高考數(shù)學(xué)壓軸大題突破練直線與圓

1、中檔大題規(guī)范練直線與圓1已知圓O：x2y24和點(diǎn)M(1，a)(1)若過點(diǎn)M有且只有一條直線與圓O相切，求實(shí)數(shù)a的值，并求出切線方程(2)若a，過點(diǎn)M的圓的兩條弦AC，BD互相垂直，求ACBD的最大值解(1)由條件知點(diǎn)M在圓O上，所以1a24，則a±.當(dāng)a時(shí)，點(diǎn)M為(1，)，kOM，k切，此時(shí)切線方程為y(x1)即xy40，當(dāng)a時(shí)，點(diǎn)M為(1，)，kOM，k切.此時(shí)切線方程為y(x1)即xy40.所以所求的切線方程為xy40或xy40.(2)設(shè)O到直線AC，BD的距離分別為d1，d2(d1，d20)，則ddOM23.又有AC2，BD2，所以ACBD22.則(ACBD)24×(

2、4d4d2·)4×524×(52)因?yàn)?d1d2dd3，所以dd，當(dāng)且僅當(dāng)d1d2時(shí)取等號(hào)，所以，所以(ACBD)24×(52×)40.所以ACBD2，即ACBD的最大值為2.2已知圓C：(x1)2y28.(1)設(shè)點(diǎn)Q(x，y)是圓C上一點(diǎn)，求xy的取值范圍；(2)在直線xy70上找一點(diǎn)P(m，n)，使得過該點(diǎn)所作圓C的切線段最短解(1)設(shè)xyt，因?yàn)镼(x，y)是圓上的任意一點(diǎn)，所以該直線與圓相交或相切，即2，解得5t3，即xy的取值范圍是5,3(2)因?yàn)閳A心C到直線xy70的距離d4>2r，所以直線與圓相離，因?yàn)榍芯€、圓心與切點(diǎn)的連線

3、、切線上的點(diǎn)與圓心的連線，組成一直角三角形且半徑為定值；所以只有當(dāng)過圓心向直線xy70作垂線，過其垂足作的切線段最短，其垂足即為所求設(shè)過圓心作直線xy70的垂線為xyc0.又因?yàn)樵摼€過圓心(1,0)，所以10c0，即c1，而xy70與xy10的交點(diǎn)為(3,4)，即點(diǎn)P坐標(biāo)為(3,4)3已知點(diǎn)P(0,5)及圓C：x2y24x12y240.(1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4，求l的方程；(2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程解(1)如圖所示，AB4，將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y6)216，圓C的圓心坐標(biāo)為(2,6)，半徑r4，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CDAB，又AD2，AC4

4、.在RtACD中，可得CD2.設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為y5kx，即kxy50.由點(diǎn)C到直線l的距離公式：2，得k.故直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時(shí)，也滿足題意，此時(shí)方程為x0.所求直線l的方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x，y)，則CDPD，即·0，(x2，y6)·(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.4a為何值時(shí)，(1)直線l1：x2ay10與直線l2：(3a1)xay10平行？(2)直線l3：2xay2與直線l4：ax2y1垂直？解(1)當(dāng)a0時(shí)，兩直線的斜率不存在，直線l1：

5、x10，直線l2：x10，此時(shí)，l1l2.當(dāng)a0時(shí)，l1：yx，l2：yx，直線l1的斜率為k1，直線l2的斜率為k2，要使兩直線平行，必須解得a.綜合可得當(dāng)a0或a時(shí)，兩直線平行(2)方法一當(dāng)a0時(shí)，直線l3的斜率不存在，直線l3：x10，直線l4：y0，此時(shí)，l3l4.當(dāng)a0時(shí)，直線l3：yx與直線l4：yx，直線l3的斜率為k3，直線l4的斜率為k4，要使兩直線垂直，必須k3·k41，即·1，不存在實(shí)數(shù)a使得方程成立綜合可得當(dāng)a0時(shí)，兩直線垂直方法二要使直線l3：2xay2和直線l4：ax2y1垂直，根據(jù)兩直線垂直的充要條件，必須A1A2B1B20，即2a2a0，解得

6、a0，所以，當(dāng)a0時(shí)，兩直線垂直5已知圓C的方程為x2y2ax2ya20，一定點(diǎn)為A(1,2)，且過定點(diǎn)A(1,2)作圓的切線有兩條，求a的取值范圍解將圓C的方程配方有(x)2(y1)2，>0，圓心C的坐標(biāo)為(，1)，半徑r.當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，過點(diǎn)A可作圓的兩條切線，AC>r，即 >，化簡得a2a9>0.由得<a<，a的取值范圍是<a<.6已知以點(diǎn)C(t，)(tR，t0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)(1)求證：AOB的面積為定值；(2)設(shè)直線2xy40與圓C交于點(diǎn)M、N，若OMON，求圓C的方程；(3)在(2)的條

7、件下，設(shè)P、Q分別是直線l：xy20和圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求PBPQ的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(1)證明由題設(shè)知，圓C的方程為(xt)2(y)2t2，化簡得x22txy2y0，當(dāng)y0時(shí)，x0或2t，則A(2t,0)；當(dāng)x0時(shí)，y0或，則B(0，)，所以SAOBOA·OB|2t|·|4為定值即AOB的面積為定值(2)解OMON，則原點(diǎn)O在MN的中垂線上，設(shè)MN的中點(diǎn)為H，則CHMN，C、H、O三點(diǎn)共線，則直線OC的斜率k，t2或t2.圓心為C(2,1)或C(2，1)，圓C的方程為(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25.由于當(dāng)圓方程為(x2)2(y1)25時(shí)，圓心到直線2xy40的距離d>r，此時(shí)不滿足直線與圓相交，故舍去，圓C的方程為(x2)2(y1)25.(