一元二次方程的應(yīng)用

1、 蔣華鎮(zhèn)初級中學(xué)1.1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： 是指讀懂題目，審清題意。是指讀懂題目，審清題意。 是指設(shè)未知數(shù)。是指設(shè)未知數(shù)。（1 1）審審（2 2）設(shè)設(shè)（4 4）解解（5 5）驗驗（6 6）答答（3 3）列列是指列方程。是指列方程。 是是指指解方程，求出求出未知數(shù)的值。解方程，求出求出未知數(shù)的值。 是是指指寫出應(yīng)用題的答案。寫出應(yīng)用題的答案。是指檢驗解是否是方程的解，是否符是指檢驗解是否是方程的解，是否符合題意。合題意。 這是最重要的一步，一般先找出這是最重要的一步，一般先找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等能夠表達應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系，

2、然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，就能得到含有未知數(shù)的等的各個量，就能得到含有未知數(shù)的等式式-方程方程. .2 2列方程解應(yīng)用題應(yīng)該注意：列方程解應(yīng)用題應(yīng)該注意：（1 1）在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個未知數(shù)，應(yīng)）在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個未知數(shù)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x擇其中的一個，用字母恰當(dāng)?shù)倪x擇其中的一個，用字母 表示表示, ,然后根據(jù)然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個未知數(shù)用含各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個未知數(shù)用含 的代數(shù)式表示。的代數(shù)式表示。 (2)“(2)“審審”的過程要在草稿紙上進行，書面格式的過程要在草稿紙上進行，書面格式中主要寫中主要寫“設(shè)設(shè)”“”“

3、列列”“”“解解”“”“答答”四個步驟的四個步驟的解題過程，解題過程，“驗驗”不要求寫詳細過程，但必須進不要求寫詳細過程，但必須進行，有不符合題意的解時，應(yīng)及時舍去。行，有不符合題意的解時，應(yīng)及時舍去。xx (3)(3)列方程時，要注意方程兩邊為同列方程時，要注意方程兩邊為同一類量，并且單位要統(tǒng)一。一類量，并且單位要統(tǒng)一。（4 4）“設(shè)設(shè)”和和“答答”必須寫清單位名必須寫清單位名稱。稱。例例1某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，收費標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費用為800元；如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10元，但人均旅游費用不得低于500元。甲公

4、司分批組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？如何設(shè)未知數(shù)？如何找出表達實際問題的相等關(guān)系？這個問題中的相等關(guān)系是什么？如何解此題呢？1.一般情況下，應(yīng)設(shè)要求的未知量為未知數(shù)3.這個問題的等量關(guān)系是什么?：分析： 首先知道總費用是28000元即有等量關(guān)系“人均費用人數(shù)=28000元” 2.從題中尋找未知數(shù)所表示的未知量與已知量之間的等量關(guān)系這種稱直接設(shè)未知數(shù),反之叫間接設(shè)未知數(shù)4.人數(shù)可設(shè)未知數(shù)x人,人均費用人均費用呢?(1)根據(jù):“如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費用為800元”(2)根據(jù):“如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游

5、費用降低10元，但人均旅游費用不得低于500元”則總費用不超過30800=2400028000;而現(xiàn)用28000元,所以人數(shù)應(yīng)超過30人 a.設(shè)的x人,比30人多了多少人？ （x30）人b.降了多少元?10(x-30)元c.實際人均費用是多少?80010(x30)元5.本題實際意義是:人均旅游費用不得低于500元. 解: 設(shè)這次旅游可以安排x人參加,根據(jù)題意得:80010(x30)x = 28000整理,得: x2-110 x+ 2800=0 解這個方程,得:x1=70 x2=40當(dāng)x1=70時,800-10(x-30)=400500 x=40答:問這次旅游可以安排40人參加.課堂練習(xí)：課堂練

6、習(xí)： P95P95練習(xí)練習(xí)解：設(shè)該公司第二批參加旅游的有x人 ，根據(jù)題意的：800-10(x-30) x=29250X1=45 x2=65 x=45當(dāng)x1=45時,800-10(x-30) 500 當(dāng)x2=65時, 800-10(x-30)500不合題意,舍去.答:該公司第二批參加旅游的有45人.)(6215)4(21)3(2122表示圓的半徑表示圓的半徑）（高高下底）下底）（上底（上底）（高高底底高高底底邊長邊長）寬（寬（長長）（圖形的面積公式。圖形的面積公式。好幾種常見規(guī)則好幾種常見規(guī)則有關(guān)面積問題，要掌握有關(guān)面積問題，要掌握圓圓梯形梯形平行四邊形平行四邊形三角形三角形正方形正方形長方形長

7、方形rrssssss一、面積問題一、面積問題如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的如圖，一塊長方形鐵皮的長是寬的2 2倍，倍，四角各截去一個相等的小正方形，制成高是四角各截去一個相等的小正方形，制成高是5cm5cm，容積是，容積是500cm500cm3 3的的長方體容器，求這塊長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬鐵皮的長和寬. .問題問題1 1分析：分析： 如果設(shè)這塊鐵皮的寬是xcm，那么制成的長方體容器底面的寬是_長是_1.這個問題的等量關(guān)系是：“長寬高=容積” , “長=寬2”。3.如何設(shè)未知數(shù)？xx2x2x55555555長寬高2.你知道圖中長方體容器長、寬、高分別指哪些？(2x-10)cm.(x-1

8、0)cm,解: 設(shè)這塊鐵皮的寬是xcm，那么制成的長方體容器底面的寬是(x-10)cm,長是(2x-10)cm.根據(jù)題意得:5(x-10)(2x-10)=500整理,得: x2-15x=0 解這個方程,得:x1=15 x2=0 (不合題意,舍去) x=152x=30答:這塊鐵皮的寬是15cm，長是30cm.1.一塊長方形菜地的面積是150m2,如果它的長減少5m,那么菜地就變成正方形.求原菜地的長和寬.分析：分析： 畫草圖畫草圖 5 5 如果設(shè)原菜地寬為如果設(shè)原菜地寬為xm x x x x x(x+5)=150 可得方程可得方程 如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為4040米，

9、寬為米，寬為2626米的矩形場地米的矩形場地ABCDABCD上修建如下圖所示的同樣上修建如下圖所示的同樣寬的小路，其余部分種草，若使草坪面積為寬的小路，其余部分種草，若使草坪面積為864864平方米，求小路的寬度？平方米，求小路的寬度？）米。）米。（）米，）米，坪長和寬分別為（坪長和寬分別為（米，那么草米，那么草邊）。設(shè)小路的寬度為邊）。設(shè)小路的寬度為（最好靠一（最好靠一向修建的小路移到一起向修建的小路移到一起西和南北方西和南北方題方便，可分別把沿東題方便，可分別把沿東為了研究問為了研究問有關(guān)，而與位置無關(guān)。有關(guān)，而與位置無關(guān)。條數(shù)、寬度條數(shù)、寬度所占的面積只與小路的所占的面積只與小路的是修建

10、小路是修建小路分析：這類問題的特點分析：這類問題的特點xxx26240米米。答答：小小路路的的寬寬度度為為舍舍去去解解得得）（由由題題意意得得米米，解解：設(shè)設(shè)小小路路的的寬寬度度為為2)(44, 286426(24021xxxxx想一想，想一想，為什么？為什么？）米寬為）米長為xx226(240(）米米寬寬為為）米米長長為為xx26(40(點評：解答這類問題，并沒有用到什么點評：解答這類問題，并沒有用到什么復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，只是運用化歸思想，復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，只是運用化歸思想，把幾條小路歸在一起，草坪歸在一起，把幾條小路歸在一起，草坪歸在一起，這種做法給綜合分析問題、解決問題帶這種做法給綜合分析問

11、題、解決問題帶來很大方便。來很大方便。一塊長一塊長36m36m，寬，寬24m24m的矩形草地，現(xiàn)要在的矩形草地，現(xiàn)要在它的中央修建一個矩形噴水池，周圍的它的中央修建一個矩形噴水池，周圍的草地作走道，走道的寬度相等，且噴水草地作走道，走道的寬度相等，且噴水池的面積是矩形草地面積的池的面積是矩形草地面積的 ，求周，求周圍走道的寬度。圍走道的寬度。275275,積是矩形草地面積的面其等量關(guān)系是噴水池的分析：設(shè)走道的寬度為 xm米米。答答：周周圍圍走走道道的的寬寬度度為為舍舍去去解解得得）（由由題題意意得得，為為解解：設(shè)設(shè)周周圍圍走走道道的的寬寬度度88),(222436275224(23621xxx

12、xxm點評：點評：（1 1）對方程的根要認真檢驗是否符合實對方程的根要認真檢驗是否符合實際意義，如有不符合的，要舍去。際意義，如有不符合的，要舍去。 (2)(2)設(shè)未知數(shù)和答題時不能漏寫單位。列設(shè)未知數(shù)和答題時不能漏寫單位。列方程中不要寫單位，但等號兩邊量的單位要統(tǒng)一。方程中不要寫單位，但等號兩邊量的單位要統(tǒng)一。 如圖，有一塊面積是如圖，有一塊面積是125125平方米的矩平方米的矩形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長3030米），另三邊用長為米），另三邊用長為3535米的竹籬笆圍米的竹籬笆圍成，求雞場的長與寬。成，求雞場的長與寬。列出方程。積為根據(jù)面不難得到另一邊長，再由矩

13、形的性質(zhì)壁的一邊長為于墻長度之和。設(shè)矩形垂直、是邊分析：這里的2125,35mxmCDBCABmA AB BC CD D。和或和雞場的長和寬分別為答時當(dāng)時當(dāng)解得）由題意得）則另一邊長為（，的一邊長為解：設(shè)矩形垂直于墻壁mmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:25235,510235,5 .125, 5 .12225125235(23521。和或和雞場的長和寬分別為答時當(dāng)時當(dāng)解得由題意得則另一邊長為，的一邊長為解：設(shè)矩形平行于墻壁mmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:5235,255 .10235,10251012523523521比比看，哪比比看，哪種解法更簡種解

14、法更簡潔呢？潔呢？點評點評: : 本例未寫出檢驗的結(jié)本例未寫出檢驗的結(jié)果，并不是沒有檢驗，而果，并不是沒有檢驗，而是因為這兩個結(jié)果都符合是因為這兩個結(jié)果都符合題意，如果把墻長改為題意，如果把墻長改為2020米，結(jié)果又會怎樣呢？米，結(jié)果又會怎樣呢？。和或和雞場的長和寬分別為答時當(dāng)時當(dāng)解得）由題意得）則另一邊長為（，的一邊長為解：設(shè)矩形垂直于墻壁cmcmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:25235,510235,5 .125, 5 .12225125235(23521（不合題意，舍去）（不合題意，舍去）20203030 A AB BC CD D例例5 5 如圖，有一塊面積是如圖，有

15、一塊面積是125125平方米平方米的矩形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長的矩形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長米），另三邊用長為米），另三邊用長為3535米的竹籬笆圍米的竹籬笆圍成，求雞場的長與寬。成，求雞場的長與寬。A AB BC CD D例例5 5 如圖，有長為如圖，有長為3535米的竹籬笆，一米的竹籬笆，一面利用墻（墻長面利用墻（墻長3030米），圍成米），圍成中間隔中間隔有一道籬笆的有一道籬笆的矩形雞場，雞場的面積矩形雞場，雞場的面積是是125125平方米，雞場的一邊靠墻另三邊平方米，雞場的一邊靠墻另三邊用，求雞場的長與寬。用，求雞場的長與寬。xxx125335(335）由題意得）一邊長為（，則另

16、壁的一邊長為分析：設(shè)矩形垂直于墻xxmxxm還有其它還有其它解法嗎？解法嗎？點評：點評： 解面積問題的應(yīng)用題時，解面積問題的應(yīng)用題時，要根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)以及它要根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)以及它們之間的量的關(guān)系來列方程，們之間的量的關(guān)系來列方程，因此因此畫出符合題意的圖形畫出符合題意的圖形，有，有助于解題。助于解題。 把把100100厘米長的鉛絲折成一個長方形模型厘米長的鉛絲折成一個長方形模型. .（1 1）要使這個長方形的面積是）要使這個長方形的面積是525525平方厘米，平方厘米，它的長和寬應(yīng)該各是多少厘米？它的長和寬應(yīng)該各是多少厘米？（2 2）面積是）面積是625625平方厘米呢？平方厘米呢？（3 3）面積是）面積是700700平方厘米呢？