高考數(shù)學參數(shù)方程和普通方程的互化練習

1、【參數(shù)方程和普通方程的互化】例1求曲線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）的交點解：把代入得：兩式平方相加可得（舍去）于是即所求二曲線的交點是（，）說明：在求由參數(shù)方程所確定的兩曲線的交點時，最好由參數(shù)方程組求解，如果化為普通方程求交點時要注意等價性如該例若化為普通方程求解時要注意點（，）是增解例2化直線的普通方程為參數(shù)方程（其中傾斜角滿足且）解法一：因，故設。取為參數(shù)，則得所求參數(shù)方程解法二：如圖，（）為直線上的定點，為直線上的動點因動點M與的數(shù)量一一對應（當M在的向上方向或正右方時，；當M在的下方或正左方時，；當M與重合時，），故取為參數(shù)過點M作y軸的平行線，過點作軸的平行線，兩直線相交于點Q（如圖

2、）則有即為所求的參數(shù)方程。說明：在解法二中，不必限定，即不必限定，由此可知，無論中任意值時，所得方程都是經(jīng)過（），傾斜角為的直線的參數(shù)方程可稱它是直線參數(shù)方程的“點角式”或“標準式”要充分理解解法二所示的參數(shù)的幾何意義，這對解決某些問題較為方便如果取為參數(shù)，則得直線參數(shù)方程一般地，直線的參數(shù)方程的一般形式是（，為參數(shù)）但只有當且僅當，且時，這個一般式才是標準式，參數(shù)才具有上述的幾何意義例3求橢圓的參數(shù)方程分析一：把與對比，不難發(fā)現(xiàn)，可設，也可設解法一：設（為參數(shù)），則故因此，所得參數(shù)方程是（）或（）由于曲線（）上的點（，），就是曲線（）上的點（，），所以曲線（）上的點都是曲線（）上的點顯然橢圓

3、的參數(shù)方程是分析二：借助于橢圓的輔助圓，可明確橢圓參數(shù)方程中的幾何意義解法二：以原點O為圓心，為半徑作圓，如圖設以軸正半軸為始邊，以動半徑OA為終邊的變角為，過點A作軸于N，交橢圓于M，取為參數(shù)，則點M（）的橫坐標（以下同解法一）由解法二知，參數(shù)是點M所對應的圓半徑OA的轉(zhuǎn)角，而不是OM的轉(zhuǎn)角，因而稱為橢圓的離角（如果以O為圓心，為半徑作圓，過M作，交圓于B，由可知也是半徑OB的轉(zhuǎn)角） 例4用圓上任一點的半徑與x軸正方向的夾角為參數(shù)，把圓化為參數(shù)方程。分析：由圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義可把圓上任意一點化為的參數(shù)形式。解：如圖所示，圓方程化為，設圓與x軸正半軸交于A，為圓上任一點，過P作軸于B，O

4、P與x軸正半軸所成角為，則：又中，此圓的參數(shù)方程為例5設（為參數(shù)）把普通方程化為以為參數(shù)的參數(shù)方程。解：把代入原方程，得，解得參數(shù)方程為（為參數(shù)）與表示的是同一曲線，所以它們是等價的，可以省略一個。所求參數(shù)方程例6化雙曲線為參數(shù)方程。解：設，代入為，得的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）這是同學中較為常見的解法，這種解法是錯誤的，那么錯在哪里呢？請你找出來。錯誤在于，雙曲線上x的取值范圍是不等于零的一切實數(shù)，錯解中得到的參數(shù)方程中x的取值范圍僅僅，故錯解中得到的參數(shù)方程只表示雙曲線上一部分，不符合普通方程與參數(shù)方程的等價性要求，普通方程化為參數(shù)方程時關(guān)鍵是選擇適當?shù)膮?shù)，注意使所得參數(shù)方程與原普通方程中變

5、量x、y的允許值范圍要保持一致。下面給出正確解法：設，代入得。的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）例7化參數(shù)方程（為參數(shù)）為普通方程。分析一：用代入消元法，從已知方程中解出參數(shù)，代入后消去參數(shù)。解法一：即將它代入（1），并化簡得（）分析二：用整體消參法。注意表達式的分母相同，而分子的平方和恰為原來相同的分母。解法二：得又于是得所求普通方程為即分析三：因為，所以。從表達式可聯(lián)想萬能公式。于是可用三角變換，然后利用三角公式再消參。解法三：，可令（，）又于是得得即，（）（）即，普通方程是（）說明：解法一是用代入法消參，解法二是整體消參法，解法三是運用萬能公式，三角變換消參，三種解法中都應注意的限制條件，使參數(shù)

6、方程化為普通方程時保持等價性。例8將下列參數(shù)方程（其中，為參數(shù)）化為普通方程。（1）（2）（3）解：（1）（）為所求。（2）由，得（）將它代入，并化簡得（）另解：并整理得（）（3）且所求普通方程為說明：（1）小題是用三角公式變形后用代入法消參，（2）是用代入（消元）法消參變形后整體消參，（3）小題是通過代數(shù)變換法消參。但都應特別注意等價性。例9對于方程（a，b為常數(shù)）（1）當t為常數(shù)，為參數(shù)時，方程表示何種曲線；（2）當t為參數(shù)，為常數(shù)時，方程表示何種曲線解：（1）當t為常數(shù)，原方程可變形為兩式平方相加得即這是以（a，b）為圓心，為半徑的圓。（2）當為常數(shù)時，由第一式得代入第二式得即這是過點（

7、a，b），斜率為的一條直線小結(jié)：同一參數(shù)方程，由于參數(shù)不同，所表示的曲線也不同，消去參數(shù)化為普通方程后，曲線的類型也就顯現(xiàn)出來。例10已知直線過點P（2，0），斜率為。直線和拋物線相交于A、B兩點，線段AB的中點為M。求：（1）線段PM的長；（2）M點的坐標；（3）線段AB的長解：如圖。（1）由直線過點P（2，0），斜率為。設其傾斜角為，則有可得直線的標準參數(shù)方程為：（其中為參數(shù)）設直線上兩點A、B分別對應參數(shù)、，由方程組：消去可得：有，由M為AB的中點，（2）設M點對應參數(shù)為，則有 M點坐標為：M點坐標為（，）（3）由分別代入，可得點撥：利用直線的標準參數(shù)方程中參數(shù)的幾何含義，在解決諸如直線

8、上的兩點距離、某兩點的中點以及與此相關(guān)的一些問題時，顯得很方便和簡捷。例11已知橢圓上的一個點P（），求的最值。解：設橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，），（其中）即的最大值是，最小值是。點撥：這個題雖然很簡單，但它說明了一個道理：曲線的參數(shù)方程不僅表示了曲線，同時也表示了曲線上的點的坐標當曲線的參數(shù)方程表示曲線上的點的坐標時，實際上起到了消元的作用，即用一個參數(shù)表示了、，因此，在求某些幾何量的最值時，參數(shù)方程可以起到一元化即消元的作用例12過點M（2，1）作曲線（為參數(shù)）的弦AB，若M為AB的三等分點，求AB直線方程。解：設AB的方程為（t為參數(shù)），將x，y代入曲線（為參數(shù)）即，整理、化簡得，點M

9、在AB的內(nèi)部。將、代入上式有。解得，則AB的方程為小結(jié)：本題是首先設出過定點的參數(shù)方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理及直線參數(shù)方程中t的意義，求得斜率，用點斜式寫出直線方程。例13圓O內(nèi)一定點A，過A任作兩互相垂直的弦，求證這兩弦長的平方和為定值。證明：以圓心O為原點，OA所在的直線為x軸建立直角坐標系，設圓的方程，過定點互相垂直的兩弦PQ、RS的方程分別為即分別代入圓方程，得，其二根為、，其二根為、，故有兩弦平方和為定值小結(jié)：涉及圓的弦長問題，可利用直線參數(shù)方程來解。例14已知是拋物線的一動弦，O為原點。當恒為直角時，如圖求弦的中點P的軌跡方程。分析點P是的中點，點P的坐標與，的坐標，、相關(guān)，如果選取，、作為參數(shù)，則要列出，、有關(guān)的五個方程，最后消去參數(shù)，、就可以得到P點的軌跡方程。解設P（），（，），（，）P是的中點，在拋物上又恒為直角，即由：由：把、式代入得： P點的軌跡方程是說明此題的解法是利用參數(shù)求點的軌跡方程，