高考數(shù)學一輪復習總教案106　空間向量及其運算

1、10.6空間向量及其運算典例精析題型一共線和共面向量【例1】 設A、B、C及A1、B1、C1分別是異面直線l1、l2上的三點，而M、N、P、Q分別是線段AA1、BA1、BB1、CC1的中點，求證：M、N、P、Q四點共面.【證明】因為，所以2，2，又()，2，2，所以(22)，所以、共面，即M、N、P、Q四點共面.【點撥】可以利用共面向量定理或其推論完成證明.用共線向量定理證明線線平行，從而證明面面平行，更簡捷，使問題簡單化.【變式訓練1】如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點，NAC，且ANNC2，求證：A、B、N、M四點共面.【證明】設a，b，c，則ba.因為M是DD1

2、的中點，所以ca.因為ANNC2，所以(bc)，所以(bc)a(ba)(ca)，所以A、B、M、N四點共面.題型二利用向量計算長度和證明垂直【例2】已知平行六面體ABCDA1B1C1D1所有棱長均為1，BADBAA1DAA160°.(1)求AC1的長；(2)求證：AC1平面A1BD.【解析】(1)設a，b，c，則a·bb·cc·a1×1×cos 60°，a2b2c21.而abc，所以|2(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c1112×2×2×6，即|.(2

3、)證明：因為ac，所以·(abc)·(ac)a2c2a·bb·c110.所以.同理可得.所以AC1平面A1BD.【點撥】利用|a|2a2是計算長度的有效方法之一；而利用向量數(shù)量積為零是證明垂直問題的常用方法之一.【變式訓練2】已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱AA1長為b，且AA1與AB，AD的夾角都是120°.求AC1的長.【解析】|22()22222·2·2·a2a2b202abcos 120°2abcos 120°2a2b22ab.所以|AC1|

4、.題型三利用坐標求法向量和證明垂直問題【例3】 正方體ABCDA1B1C1D1中，棱長為1，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點.(1)求證：D1F平面ADE；(2)求平面ADE的一個法向量.【解析】(1)建立如圖所示的直角坐標系Dxyz，則D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)， F(0，0)，E(1,1， ).所以(0，1)， (1,0,0)，(0,1，)，因為·0，所以，又·0，所以，所以D1F平面ADE.(2)由(1)知D1F平面ADE，故平面ADE的一個法向量為(0，1).【點撥】空間向量坐標化，大大降低了立體幾何試題的難度，同學們需要善于利用.【變式訓

5、練3】 已知平面內有一個點M(1，1,2)，平面的一個法向量為n(6，3,6)，則下列各點中，在平面內的是()A.A(2,3,3)B.B(2,0,1)C.C(4,4,0)D.D(3，3,4)【解析】由于n(6，3,6)是平面的法向量，所以它應該和平面內任意一個向量垂直，只有在選項A中，(2,3,3)(1，1,2)(1,4,1)，·n0.故選A.題型四利用坐標法求解線面及面面位置關系【例4】如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點.(1)證明：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一點M，使得A1M平面DAE.【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐

6、標系Dxyz，不妨設正方體的棱長為2，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2).設平面AED的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，則所以2x10,2x12y1z10.令y11，得n1(0,1，2).同理可得平面A1FD1的一個法向量為n2(0,2,1).因為n1·n20，所以平面AED平面A1FD1.(2)由于點M在直線AE上，所以可設·(0,2,1)(0,2，)，可得M(2,2，)，于是(0,2，2).A1M平面DAE，則A1MAE，所以·(0,2，2) (0,2,1)520，得.故當AM

7、AE時，A1M平面DAE.【變式訓練4】 已知(2,2,1)，(4,5,3)，求平面ABC的單位法向量.【解析】設平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則n·0，且n·0，即2x2yz0且4x5y3z0，解得所以nz(，1,1)，單位法向量n0±(，).總結提高1.利用共線向量定理，可解決立體幾何中三點共線和兩直線平行等問題.2.利用共面向量定理，可解決立體幾何中直線在平面內，直線與平面平行以及四點共面等問題.3.同時要重視空間向量基本定理的運用，要注意空間向量基底的選取，用基向量表示出已知條件和所需解決問題的所有向量，將幾何問題轉化為向量問題.4.用空間向量處理某些立體幾何問題時，除要有應用空間向量的意識外，關鍵是根據(jù)空間圖形的特點建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.若坐標系選取不當，計