高考數(shù)學(xué)立體幾何部分知識點歸納

1、立體幾何直線、平面、簡單幾何體三個公理、三個推論平面平行直線異面直線相交直線公理4及等角定理異面直線所成的角異面直線間的距離直線在平面內(nèi)直線與平面平行直線與平面相交空間兩條直線概念、判定與性質(zhì)三垂線定理垂直斜交直線與平面所成的角空間直線與平面空間兩個平面棱柱棱錐球兩個平面平行兩個平面相交距離兩個平面平行的判定與性質(zhì)兩個平面垂直的判定與性質(zhì)二面角定義及有關(guān)概念性質(zhì)綜合應(yīng)用多面體面積公式體積公式正多面體一、平面的基本性質(zhì)：公理1 如果一條直線上的 兩點 在同一個平面內(nèi)，那么這條直線上的 所有點 都在這個平面內(nèi) (證明直線在平面內(nèi)的依據(jù))公理2 如果兩個平面有 一 個公共點，那么它們還有其他公共點，

2、這些公共點的集合是 一條直線 (證明多點共線的依據(jù))公理3 經(jīng)過不在 一條直線上 的三點，有且只有一個平面(確定平面的依據(jù))推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點有且只有一個平面推論2 經(jīng)過兩條 相交 直線，有且只有一個平面推論3 經(jīng)過兩條 平行 直線，有且只有一個平面【小結(jié)歸納】1證明若干點共線問題，只需證明這些點同在兩個相交平面 2證明點、線共面問題有兩種基本方法：先假定部分點、線確定一個平面，再證余下的點、線在此平面內(nèi)；分別用部分點、線確定兩個(或多個)平面，再證這些平面重合 3證明多線共點，只需證明其中兩線相交，再證其余的直線也過交點二、空間直線：1空間兩條直線的位置關(guān)系為 平行 、

3、相交 、 異面 2相交直線 有且僅有 一個公共點，平行直線 無 沒有公共點，異面直線：不同在任 一個 平面，沒有公共點3公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相 平行 4等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩角 相等 5異面直線的判定定理：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi) 不過這點 的直線是異面直線(作用：判定兩條直線是異面直線)6異面直線的距離：和兩條異面直線 都垂直相交 的直線稱為異面直線的公垂線兩條異面直線的公垂線在的長度，叫兩異面直線的距離【小結(jié)歸納】1求兩條異面直線所成角的步驟：(1)找出或作出有關(guān)角的圖形；(2)證明它符合定義；(3)求角 2證

4、明兩條直線異面的常用方法：反證法、定義法(排除相交或平行)、定理法 3求異面直線間距離的方法：作出公垂線段，向量法三、直線和平面平行：1直線和平面的位置關(guān)系 平行 、 包含 、 相交 直線在平面內(nèi)，有 無數(shù)個 公共點直線和平面相交，有 一個 公共點直線和平面平行，沒有公共點直線與平面平行、直線與平面相交稱為直線在平面外2直線和平面平行的判定定理如果平面外 一條直線 和這個平面內(nèi) 一條直線 平行，那么這條直線和這個平面平行(記憶口訣：線線平行線面平行)3直線和平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面 平行 ，且經(jīng)過 這條直線的另一個 平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行(記憶口訣：線面平行

5、線線平行)【小結(jié)歸納】1證明直線和平面平行的方法有：(1)依定義采用反證法；(2)判定定理；(3)面面平行性質(zhì)；(4)向量法 2輔助線(面)是解、證有關(guān)線面問題的關(guān)鍵，要充分發(fā)揮在化空間問題為平面問題的轉(zhuǎn)化作用四、直線和平面垂直：1直線和平面垂直的定義：如果一條直線和一個平面的 所有 直線垂直，那么這條直線和這個平面互相垂直2直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的 兩條相交 直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面3直線和平面垂直性質(zhì)：若a，b則 ；若a，b則 ；若a，a則過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條4點到平面距離過一點作平面的垂線 的線段長度 叫做點到平面的距離5直線到

6、平面的距離一條直線與一個平面平行時，這條直線上到這個平面的距離叫做直線到平面距離【小結(jié)歸納】線面垂直的判定方法：(1) 線面垂直的定義；(2)判定定理；(3) 面面垂直的性質(zhì)；(4) 面面平行的性質(zhì)：若，a則a 。五、三垂線定理：1和一個平面相交，但不和這個平面 垂直 的直線叫做平面的斜線，斜線和平面的交點叫做 交點 2射影(1) 平面外一點向平面引垂線的叫做點在平面內(nèi)的射影；(2) 過垂足和斜足的直線叫斜線在平面內(nèi)的斜線上任意一點在平面上的射影一定在垂線在平面上的射影只是直線和平面平行時，直線在平面上的射影是和該直線的一條直線COBA3如圖，AO是平面斜線，A為斜足，OB，B為垂足，AC，O

7、AB，BAC，OAC，則cos4直線和平面所成的角平面的斜線和它在這個平面內(nèi)的所成的叫做這條直線和平面所成角斜線和平面所成角，是這條斜線和平面內(nèi)任一條直線所成角中5三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的垂直，那么它也和垂直逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條垂直，那么它也和這條垂直【小結(jié)歸納】1求直線和平面所成的角的一般步驟是一找(作)，二證，三算尋找直線在平面內(nèi)的射影是關(guān)鍵，基本原理是將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，主要轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)，通過解三角形來解決 2三垂線定理及逆定理，是判定兩條線互相垂直的重要方法，利用它解題時要抓住如下幾個環(huán)節(jié)：一抓住斜線，二作

8、出垂線，三確定射影 證明線線垂直的重要方法：三垂線定理及逆定理；線面線線；向量法六、平面和平面平行：1兩個平面的位置關(guān)系：2兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(記憶口訣：線面平行，則面面平行)3、兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它所有的平行（記憶口訣：面面平行，則線線平行)4兩個平行平面距離：和兩個平行平面同時的直線，叫做兩個平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分叫做兩個平面的，兩個平行面的公垂線段的，叫做兩個平行平面的距離【小結(jié)歸納】1判定兩個平面平行的方法：(1)定義法；(2)判定定理 2正確運用兩平

9、面平行的性質(zhì) 3注意線線平行，線面平行，面面平行的相互轉(zhuǎn)化：線線線面面面七、兩個平面垂直：1兩個平面垂直的定義：如果兩個平面相交所成二面角為二面角，則這兩個平面互相垂直2兩個平面垂直的判定：如果一個平面有一條直線另一個平面，則這兩個平面互相垂直3兩個平面垂直的性質(zhì)：如果兩個平面垂直，那么一個平面的垂直于它們的的直線垂直于另一個平面4異面直線上兩點間的距離公式：EF，其中：d是異面直線a、b的，為a、b，m、n分別是a、b上的點E、F到AA'與a、b的交點A，A'的距離【小結(jié)歸納】在證明兩平面垂直時，一般方法是從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線；若沒有這樣的直線，則可通過作輔助線來解決

10、，而作輔助線則應(yīng)有理論根據(jù)并且要有利于證明，不能隨意添加，在有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后再轉(zhuǎn)化為線線垂直“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化是解決這類問題的關(guān)鍵。八、空間的角：1兩異面直線所成的角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間一點O分別引直線a'a，b'b，把直線a'和b'所成的或叫做兩條異面直線a、b所成的角，其范圍是2直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的所成的角，叫做這條斜線和平面所成的角規(guī)定： 一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是角； 一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它

11、們所成的角是角其范圍是公式：coscos1cos2，其中，1是，2是，是3二面角：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫做二面角4二面角的平面角：以二面角的棱上一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，其范圍是【小結(jié)歸納】1兩異面直線所成角的作法： 平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線，常常利用中位線或成比例線段引平行線； 補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的是容易作出兩條異面直線所成的角 2作出直線和平面所成角的關(guān)鍵是作垂線，找射影 3平面角的作法： 定義法； 三垂線法； 垂面法 4二

12、面角計算，一般是作出平面角后，通過解三角形求出其大小，也可考慮利用射影面積公式 S'Scos來求 5空間角的計算有時也可以利用向量的求角公式完成九、空間距離：1點與點的距離：兩點間的長2點與線的距離：點到直線的的長3平行線間的距離：從兩條平行線中一條上一點向另一條引垂線，這點到之間的線段長4點與面的距離：點到平面的的長5平行于平面的直線與平面的距離：直線上一點到平面的的長6兩個平行平面間的距離：從其中一個平面上一點向另一個平面引垂線，這點到之間的線段長7兩條異面直線的距離：與兩條異面直線都的直線夾在兩間線段的長【小結(jié)歸納】1對于空間距離的重點是點到直線、點到平面的距離，對于兩異面直線的

13、距離一般只要求會求給出公垂線段時的距離 2、求點到平面的距離的方法： 確定點在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作線面垂直及某些特殊性質(zhì) 轉(zhuǎn)化法即化歸為相關(guān)點到平面的距離或轉(zhuǎn)化為線面距或轉(zhuǎn)化為面面距來求. (3) 等體積法：利用三棱錐的體積公式，建立體積相等關(guān)系求出某底上的高，即點面距. 3距離問題有時也可以利用向量的模的計算解決具體見第11節(jié)的小結(jié)4、5兩點.十、棱錐、棱柱：（一）棱柱1定義：如果一個多面體有兩個面互相，而其余每相鄰兩個面的交線互相，這樣的多面體叫做棱柱，兩個互相平行的面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，兩側(cè)面的公共邊叫做棱柱的，兩個底面所在平面的公垂線段，叫做棱柱的2性質(zhì)：

14、 側(cè)棱，側(cè)面是； 兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的多邊形； 過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是四邊形3分類： 按底面邊數(shù)可分為； 按側(cè)棱與底面是否垂直可分為：棱柱 4特殊的四棱柱：四棱柱平行六面體直平行六面體長方體正四棱柱正方體5長方體對角線的性質(zhì)：長方體一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的（二）棱錐1定義：如果一個多面體的一個面是，其余各面是有一個公共頂點的，那么這個多面體叫做棱錐，有公共頂點的各三角形，叫做棱錐的；余下的那個多邊形，叫做棱錐的兩個相鄰側(cè)面的公共邊，叫做棱錐的，各側(cè)面的公共頂點，叫做棱錐的；由頂點到底面所在平面的垂線段，叫做棱錐的2性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截

15、，那么所得的截面與底面，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的3正棱錐的定義：如果一個棱錐的底面是多邊形，且頂點在底面的射影是底面的，這樣的棱錐叫做正棱錐4正棱錐的性質(zhì)： 正棱錐各側(cè)棱，各側(cè)面都是的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（它叫做正棱錐的）； 正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影組成一個三角形【小結(jié)歸納】柱體和錐體是高考立體幾何命題的重要載體，因此，在學(xué)習(xí)時要注意以下三點1要準確理解棱柱、棱錐的有關(guān)概念，弄清楚直棱柱、正棱錐概念的內(nèi)涵和外延2要從底面、側(cè)面、棱(特別是側(cè)棱)和截面(對角面及平行于底面的截面)四個方面掌握幾

16、何性質(zhì)，能應(yīng)用這些性質(zhì)研究線面關(guān)系3在解正棱錐問題時，要注意利用四個直角三角形，其中分別含有九個元素(側(cè)棱、高、側(cè)棱與斜高在底面上的射影、側(cè)棱與側(cè)面與底面所成角、邊心距以及底面邊的一半)中的三個，已知兩個可求另一個十一、球：1球：與定點的距離或定長的點的集合2球的性質(zhì)(1) 用一個平面去截一個球，截面是(2)球心和截面圓心的連線于截面(3) 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系：(4) 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫(5) 在球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧長，這個弧長叫3球的表面積公式和體積公式：設(shè)球的半徑為R，則球的表面積S；球的體積V【小結(jié)歸納】1因為“球”是“圓”在空間概念上的延伸，所以研究球的性質(zhì)時，應(yīng)注意與圓的性質(zhì)類比2球的軸