高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)全套資料

1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)分類討論押題針對(duì)訓(xùn)練復(fù)習(xí)目標(biāo):1掌握分類討論必須遵循的原則2能夠合理，正確地求解有關(guān)問題命題分析: 分類討論是一種重要的邏輯方法，也是一種常用的數(shù)學(xué)方法，這可以培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和概括性，以及認(rèn)識(shí)問題的全面性和深刻性，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力.因此分類討論是歷年數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn).而且也是高考的一個(gè)難點(diǎn).這次的一?？荚囍?，尤其是西城與海淀都設(shè)置了解答題來考察學(xué)生對(duì)分類討論問題的掌握情況.重點(diǎn)題型分析:例1解關(guān)于x的不等式:解:原不等式可分解因式為:(x-a)(x-a2)<0（下面按兩個(gè)根的大小關(guān)系分類）（1）當(dāng)a>a2Þa

2、2-a<0即 0<a<1時(shí)，不等式的解為 xÎ(a2, a).（2）當(dāng)a<a2Þa2-a>0即a<0或a>1時(shí)，不等式的解為:xÎ(a, a2)（3）當(dāng)a=a2Þa2-a=0 即 a=0或 a=1時(shí)，不等式為x2<0或(x-1)2<0不等式的解為 xÎÆ.綜上，當(dāng) 0<a<1時(shí)，xÎ(a2, a) 當(dāng)a<0或a>1時(shí)，xÎ(a,a2) 當(dāng)a=0或a=1時(shí)，xÎÆ.評(píng)述:抓住分類的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，此題分解因式后，之所以不能馬上寫

3、出解集，主要是不知兩根誰大誰小，那么就按兩個(gè)根之間的大小關(guān)系來分類.例2解關(guān)于x的不等式 ax2+2ax+1>0(aÎR)解:此題應(yīng)按a是否為0來分類.（1）當(dāng)a=0時(shí)，不等式為1>0, 解集為R.（2）a¹0時(shí)分為a>0 與a<0兩類時(shí)，方程ax2+2ax+1=0有兩根.則原不等式的解為.時(shí)，方程ax2+2ax+1=0沒有實(shí)根，此時(shí)為開口向上的拋物線，則不等式的解為（-¥，+¥）.時(shí)，方程ax2+2ax+1=0只有一根為x=-1，則原不等式的解為(-¥,-1)(-1,+¥).時(shí)，方程ax2+2ax+1=0有兩

4、根，此時(shí)，拋物線的開口向下的拋物線，故原不等式的解為:.綜上:當(dāng)0a<1時(shí)，解集為（-¥，+¥）. 當(dāng)a>1時(shí)，解集為.當(dāng)a=1時(shí)，解集為(-¥,-1)(-1,+¥).當(dāng)a<0時(shí)，解集為.例3解關(guān)于x的不等式ax2-22x-ax(aR)(西城2003一模 理科）解:原不等式可化為Û ax2+(a-2)x-20,(1)a=0時(shí)，x-1，即x(-,-1.(2)a¹0時(shí)，不等式即為(ax-2)(x+1)0. a>0時(shí)， 不等式化為， 當(dāng)，即a>0時(shí)，不等式解為. 當(dāng)，此時(shí)a不存在.a<0時(shí)，不等式化為，

5、當(dāng)，即-2<a<0時(shí)，不等式解為 當(dāng)，即a<-2時(shí)，不等式解為. 當(dāng)，即a=-2時(shí)，不等式解為x=-1.綜上:a=0時(shí)，x(-,-1). a>0時(shí)，x. -2<a<0時(shí)，x. a<-2時(shí)，x. a=-2時(shí)，xx|x=-1.評(píng)述:通過上面三個(gè)例題的分析與解答，可以概括出分類討論問題的基本原則為:10:能不分則不分；20:若不分則無法確定任何一個(gè)結(jié)果；30:若分的話，則按誰礙事就分誰.例4已知函數(shù)f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5.有最大值2，求實(shí)數(shù)a的取值.解:f(x)=1-sin2x+asinx-a2+2a+5令sinx=t, t-1,1

6、.則(t-1,1).(1)當(dāng)即a>2時(shí)，t=1，解方程得:（舍）.(2)當(dāng)時(shí)，即-2a2時(shí)，, 解方程為:或a=4（舍）.(3)當(dāng) 即a<-2時(shí)， t=-1時(shí)，ymax=-a2+a+5=2即 a2-a-3=0 , a<-2, 全都舍去. 綜上，當(dāng)時(shí)，能使函數(shù)f(x)的最大值為2.例5設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，證明:.證明:（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1從而 （2）當(dāng)q1時(shí)， 從而 由（1）（2）得:. 函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).例6設(shè)一雙曲線的兩條漸近線方程為2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此雙曲線的離心率.分析:由雙曲線的漸近線方程，不能確定其焦點(diǎn)位

7、置，所以應(yīng)分兩種情況求解.解:（1）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在直線y=3時(shí)，雙曲線的方程可改為，一條漸近線的斜率為， b=2.（2）當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在直線x=1時(shí)，仿（1）知雙曲線的一條漸近線的斜率為，此時(shí). 綜上（1）（2）可知，雙曲線的離心率等于.評(píng)述:例5，例6，的分類討論是由公式的限制條件與圖形的不確定性所引起的，而例1-4是對(duì)于含有參數(shù)的問題而對(duì)參數(shù)的允許值進(jìn)行的全面討論.例7解關(guān)于x的不等式 .解:原不等式 由(1)a=1時(shí)，x-2>0, 即 x(2,+). 由(2)a<1時(shí)，下面分為三種情況. 即a<1時(shí)，解為.時(shí)，解為Æ.Þ 即0<a<1時(shí)

8、，原不等式解為:. 由（3）a>1時(shí)，的符號(hào)不確定，也分為3種情況.Þa不存在.當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解為:.綜上:a=1時(shí)，x(2,+).a<1時(shí)，xa=0時(shí)，xÎÆ. 0<a<1時(shí)，xa>1時(shí)，x.評(píng)述:對(duì)于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個(gè)步驟:10:明確討論的對(duì)象，確定對(duì)象的全體；20:確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確分類，不重不漏；30:逐步進(jìn)行討論，獲得結(jié)段性結(jié)記；40:歸納總結(jié)，綜合結(jié)記.課后練習(xí):1解不等式2解不等式3已知關(guān)于x的不等式的解集為M.（1）當(dāng)a=4時(shí)，求集合M:（2）若3ÎM，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4在

9、x0y平面上給定曲線y2=2x, 設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(a,0), aÎR，求曲線上點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d，并寫成d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式.參考答案:1. 2.3. (1) M為 (2)4. .2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)函數(shù)押題針對(duì)訓(xùn)練復(fù)習(xí)重點(diǎn)：函數(shù)問題專題，主要幫助學(xué)生整理函數(shù)基本知識(shí)，解決函數(shù)問題的基本方法體系，函數(shù)問題中的易錯(cuò)點(diǎn)，并提高學(xué)生靈活解決綜合函數(shù)問題的能力。復(fù)習(xí)難點(diǎn)：樹立數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)方程的思想解決有關(guān)問題。主要內(nèi)容：（一）基本問題 1.定義域 2.對(duì)應(yīng)法則 3.值域 4.圖象問題 5.單調(diào)性 6.奇偶性（對(duì)稱性） 7.周期性 8.反函數(shù) 9.函數(shù)值比大小 10.分

10、段函數(shù) 11. 函數(shù)方程及不等式（二）基本問題中的易錯(cuò)點(diǎn)及基本方法1集合與映射<1>認(rèn)清集合中的代表元素<2>有關(guān)集合運(yùn)算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的區(qū)別。還應(yīng)注意空集的情形，驗(yàn)算端點(diǎn)。2關(guān)于定義域<1>復(fù)合函數(shù)的定義域，限制條件要找全。<2>應(yīng)用問題實(shí)際意義。<3>求值域，研究函數(shù)性質(zhì)（周期性，單調(diào)性，奇偶性）時(shí)要首先考察定義域。<4>方程，不等式問題先確定定義域。3關(guān)于對(duì)應(yīng)法則注：<1>分段函數(shù)，不同區(qū)間上對(duì)應(yīng)法則不同<2>聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)求解析式4值域問題基本方法：<1>化為基

11、本函數(shù)換元（新元范圍）?；癁槎魏瘮?shù)，三角函數(shù)，并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，求值域。<2>均值不等式：形如和，積，及形式。注意識(shí)別及應(yīng)用條件。<3>幾何背景：解析幾何如斜率，曲線間位置關(guān)系等等。易錯(cuò)點(diǎn)：<1>考察定義域 <2>均值不等式使用條件5函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，周期性。關(guān)注問題：<1>判定時(shí)，先考察定義域。<2>用定義證明單調(diào)性時(shí)，最好是證哪個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，在哪個(gè)區(qū)間上任取x1及x2。<3>求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)區(qū)間及定義域，有時(shí)需分類討論。<4>由周期性及奇偶性（對(duì)稱

12、性）求函數(shù)解析式。<5>“奇偶性”+“關(guān)于直線x=k”對(duì)稱，求出函數(shù)周期。6比大小問題基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等為分界點(diǎn)。<2>搭橋 <3>結(jié)合單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合<4>比差、比商 <5>利用函數(shù)圖象的凸凹性。7函數(shù)的圖象<1>基本函數(shù)圖象<2>圖象變換平移 對(duì)稱（取絕對(duì)值） 放縮易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)合變換時(shí)，有兩種變換順序不能交換。如下：<I>取絕對(duì)值（對(duì)稱）與平移例：由圖象，經(jīng)過如何變換可得下列函數(shù)圖象？ <1> <2>分析：<1> &

13、lt;2> 評(píng)述：要由得到只能按上述順序變換，兩順序不能交換。<II>平移與關(guān)于y=x對(duì)稱變換例：y=f(x+3)的反函數(shù)與y=f-1(x+3)是否相同？分析：的反函數(shù)。兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)（也可以用具體函數(shù)去驗(yàn)證。）（三）本周例題：例1判斷函數(shù)的奇偶性及周期性。分析：<1>定義域： f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖：又 f(-x)=-f(x), f(x)周期p的奇函數(shù)。評(píng)述：研究性質(zhì)時(shí)關(guān)注定義域。例2<1>設(shè)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，且，又當(dāng)x-3,-2時(shí)，f(x)=2x，求f(113.5)的值。 <2>已知f(x)是以2為周期的偶函

14、數(shù)，且當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解：<1>， f(x)周期T=6， f(113.5)=f(6´19-0.5)=f(-0.5).當(dāng)x(-1,0)時(shí)，x+3(2,3). x(2,3)時(shí)，f(x)=f(-x)=2x. f(x+3)=-2(x+3).,.<2>（法1）（從解析式入手）x(1,2), 則-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2. f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. f(x)=3-x, x(1,2).小結(jié)：由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上。（法2）（圖象）

15、f(x)=f(x+2)如圖：x(0,1), f(x)=x+1. x(-1,0)f(x)=-x+1. x(1,2)f(x)=-(x-2)+1=3-x.注：從圖象入手也可解決，且較直觀。例3<1>若x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范圍。<2>已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+5對(duì)任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在閉區(qū)間Zm,0上有最大值5，最小值1，求m的取值范圍。分析：<1>設(shè) y1=(x-1)2, y2=logaxx(1,2)，即x(1,2）時(shí)，曲線y1在y2的下方，如圖：a=2時(shí)，x(1,2)也成立，a(1,2.

16、 小結(jié)：數(shù)形結(jié)合 變化的觀點(diǎn) 注意邊界點(diǎn)，a=2，x取不到2， 仍成立。<2>f(t)=f(-4-t), f(-2+t)=f(-2-t) f(x)圖象關(guān)于x=-2對(duì)稱， a=4, f(x)=x2+4x+5. f(x)=(x+2)2+1, 動(dòng)區(qū)間：m,0, xm,0, f(x)max=5, f(x)min=1, m-4,0. 小結(jié)：函數(shù)問題，充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，并應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究問題。如二次函數(shù)問題中常見問題，定函數(shù)動(dòng)區(qū)間及動(dòng)函數(shù)和定區(qū)間，但兩類問題若涉及函數(shù)最值，必然要考慮函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，而二次函數(shù)的單調(diào)性研究關(guān)鍵在于其圖象對(duì)稱軸的位置。以發(fā)展的眼光看，還可解決一類動(dòng)直線

17、定曲線相關(guān)問題。例4已知函數(shù)(I)判定f(x)在x(-,-5)上的單調(diào)性，并證明。(II)設(shè)g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有實(shí)根，求a的取值范圍。分析：(I)任取x1<x2<-5, 則：, (x1-5)(x2+5)-(x1+5)(x2-5)=10(x1-x2)<0 又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0, 當(dāng)a>1時(shí)，f(x1)-f(x2)<0, f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x1)-f(x2)>0,f(x)單調(diào)遞減。(II)若f(x)=g(x)有實(shí)根，即：。 即方程：有

18、大于5的實(shí)根。 （法1）（ x>5）. （法2）（實(shí)根分布）(1)有大于5的實(shí)根， 方程(1)化為：ax2+(2a-1)x-15a+5=0. a>0, =64a2-24a+10.有一根大于5.兩根均大于. 小結(jié)：實(shí)根分布即利用二次函數(shù)圖象及不等式組解決問題。用此數(shù)形結(jié)合方法解決問題時(shí)，具體步驟為：二次函數(shù)圖象開口方向。圖象對(duì)稱軸的位置。圖象與x軸交點(diǎn)。端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)。此題(2)中，也可以用韋達(dá)定理解決。小結(jié)： 函數(shù)部分是高考考察重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)對(duì)其予以充分的重視，并配備必要例題，理順基本方法體系。練習(xí)： 已知f(x)是定義在-1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m,n-1,1，m+

19、n0時(shí),有。<1>用定義證明f(x)在-1，1上是增函數(shù)。<2>若f(x)t2-2at+1對(duì)所有x-1,1，a-1,1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。參考答案： (2)|t|2或t=0.2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)排列與組合押題針對(duì)訓(xùn)練授課內(nèi)容：復(fù)習(xí)排列與組合考試內(nèi)容：兩個(gè)原理；排列、排列數(shù)公式；組合、組合數(shù)公式。考試要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的問題。 2）理解排列、組合的意義。掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，并能用它們解決一些簡單的問題。試題安排：一般情況下，排列組合為一道以選擇或填空題的形式出現(xiàn)的應(yīng)用題。有時(shí)還另有一道排列、組合

20、與其他內(nèi)容的綜合題（大都與集合、立體幾何、不等式證明等相綜合）。重點(diǎn)：兩個(gè)原理尤其是乘法原理的應(yīng)用。難點(diǎn)：不重不漏。知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：1加法原理和乘法原理 兩個(gè)原理是理解排列與組合的概念，推導(dǎo)排列數(shù)及組合數(shù)公式；分析和解決排列與組合的應(yīng)用問題的基本原則和依據(jù)；完成一件事共有多少種不同方法，這是兩個(gè)原理所要回答的共同問題。而兩者的區(qū)別在于完成一件事可分幾類辦法和需要分幾個(gè)步驟。例1書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書。 （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同

21、的科目的書兩本，有多少種不同的取法。解：（1）由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，由于有3種書，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。 （2）由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成3個(gè)步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3×5×6=90（種）。 （3）由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況（數(shù)語各1本，數(shù)英各1本，語英各1本）而在每一類情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是：3×5+3×6+5×6=63（種）。例2已知兩

22、個(gè)集合A=1，2，3，B=a,b,c,d，從A到B建立映射，問可建立多少個(gè)不同的映射？分析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)?！?因A中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：5×5×5=53（種）。2排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式 排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡與證明。 連乘積的形式 階乘形式Pnm=n(n-1)(n-2

23、)(n-m+1)= Cnm=例3求證：Pnm+mPnm-1=Pn+1m證明：左邊= 等式成立。評(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)。n!(n+1)=(n+1)!.可使變形過程得以簡化。例4解方程.解：原方程可化為：ÛÛÛ 解得x=3.評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫在脫掉符號(hào)之前。3排列與組合的應(yīng)用題 歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，

24、或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。 一般方法有：直接法和間接法 （1）在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可用分類法；若問題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。 （2）間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡單明了，據(jù)A=I且A=Æ的原理，采用排除的方法來獲得問題的解決。特殊方法： （1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 （2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。 （3）插空法：某些元素必須不在一起的

25、分離排列用“插空法”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列。 （4）其它方法。例57人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 （1）甲排中間；（2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰； （4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）；（5）甲，乙，丙連排； （6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。解：（1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720種不同排法。 （2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有·=3600種不同排法。 （3）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)

26、“元素”，連同其余5人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有·=1400種不同的排法。 （4）甲在乙的左邊。考慮在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有=2520種。 （5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、乙、丙合為一個(gè)“元素”，連同其余4人共5個(gè)“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有·=720種不同排法。 （6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一

27、行，形成左、右及每兩人之間的五個(gè)“空”。再將甲、乙、丙插入其中的三個(gè)“空”，故共有·=1440種不同的排法。例6用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個(gè)數(shù)： （1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)； （4）不含數(shù)字0，且1，2不相鄰的數(shù)。解：（1）奇數(shù)：要得到一個(gè)5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個(gè)位必須是奇數(shù)，從1，3，5中選出一個(gè)數(shù)排列個(gè)位的位置上有種；第二步考慮首位不能是0，從余下的不是0的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位上有種；第三步：從余下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)排在中間的3個(gè)數(shù)的位置上，由乘法原理共有=388（個(gè)）。 （2）5的

28、倍數(shù)：按0作不作個(gè)位來分類 第一類：0作個(gè)位，則有=120。 第二類：0不作個(gè)位即5作個(gè)位，則=96。 則共有這樣的數(shù)為：+=216（個(gè)）。 （3）比20300大的數(shù)的五位數(shù)可分為三類： 第一類：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3個(gè)； 第二類：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4個(gè)； 第三類：203xx, 204xx, 205xx, 有3個(gè)，因此，比20300大的五位數(shù)共有： 3+4+3=474（個(gè)）。 （4）不含數(shù)字0且1，2不相鄰的數(shù)：分兩步完成，第一步將3，4，5三個(gè)數(shù)字排成一行；第二步將1和2插入四個(gè)“空”中的兩個(gè)位置，故共有=72個(gè)不含數(shù)字0，且1和2

29、不相鄰的五位數(shù)。例7直線與圓相離，直線上六點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6，圓上四點(diǎn)B1，B2，B3，B4，任兩點(diǎn)連成直線，問所得直線最多幾條？最少幾條？解：所得直線最多時(shí)，即為任意三點(diǎn)都不共線可分為三類：第一類為已知直線上與圓上各取一點(diǎn)連線的直線條數(shù)為=24；第二類為圓上任取兩點(diǎn)所得的直線條數(shù)為=6；第三類為已知直線為1條，則直線最多的條數(shù)為N1=+1=31（條）。 所得直線最少時(shí)，即重合的直線最多，用排除法減去重合的字?jǐn)?shù)較為方便，而重合的直線即是由圓上取兩點(diǎn)連成的直線，排除重復(fù)，便是直線最少條數(shù)： N2=N1-2=31-12=19（條）。2006年高三數(shù)學(xué)第三輪總復(fù)習(xí)三角函數(shù)的定義與三

30、角變換押題針對(duì)訓(xùn)練內(nèi)容：三角函數(shù)的定義與三角變換重點(diǎn)：任意角的三角函數(shù)定義難點(diǎn)：三角變換公式的應(yīng)用內(nèi)容安排說明及分析：本部分內(nèi)容分為兩大塊，一塊是三角的基礎(chǔ)與預(yù)備知識(shí)，另一塊是三角變換公式及其應(yīng)用。把三角變換公式提到三角函數(shù)圖象與性質(zhì)之前來復(fù)習(xí)，其目的是突出“工具提前”的原則。即眾多的三角變換公式是解決三角學(xué)中一系列典型問題的工具，也是進(jìn)一步研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的重要工具。由于本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)性與工具性，這是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因此，最近幾年的高考試題中占有一定的比例，約占13%左右。有試題多為選擇題，有時(shí)也有解答題，難度多為容易題與中等題。知識(shí)要點(diǎn)及典型例題分析：一、三角函數(shù)的定義1

31、角的概念（1）角的定義及正角，負(fù)角與零角（2）象限角與軸上角的表達(dá)（3）終邊相同的角（4）角度制（5）弧度制2任意角的三角函數(shù)定義任意角的6個(gè)三角函數(shù)定義的本質(zhì)是給角這個(gè)幾何量以代數(shù)表達(dá)。借助直角坐標(biāo)系這個(gè)工具，把角放進(jìn)直角坐標(biāo)系中完成的。由任意角的三角函數(shù)定義直接可以得到：（1）三角函數(shù)的定義域（2）三角函數(shù)值在四個(gè)象限中的符號(hào)（3）同角三角函數(shù)的關(guān)系（4）單位圓中的三角函數(shù)線：要充分利用三角函數(shù)線在記憶三角函數(shù)性質(zhì)與公式以及解決三角函數(shù)問題中的作用。3誘導(dǎo)公式總共9組共36個(gè)公式，記憶口決為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，并弄清口決中的字詞含義，并根據(jù)結(jié)構(gòu)總結(jié)使用功能?！捌孀儭笔侵杆婕暗妮S上

32、角為的奇數(shù)倍時(shí)（包括4組：±a，±a）函數(shù)名稱變?yōu)樵瓉砗瘮?shù)的余函數(shù)；其主要功能在于：當(dāng)需要改變函數(shù)名稱時(shí)，比如：由于“和差化積”公式都是同名函數(shù)的和差。使用時(shí)，對(duì)于不同名的函數(shù)先化為同名函數(shù)，又如：復(fù)數(shù)化三角形式，有時(shí)也需要改變函數(shù)名稱，如：sina-icosa=cos(+a)+isin(+a)?！芭疾蛔儭笔侵杆婕暗妮S上角為的偶數(shù)倍時(shí)（包括5組：2kp+a, p±a, 2p-a, -a）, 函數(shù)名稱不變，其主要功能在于：求任意角的三角函數(shù)值，化簡及某些證明問題。二、典型例題分析：例1（1）已知-<a<b<, 求a+b與a-b的范圍。（2）已知a

33、的終邊在第二象限，確定p-a所在象限。解：（1）-<a<b<, -p<a+b<p，-p<a-b<0.（2）有兩種思路：其一是先把a(bǔ)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱放到-a的終邊（在第三象限），再將-a的終邊按逆時(shí)方向旋轉(zhuǎn)p放到p-a的終邊即-a的終邊的反向延長線，此時(shí)p-a的終邊也在第二象限。思路2：是先把a(bǔ)的終邊（第二象限）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)p，得到a+(-p)（第四象限），再將它關(guān)于x軸對(duì)稱得到-(a-p)=p-a的終邊，此時(shí)也在第一象限。例2若A=x|x=, kÎZ, B=x|x=+, kÎZ, 則A _B。解：由B中的x=+=可視為的奇數(shù)倍

34、所構(gòu)成的集合。而A中的x=是的所有奇數(shù)倍，因此AÉB。例3設(shè)0<q<2p, 問5q與角q終邊相同，求q。解：由已知 5q=2kp+q, kÎZ,有q=， 0<q<2p, k=1時(shí)，q=；k=2時(shí)，q=p；k=3時(shí)，q=.例4若=ctgq-cscq，求q取值范圍。解：先看一看右邊=ctgq-cscq=-=，這樣就決定了左邊的變形方向。=，=， ÞÞq無解， 不存在這樣的q使所給等式成立。例5已知sin(p-a)-cos(p+a)=, <a<p.求：（1）sina-cosa的值 （2）sin3(+a)+cos3(+a)的值

35、解：（1）由已知，得sina+cosa=,平方得：1+2sinacosa=, 2sinacosa=-,<a<p, sina-cosa=.（2）sin3(+a)+cos3(+a)=cos3a-sin3a=(cosa-sina)(cos2a+sinacosa+sin2a)=-(1-)=-.例6已知sin(a-p)=2cos(a-2p),求下列三角函數(shù)的值：（1）（2）1+cos2a-sin2a.解：由已知：-sina=2cosa，有 tga=-2, 則（1）原式=-。（2）1+cos2a-sin2a=.評(píng)述：對(duì)于形如為關(guān)于sina與cosa的一次分式齊次式，處理的方法，就是將分子與分母

36、同除以cosa，即可化為只含tga的式子。而對(duì)于1+cos2a-sin2a屬于關(guān)于sina與cosa的二次齊次式。即sin2a+2cos2a-5sinacosa. 此時(shí)若能將分母的“1”用sin2a+cos2a表示的話，這樣就構(gòu)成了關(guān)于sina與cosa的二次分式齊次式，分子分母同除以cos2a即可化為只含有tga的分式形式。例7求函數(shù)y=+logsinx(2sinx-1)的定義域。解：使函數(shù)有意義的不等式為：Þ將上面的每個(gè)不等式的范圍在數(shù)軸上表示出來，然后，取公共部分，由于xÎ-5,5，故下面的不等式的范圍只取落入-5，5之內(nèi)的值，即因此函數(shù)的定義域?yàn)椋?5,-)(-,-

37、)()()。例8求證：=.證法一（左邊化弦后再證等價(jià)命題）左邊=要證 =只需證：(1+sina+cosa)cosa=(1-sina+cosa)(1+sina)左邊=cosa+sinacosa+cos2a右邊=1-sin2a+cosa+cosasina=cos2a+cosa+sinacosa左邊=右邊，原等式成立?；蜃C等價(jià)命題：-=0證法二（利用化“1”的技巧）左邊=seca+tga=右邊。證法三（利用同角關(guān)系及比例的性質(zhì)）由公式 sec2a-tg2a=1Þ(seca-tga)(seca+tga)=1Þ=.由等比定理有：=seca+tga=.證法四（利用三角函數(shù)定義）證sec

38、a=, tga=, sina=, cosa=.然后代入所證等式的兩邊，再證是等價(jià)命題。其證明過程同學(xué)自己嘗試一下。評(píng)述：證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)，就是逐步消除等號(hào)兩邊結(jié)構(gòu)差異的過程，而“消除差異”的理論依據(jù)除了必要三角公式以外，還需要有下列等式的性質(zhì)：(1)若A=B，B=C則A=C（傳遞性）(2)A=BÛA-B=0(3)A=BÛ=1 (B¹0)(4)=Û AD=BC (BD¹0)(5)比例：一些性質(zhì)，如等比定理：若=，則=。1如果q是第二象限角，則所在的象限是（）A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限D(zhuǎn)、第二或第四象限2在下列表示中正確的是

39、（）A、終邊在y軸上的角的集合是a|a=2kp+, kÎZB、終邊在y=x的直線上的角的集合是a|a=kp+, kÎZC、與(-)的終邊相同的角的集合是a|a=kp-, kÎZD、終邊在y=-x的直線上的角的集合是a|a=2kp-, kÎZ3若p<q<p, 則等于（）A、sin(q-p) B、-sinq C、cos(p-q) D、-cscq4函數(shù)y=2sin()在p，2p上的最小值是（）A、2 B、1 C、-1 D、-25已知函數(shù)y=cos(sinx)，下列結(jié)論中正確的是（）A、它的定義域是-1，1 B、它是奇函數(shù)；C、它的值域是0, 1 D

40、、它是周期為p的函數(shù)6設(shè)0<x<，下列關(guān)系中正確的是（）A、sin(sinx)<sinx<sin(tgx) B、sin(sinx)<sin(tgx)<sinxC、sin(tgx)<sinx<sin(sinx) D、sinx<sin(tgx)<sin(sinx)7若sin=，cos=-，則qÎ0, 2p，終邊在（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限8如果一弧度的圓心角所對(duì)的弦長為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長是（）A、sinB、 C、 D、2sin9化簡三角函數(shù)式tg(p+p) (kÎZ), 結(jié)果是

41、（）A、tg B、ctgC、ctg D、-tg10設(shè)aÎ(0, )，的大小是（）A、A>B B、AB C、A<B D、AB答案: BBDCD ADCBC正、余弦函數(shù)的有界性在解題中的作用正、余弦函存在著有界性，即，在一些數(shù)學(xué)問題中靈活地加以運(yùn)用，溝通三角函數(shù)與數(shù)值間的關(guān)系，能大大簡化解題過程。例1若實(shí)數(shù)滿足，求的值。解：原方程可化為，因?yàn)?，所以，所以，所以所以。?在中，試判定三角形的形狀。解：因?yàn)椋郑?，而，于是，所以，。故為等腰直角三角形。?已知四邊形中的角、滿足求證：證明：由已知條件有所以由于。從而所以，但，所以，。所以，故。例4已知函數(shù)，求證：對(duì)于任意，有。

42、證明：因?yàn)?，所以。令，則，所以從而又，故例5證明：。證明：設(shè)，則只須證明。因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，從而。故。?復(fù)數(shù)，的幅角分別為、，且，問為何值時(shí)，分別取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。解；因?yàn)?，因?yàn)椋?。因而，。兩式平方相加得由題設(shè)知，所以（）因?yàn)?，所以，解之得。由（）知，?dāng)時(shí)，。又由（）及知，當(dāng)、時(shí)，。例7設(shè)為無理數(shù)，求證：函數(shù)不可能是周期函數(shù)。證明：假設(shè)是周期函數(shù)，則存在常數(shù)，使對(duì)于任意的，都成立。令得，因?yàn)?，所以從而，所以。此時(shí)，為整數(shù)，則為有理數(shù)，但為無理數(shù)，這是不可能的，故命題成立。1（2002年全國）在(0,2p)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x取值范圍為（ ）。 A、

43、 B、 C、 D、解：在內(nèi)，sinx>cosx，在內(nèi)sinx>cosx；在內(nèi)，sinx>cosx；綜上， 應(yīng)選C。2（2001年全國）的值為（ ）。 A、 B、 C、 D、解：應(yīng)選B。3（1998年全國）已知點(diǎn)P(sina-cosa,tga)在第一象限，則在0，2p內(nèi)a的取值范圍是（ ） A、 B、 C、 D、解：由題設(shè)，有 在0，2p）的范圍內(nèi)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=cosx的圖像，可在aÎ時(shí)，sina>cosa。aÎ 應(yīng)選B。4（1998年全國）sin600°的值是（ ）。A、 B、 C、 D、解：sin600°

44、=sin(360°+240°)=sin240° =sin(180°+60°)=-sin60° =應(yīng)選D。2006年考前必練數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題 數(shù)列經(jīng)典題選析數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位.一、等差數(shù)列與等比數(shù)列例1A遞增等比數(shù)列的公比，B遞減等比數(shù)列的公比，求AB解：設(shè)qA，則可知q>0（否則數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列）由an1ana1·qna1·qn1a1·qn1(q1)>0，得當(dāng)a10時(shí)，那么q1；當(dāng)a10時(shí)，則0q1從而可知Aq | 0<q

45、<1或q>1若qA，同樣可知q>0由an1ana1·qna1·qn1a1·qn1(q1)0，得當(dāng)a10時(shí)，那么0q1；當(dāng)a10時(shí)，則q1亦可知Bq | 0<q<1或q>1故知ABq | 0<q<1或q>1說明：貌似無法求解的問題，通過數(shù)列的基本量，很快就找到了問題的突破口！例2求數(shù)列1，(12)，(1222)，(12222n1)，前n項(xiàng)的和分析：要求得數(shù)列的和，當(dāng)務(wù)之急是要求得數(shù)列的通項(xiàng)，并從中發(fā)現(xiàn)一定規(guī)律而通項(xiàng)又是一等比數(shù)列的和設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為an，則an12222n12n1從而該數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn(21)(2

46、21)(231)(2n1)(222232n)nn2n1n2說明：利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：3、4、5、常用的數(shù)列求和方法有：利用常用求和公式求和；錯(cuò)位相減法求和；反序相加法求和；分組法求和；裂項(xiàng)法求和；合并法求和；利用數(shù)列的通項(xiàng)求和等等。例3已知等差數(shù)列an的公差d，S100145設(shè)S奇a1a3a5a99，Sa3a6a9a99，求S奇、S解：依題意，可得S奇S偶145，即S奇(S奇50d)145，即2 S奇25145，解得，S奇120又由S100145，得145，故得a1a1002.9Sa3a6a9a991.7

47、83;3356.1說明：整體思想是求解數(shù)列問題的有效手段！例4在數(shù)列an中，a1b(b0)，前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列。（1）求證：數(shù)列an不是等比數(shù)列；（2）設(shè)bna1S1a2S2anSn，|q|<1，求bn。解：（1）證明：由已知S1a1bSn成等比數(shù)列，且公比為q。Snbqn1，Sn1b·qn2(n2)。當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1bqn1bqn2b·(q1)·qn2故當(dāng)q1時(shí)，q，而q1q，an不是等比數(shù)列。當(dāng)q1，n2時(shí)，an0，所以an也不是等比數(shù)列。綜上所述，an不是等比數(shù)列。（2）|q|<1，由（1）知n2，a2，a3，a4，an構(gòu)

48、成公比為q的等比數(shù)列，a2S2，a3S3，anSn是公比為q2的等比數(shù)列。bnb2a2S2·(1q2q4q2n4)S2bq，a2S2S1bqba2S2b2q(q1)bnb2b2q(q1)·|q|<1q2n20bnb2b2q(q1)·說明： 1q2q4q2n4的最后一項(xiàng)及這個(gè)式子的項(xiàng)數(shù)很容易求錯(cuò)，故解此類題時(shí)要細(xì)心檢驗(yàn)。數(shù)列的極限與數(shù)列前n項(xiàng)和以及其他任何有限多個(gè)項(xiàng)無關(guān)，它取決于n時(shí)，數(shù)列變化的趨勢(shì)。二、數(shù)列應(yīng)用題例5(2001年全國理)從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè). 根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將

49、比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。()設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業(yè)總收入為bn萬元. 寫出an，bn的表達(dá)式()至少經(jīng)過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?解：第1年投入800萬元，第2年投入800×(1)萬元，第n年投入800×(1)n1萬元所以總投入an800800(1)800×(1)n140001()n同理：第1年收入400萬元，第2年收入400×(1)萬元，第n年收入400×(1)n1萬元bn400400×(1)400&#

50、215;(1)n11600×()n1(2)bnan0，1600()n14000×1()n0化簡得，5×()n2×()n70設(shè)x()n，5x27x20x，x1(舍) 即()n，n5.說明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。解數(shù)學(xué)問題應(yīng)用題重點(diǎn)在過好三關(guān)：(1)事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；(2)文理關(guān)：將“問題情景”中的文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；(3)數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。例6某縣位

51、于沙漠地帶，人與自然長期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%。從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化。(1)設(shè)全縣面積為1，2001年底綠化面積為a1，經(jīng)過n年綠化總面積為an1求證an1an(2)至少需要多少年(年取整數(shù)，lg20.3010)的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？(1)證明：由已知可得an確定后，an1表示如下：an1= an(14%)(1an)16%即an1=80% an +16%=an +(2)解：由an1=an+可得：an1=(an)=()2(an1)=()n(a1)故

52、有an1()n，若an1，則有()n即()n1兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得lg2(n1)(2lg2lg5)(n1)(3lg21) 故n14，故使得上式成立的最小nN為5，故最少需要經(jīng)過5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.三、歸納、猜想與證明例7已知數(shù)列 an滿足Snan(n23n2)，數(shù)列 bn滿足b1a1，且bnanan11(n2).(1)試猜想數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論;解：（1）Snan(n23n2)，S1a1，2a1(13×12)1，a11.當(dāng)n2時(shí)，有2a2(223×22)4，a22猜想，得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為ann(2)若cnb1b2bn，求的值.當(dāng)n3

53、時(shí)，有3a38，a33.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時(shí)，a11，等式成立.假設(shè)nk時(shí)，等式akk成立，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Skak1ak,.2 ak1k2ak， 2 ak1k2(k)，ak1(k1)，即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.綜上、知，對(duì)一切自然數(shù)n都有ann成立.(2)b1a1，bnanan11n(n1)1.cnb1b2bn1()n，1()n1.例8已知數(shù)列an滿足a12，對(duì)于任意的nN，都有an0，且(n1) an2an an1n an120.又知數(shù)列bn滿足：bn2n11.()求數(shù)列an的通項(xiàng)an以及它的前n項(xiàng)和Sn；()求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn；()猜想Sn和Tn的大小關(guān)系，并說明理由.解：(n1) an2an an1n an120.是關(guān)于an和an1的二次齊次式，故可利用求根公式得到an與an1的更為明顯的關(guān)系式，從而求出an ()an0（nN），且(n1) an2an an1n an120， (n1)()2()n01或an0（nN），··········n又a12,所以，an2nSna1a2a3an2(123n)n2n(