·BCcos B，即94BC22×2×.B

18、C.5已知非零向量a，b滿足|ab|ab|a|，則ab與ab的夾角為()A30° B60°C120° D150°解析：選B將|ab|ab|兩邊同時平方得a·b0；將|ab|a|兩邊同時平方得b2a2，所以cos .6如圖，在ABC中，ADAB，|1，則·()A2B3C.D.解析：選D建系如圖設B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)，(xCxB，yC)，(xB,1)，xCxBxBxC(1)·xB，yC，(1)xB，)，(0,1)，·.7(2013·“江南十校”聯(lián)考)若|a|2，|b|4，且(ab)a

19、，則a與b的夾角是_解析：設向量a，b的夾角為.由(ab)a得(ab)·a0，即|a|2a·b0，|a|2，a·b4，|a|·|b|·cos 4，又|b|4，cos ，即.向量a，b的夾角為.答案：8(2012·新課標全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|1，|2ab|，則|b|_.解析：a，b的夾角為45°，|a|1，a·b|a|·|b|·cos 45°|b|，|2ab|244×|b|b|210.|b|3.答案：39(2012·大連模擬)已知向量a

20、(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，則向量的模為_解析：ab，x4.b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)·(bc)0，即63(2y)0，解得y4.向量(8,8)，|8.答案：810已知a(1,2)，b(2，n)，a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與ca垂直，求c.解：(1)a·b2n2，|a|，|b|，cos 45°，3n216n120(n>1)n6或n(舍)b(2,6)(2)由(1)知，a·b10，|a|25.又c與b同

21、向，故可設cb(>0)(ca)·a0，b·a|a|20.cb(1,3)11已知|a|4，|b|8，a與b的夾角是120°.(1)計算：|ab|，|4a2b|；(2)當k為何值時，(a2b)(kab)?解：由已知得，a·b4×8×16.(1)|ab|2a22a·bb2162×(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216a·b4b216×1616×(16)4×64768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)·(kab)0，ka2(2

22、k1)a·b2b20，即16k16(2k1)2×640.k7.即k7時，a2b與kab垂直12設在平面上有兩個向量a(cos ，sin )(0°<360°)，b.(1)求證：向量ab與ab垂直；(2)當向量ab與ab的模相等時，求的大小解：(1)證明：因為(ab)·(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，所以ab與ab垂直(2)由|ab|ab|，兩邊平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0.而|a|b|，所以a·b0，則×co

23、s ×sin 0，即cos(60°)0，所以60°k·180°90°，即k·180°30°，kZ.又0°360°，則30°或210°.1已知兩個非零向量a，b滿足|ab|ab|，則下面結論正確的是()Aab BabC|a|b| Dabab解析：選B因為|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，即a·b0，故ab.2(2012·山東實驗中學四診)ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若2，且|，則向量在向量方向上的射影為()A.B.C3 D解析：選A由已知條件可以知道，ABC的外接圓的圓心在線段BC的中點O處，因此ABC是直角三角形，且A.又|，所以C，B，AB，AC1，故在上的射影|cos.3已知(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x與y之間的關系式；(2)在(1)條件下，若，求x，y的值及四邊形ABCD的面積解：(1)(x4，y2)，(x4,2y)又且(x，