2019年高考數(shù)學(文)一輪復習精品資料：專題31數(shù)列求和(教學案)(解析版)

1、 1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前 n項和公式; 2掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法. (1) 公式法 a1 (1 qn) a1 a*q Sn= 1-q = 1 - q (2) 分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解. 裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負相消剩下首尾若干項. (4) 倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣. (5) 錯位相減法 主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式 的推導過程的推廣. (6) 并項求和法 一個數(shù)列的前 n項和中，可兩兩結(jié)

2、合求解，則稱之為并項求和.形如 an = (1)nf (n)類型，可采用兩項合并求解. 例如，Sn= 1002 992+ 982 972+ 22 12= (100 + 99) + (98 + 97)+ (2 + 1) = 5 050. 2常見的裂項公式 1 = 1 1 n (n+ 1) n n + 1.1.求數(shù)列的前 n項和的方法 等差數(shù)列的前 n項和公式 n (a1 + an) sn = 2 n (n 1) =na1 + 2 d. 等比數(shù)列的前 n項和公式 (i )當 q = 1 時, Sn= nai ； (ii )當 q 工 1 時, _ 1 _ = 1 匚二 、 (2) (2n- 1)(

3、 2n+ 1) 2 2n 1 2n + 1 - 1 _ _ n+一 n+ 1 = n +1 n. 高頻考點一分組轉(zhuǎn)化法求和 (1)求數(shù)列an的通項公式； 設(shè) bn= 2an+ ( 1)nan,求數(shù)列bn的前 2n項和. 解當時,s.= =b 盤也荷足$=巧 故數(shù)列的通項公式為匯=吐 由知 乞=戸故b=2=+ t-lKn. 記數(shù)列的前加項和為朮,則忌二(才十2：+十2匕)+ (-1+2-3十4一+3 記=對 + 2； +九 =-14-2-3 + 4+2JJ, e 2 1一護 * 則國= =2 一冇 片1 + 2) + ( 3 + 4) H - 1- (2n 1) + 2n n. 故數(shù)列九的前 加

4、項和=J+5=2：_l+-n-2- 【感悟提升】某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求 得原數(shù)列的和，這就要通過對數(shù)列通項結(jié)構(gòu)特點進行分析研究，將數(shù)列的通項合理分解轉(zhuǎn) 化特別注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論. 【變式探究】已知數(shù)列an的通項公式是 an= 2 3n-1 + ( 1)n (In2 In3) + ( 1)nnln3 , n項和 Sn. 解 Sh = 2(1 + 3 + + 3n 1) + 1 + 1 1 + ( 1)n (In2 In3) + 1 + 2 3 + n 1) nln3, 所以當 n為偶數(shù)時， n 一 1 3 n n n 高頻考點例 1、

5、已知數(shù)列an的前 n項和 Sn = n2+ n Ji-l 求其前 + S = 2 x +QI n3 = 3 +n3 1; 1 3 2 2 當 n為奇數(shù)時, 1 一 3 n 1 Sn = 2 x 一亍一 (In2 - In3) + (丁一 n)ln3 n n 1 =3 - 一？ In3 In2 1. -n n 3 + 2ln3 1, n為偶數(shù)， 1 n n 1 3 2 In3 In2 1, n為奇數(shù). 高頻考點二錯位相減法求和 例 2、(2019 湖北)設(shè)等差數(shù)列a*的公差為 d，前 n 項和為 Sn，等比數(shù)列bn的公比為 q，已知 b1 = a1, b2= 2, q= d, S10= 100.

6、 (1)求數(shù)列an, bn的通項公式； 當 d1 時，記 Cn=-，求數(shù)列知的前 n項和 Tn. 4 一 110 81+ 45 Q100 解由題意得is, 解得 由少1，知 a 2j3lf 故 于是 3 5 7 9 2n 1 心 滬尹尹尹尹十 1 13 5 7 9 2zr-l 小 產(chǎn)云+歹+尹十歹+ 丁， 可得 1 1 1 1 2n 1 2n+ 3 產(chǎn)=2 +尹尹十戶丁 6 丁 I, 2JI+ 3 故 7；=6- 綜上所述, , 顯=2n 1 加+ 79 , 蕾 【感悟提升】用錯位相減法求和時，應注意： (1) 要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形； (2) 在寫出“ S ”與“

7、 qSn ”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出 W qSn”的表達式； 在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于 1 和不等于 1 兩種情 況求解. 【變式探究】已知數(shù)列a*滿足首項為 ai = 2, an+1= 2a*(n N ).設(shè) bn = 3log2an 2(n N),數(shù) 列cn滿足 Cn= anbn. (1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列； 求數(shù)列Cn的前 n項和 Sn. 證明由已知可得，戸即F=G =31og；2-2, 二數(shù)列為首項=1,公差片3的等差數(shù)列. 解心=趙二(3n- 2)X 2 =lX2 + 4X2: + ?X23 + - + (3z

8、r-2)X2 2=1X + 4X23 + 7X2*4- + (3n-5)X2*+ (3JL2)耳嚴打 -得 -=24-3(2I + 2a+2J+- + 2-)- (3ii-2) X2-*1 4 i-2i_: -2 + 3X - - (3ji-2)X2r_L = -10+X2* 二 二 10 (5 . 高頻考點三裂項相消法求和 例 3、設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 an的前 n項和為 Sn,且 Si 滿足 Sn (n + n 3)Sn 3(n + n) = 0, * n N . (1)求 a1的值； 求數(shù)列an的通項公式; (1)解由題意知， $ (n + n 3)Si 3(n + n) = 0, n

9、N . 令 n = 1，有 S? (12 + 1 3)0 3X (12+ 1)= 0, 可得 S2+ S 6 = 0，解得 S= 3 或 2, 即 a1= 3 或 2, 又 an為正數(shù)，所以 a1 = 2. 解 由 S2 (n2 + n 3)Sn 3(n2+ n)= 0, n N 可得,(S + 3)(Sn n2 n)= 0, (3)證明：對一切正整數(shù) n，有 a 1 a1 +1 1 a2 a2 + 1 1 an an+1 1 v_ 3 則 Sn= n2+ n 或 Sn = 3, 又數(shù)列an的各項均為正數(shù)， 所以 Si= n + n, Si1= (n I)? + (n 1). 所以當 n 2

10、時， an = Si S-1 = n2+ n (n 1)2+ (n 1)= 2n. 又 a1= 2 = 2 x 1,所以 an= 2n. (3) 證明當 n = 1 時, 1 1 1 1 亠、 a1 a1 + 1 = 2x 3= 6 3成立 1 1 - - 2n 2n+ 1 2n 1 2n + 1 =1 1 1 2 2n 1 2n+ 1 1 _ an a n+ 1 所以 a1 1 a1+ 1 1 + a2 a2+ 1 1 an an+ 1 1+ Fii 1 1 6+ 2 宙 5 廣 + n 1 2n+ 1 =1+1 1 1 1 + 1=1 6 2 3 2n + 1 6 6 3. 有一1+1 +

11、 1 1 a1 a1+1 a2 a2+1 an an +1 3 a2+ 1 【變式探究】 已知函數(shù) f(x)= xa的圖象過點(4,2),令 an= f 一+ 4 1 + f - , n N* .記數(shù)列an f n + 1 + f n 的前 n項和為則S?019= 【答案】 2018 1 【解析】 由A4)=2可得4f-2,解得尸二 2 I 則 ftr) = x3. f卄1 +f J7 書十1+佛 耳葉=盤 + a+ 戲+ 3=血7 + (一 I)+ (萌一) + “ + (2017-/2016)+ (p2Q18_寸20占) =V2O18-1. 【感悟提升】(1)用裂項相消法求和時，要對通項進

12、行變換，如: n n+ k = kl土)裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)可以相互抵消的項. 點祐=k 時-誦)， (2)抵消后并不一定只剩下第 一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項. 1 a1= 1，當 n2 時，其前 n項和 Sn滿足 Sn= a. S. 求 Sn的表達式; 式兩邊同除以暮得中-+=為 數(shù)列號，是首項為公差為2的等差數(shù)列- =1 + 2（Ji 1） = 1 f 二 = - . 2n 1 22nl 2卄 J m +去+扣】 + + -+（缶角）咼1 1.【2019 高考新課標 1 文數(shù)】(本題滿分 12 分)已知 瓜是公差為 3 的等差數(shù)列，數(shù)列 滿 足 =1, b2 1 =3，

13、 anbn 1 0 1 二 nbn , (I) 求 Sn 1 的通項公式； (II) 求：bn匚的前 n項和. 【答案】 (I) an =3n-1（II）3 - 1n4. 2 2 3 【解析】(I)由已知，a1b2 b - b1, bi - 1,b2 ,得a - 2，所以數(shù)列、an 是首項為 2，公 3【舉一反三】在數(shù)列an中, 設(shè) bn= 2 鬻，求bn的前 n項和 Tn. 差為 3 的等差數(shù)列，通項公式為 a. = 3n -1. =bn，因此bj是首項為 1,公比為-的等比數(shù) （n）由（I）和anb井+bn4,= nbn得bn+ 3 3 Q A 列.記 的前n項和為Sn，則sn = 1 -

14、1 3 （I）求an的通項公式; 0.9=0,2.6=2. 【解析】 （I ）設(shè)數(shù)列的公差為山由題意有M-蟲二 g 十加=3 所以的通項公式為 2l3Iba=2 當n二第5時， 5 當 n=9, 10 時, 所以數(shù)列時的前10項和為13 + 2x2+3x3 + 4x2=241 1-（ 2 2 3nJ 2.【2019 高考新課標 2 文數(shù)】等差數(shù)列 an中, a3 a 4 = 4,a5 a 7=6. （H）設(shè)bn二an，求數(shù)列bn的10 項其中X表示不超過x的最大整數(shù)，如 【答案】（I）an 2n 3 5 ；（n）24. 當 n=6, 2n+3 3ll 4:bn=3 3. 【2019 高考北京文

15、數(shù)】（本小題 13 分） 已知an是等差數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且b2 = 3, b3 = 9, ai=b|, a14 =b4. （1） 求an的通項公式； （2） 設(shè)c an bn，求數(shù)列Cn的前 n項和. 2 3n _1 【答案】（1）an=2 n1（ n=1，2，3， ）；（ 2）n + 2 【解折】 I）等比數(shù)列匕的公比g二色= 2 = 3, 3 所以.毎二冬=1, = 2 T q 設(shè)等差數(shù)列陽的公差為 因為阿=知=】J 4 =萬斗二2， 所臥1 + 13 = 27 ,即d=2 . 所以務=2總一（用=1, 2? X人 （II由（I ）知，aH=2n-l, 4=廣】. 因此q j +虬2

16、沖一 1 + 3小* 從而數(shù)列匕的前甘項和 S” = 1 + 3 + （ 2 11+1 + 3 H 313-1 _打（1亠2林一 1） , 1一3用 2 + 1-3 r 2 3n-i =科亠+, 2 4. 【2019 高考山東文數(shù)】（本小題滿分 12 分） 已知數(shù)列的前 n項和Sn =3n2，8n ,仏？是等差數(shù)列，且a bn bn d. （I）求數(shù)列 fbn?的通項公式; 【答案】（I） bn =3n1；（n）Tn =3n 22 【解析】 （I）由題意ML當也2時，巧=二一九】丸卄廠 當科二1時，硯二S】二11,符合上式，所扶礙=6旳+ 5. a, = by + 11 = 設(shè)數(shù)列的公差為乩由

17、；*訂叫心詁抑解之得心宀 6 所以心小 由7； =6+5 + 6 +-+% 得7； =3x2x2:+3x23 +-+(+l)x2M+1, 27； = 3X2X23 + 3X24+(M+1)X2,!=4, an 1 =2Sn+i, * nN. （I） 求通項公式an ； （II） 求數(shù)列|an -n 2的前n項和. 2,n=1 【答案】（I） an =3n4,n N ; （II）-_3n _ n2 -5n 11 * - ,n_2,n N L 2 【解析】(II)令 Cn (an 1)n 1 (bn 2)n 求數(shù)列 CcJ 的前 n項和Tn. （II）由（I知 J (6 旳 + 6)2 (3+3)

18、fl = X + 1) q a2 =4 c =1, (I)由題意得比二細1，則比=3. 又當 n32 時，由 an + _a (2S + 1(2Sn +1 2an 得 antf = 3an n * 所以，數(shù)列an的通項公式為an =3 , nN . (n)設(shè) bn 斗3山一 n-2 | n N * t! =2,th = 1 . 當n 一3時， 由于 3nn+2，故 5=3心一 n2, n3. 設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T =2，T2 =3 當n 一3時， T o 9(1_3心)(n + 7)( n_2) 3n_n2-5 n+11 Tn = 3 - 1-3 2 2 T 二 n 2, n =

19、1, 3n - n2 -5n 11 * - ,n _ 2, n = N . 所以， 1 2 【2019 高考福建，文 17】等差數(shù)列 訂鳥中，a2=4，aa7=15 . (I)求數(shù)列 的通項公式； (n)設(shè) bn =2*4 n,求 bi b2 bio 的值. 【答案】(I) an = n，2 ； (n) 2101. 【解析】i殳等差數(shù)列匕的公差為d . 口】+川二斗 （硏+3川）+1坷+6刃I - 15 所以比=斫+ |科11）孑=n +1 （II）由（I）可得片=廿 和占+ +坷 + 十 二（2+1）+（2：+2）+（2*3）+（滬十 10） =（2+2Z+23 + -+21 ）+（1-2+

20、3-+10） _2（1-2W） （1+10）x10 1-2 2 11 =2 -2 55 11 =2 53=2101. 【2019 高考北京，文 16】（本小題滿分 13 分）已知等差數(shù)列 春 滿足ara2=10 ,a4-a3=2. （I） 求 a i 的通項公式； （II） 設(shè)等比數(shù)列 匕滿足b2 = a3， b3 = a7，問：bs與數(shù)列匕昇的第幾項相等？ 【答案】（I） an =2 n，2 ；（ II）b與數(shù)列的第63項相等.由已知得 【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列匕的公差為乩 因為0 斗一隔=2、所以= 2 又因為碣+礙=10所以2絢+二10，故tJj = 4. 所以氐=4+2(-1) = 2

21、+2 4fl=2M-2M = w-4fti所以兀=14 + 24+ -4 所以42； =1心2 舉 +(-1) 4ft + 4*41. 兩式相減，得-3Tn -41 42 . 4n - n 4n 1 4(1-4n) 14 1 _ 3n n -1 4 -x. 3 3 3n _1 所以9 4n1 .4=4 (3n-1) 4n 1 9 一 9 【2019 高考重慶，文 16】已知等差數(shù)列 Can 滿足a3=2，前 3 項和Ss = 9 . 2 (I)求 3n ?的通項公式, 【2019 高考山東，文 19】已知數(shù)列 1 的前n項 (n)設(shè)等比數(shù)列 g 滿足 3 =印,匕4 =冃5，求 E 前 n項和

22、 Tn. n + 1 【答案】(I) an = 一 , (n) Tn =2n-1. 2 【解析】 設(shè)匕的公差為d ,貝!由已知條件得 優(yōu)簡得十加碼+二才 解得斫Is d 故通項公式兔=1-即= 7 7 1忒+1 由(1得斑=1占4=斫尸三一 設(shè)他的公比為Q則q ? 乂&從而“ 2 4 故仇的前口項和 r_az)_ixOIr)_r_1 ” l-q 1-2 1. (2019 江西卷)已知首項都是 1 的兩個數(shù)列an, bn(bnMQ n N*)滿足 anbn + 1 an +1 b n + 2bn+ 1 b n= 0. a (1)令 Cn= n，求數(shù)列Cn的通項公式； bn 若 bn= 3

23、nT，求數(shù)列an的前 n項和 S. * an+1 an 【解析】 因為 anbn +1 an+ 1bn+ 2*+ 1bn= 0, g M 0( N ),所以 J1 - n = 2，即 Cn+ 1 cn = 2, bn+1 bn 所以數(shù)列 G是以 C1= 1 為首項，d = 2 為公差的等差數(shù)列，故 Cn= 2n 1. 由 bn= 3n 1，知 an= (2n 1)3n j 于是數(shù)列an的前 n 項和 Sn= 1x3+ 3x3+ 5X3+T(2n 1) x3 1, 35= 1x3 + 3x3+ (2n 3) x31 + (2n 1) x3,將兩式相減得一 2= 1+ 2x (3+ 32 + +

24、3n1) (2n 1) xn= 2 (2n 2) x3, 所以 Sn= (n 1)3n + 1. 2. (2019 全國卷)等差數(shù)列an的前 n項和為 S.已知 a1= 10, a?為整數(shù)，且 Sn詬L (1)求an的通項公式；1 設(shè) bn= ,求數(shù)列bn的前 n項和 Tn. anan+1 【解析】由6 = 0工為整數(shù)知，等差數(shù)列伽的公差川為整數(shù). 又 S3,故 d40, d50? 于是1。+ 3左Q, 10+ 4枚 因此d=_3- 故數(shù)列伽的通項公式為皿=13 3乩 I卯(13卻)(10-3rt)九10助口一珈丁疋 4 創(chuàng)十久十十內(nèi)3V 1P U 1J (1 1 、If 1 1、 n 110

25、3?! 13 3?t/ 3 1 =1 + 字一 16 2 1 * 5. （2019 湖南卷）設(shè) Sn為數(shù)列an的前 n項和，S = （- 1）忌一歹,n N,則 (1) _ a3 = ； (2) _ S1 + S + + S= _ 【解析】寺1 ；解析Sa=（- 1丹3-二則亂=-出-右54=34-.解得妥二一寺 當n為偶數(shù)時気=血一當口為奇數(shù)時，Sa= a 可得當且為奇數(shù)時西=石云, _ n ( n ( n ( I、 !；+ 0 _元葉+； _亟_亦;+沖唧) MB J %. an MB ar 兩式相減得又 S 4-S：+ .+ =Sioa2ai+囲 + + 求數(shù)列an的通項公式； 口 an

26、+ 1 * （2）設(shè)數(shù)列bn的前 n項和為 Tn,且 Tn+ 廠=入（為常數(shù)），令 Cn = b2n（n N ），求數(shù)列Cn的前 n項和 Rn. 【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的首項為 ai,公差為 d. 得. 4a1 + 6d = 8a + 4d, a1 +( 2n 1) d= 2a + 2 (n 1) d + 1, 解得 a1 = 1, d = 2,因此 an= 2n 1, n N . n n n 1 n 2 (2)由題意知 Ti =入一 2門-1 ,所以 n時，bn= Tn Tn- 1 = ?n-1+ ?n -2 = 2門-1 . 故 cn= b2n = 所以 Rn= 0X 燈 + 1

27、 xf) + 2 + + + (n 1) 則 4=0 +1x1 +2x 43 + + (n 2) x4n 1 + (n 1) 二一晝+船+一置直+ 31藥 丄 Xs J * n N . C.n2+ 1-十 D. n2- n + 1 -壬 3 1 4- 4 1 _(n-1) 1-1 =1 1 + 3n |1 屮 =3- 3 4 , 整理得 Rn= 94 - ?+11 1 3n + 1 所以數(shù)列Cn的前 n項和 Rn= 94 4*-1 押題專練 1 1 ,76，（2n 1） +尹的前 n項和 Sn的值等于（） 2 1 A. n2 + 1-尹 2 1 B. 2n2- n+ 1-尹 【答案】 A 【解

28、析】 該數(shù)列的通項公式為務=（亦-1） + p 則二1 + 3+5+- + （2打一1）】+弓+寺十+呂）一 + 1 養(yǎng). 2已知an為等差數(shù)列，其公差為一 2，且 a7是玄3與 a?的等比中項，Sn為a.的前 n項和，n N , 則 Sio的值為（） A- 110 B - 90 C. 90 D. 110 【答案】D 【解析】 通過 a7是 a3與 a9的等比中項，公差為一 2,所以 a?= a3 a?,所以 2 a7= (a7 + 8)(a7 10 X 9 -4)，所以 a7= 8,所以 a1 = 20,所以 0。= 10 X 20+_X (-2) = 110,故選 D. 3.已知函數(shù) f(

29、n)= n2cos(n n )，且 an= f(n)+ f(n + 1)，貝 V ai + a2 + a3+ aioo等于() A.- 100 B. 0 C. 100 【答案】 A D. 10200 【解析】 若口為偶叛則毎=應)+如+1)=#- (加+1)，所以注是首項為尸一亦公差 為一4的等差數(shù)列；若打為奇數(shù)，則a=?(n) + f(n+l) = -A+ (n+1)*=2JJ+1；所以基是首項為=3, 公差為4的等差數(shù)列*所以* +色+ + cc(乞+ 6 屛+ (比+民 1- a；) 50X 3 +甜、婦乂4 ” 、50X49 + 50X (-E) - X4=-100. 2 4. 數(shù)列a

30、n中，an+1 + (- 1)nan= 2n- 1,則數(shù)列 何的前 12 項和等于() A. 76 B. 78 C. 80 D. 82 【答案】B 【解析】 由已知 an+1 + ( 1)nan= 2n 1，得 an+2+ ( 1)n an+1 = 2n + 1,得 an+ 2+ an =( n= 1,5,9 及 n = 2,6,10，結(jié)果相加可得 Si2= a?+ a3+玄厶+十 an + a12 = 78.故選 B. 等于() 【答案】B 【解析】 由題意，得 a1 + a2+ a3+ ago =12 22 22+ 32+ 32 42 42 + 52 + 992 1002 1002+ 10

31、12 =(1 + 2) + (3 + 2) (4 + 3) + 一(99 + 100) + (101 + 100) =(1 + 2 + + 99+ 100) + (2 + 3+-+ 100 + 101) =50X 101 + 50X 103= 100.故選 B. 6在等差數(shù)列an中，a10, aw an v0，若此數(shù)列的前 10 項和 0。= 36,前 18 項和$8= 12,則數(shù)列| an|的前 18 項和 T18的值是 _ . 【答案】 60 【解析】 由 a0, a10 a1 v 0 可知 dv 0, a1 0, an v0, 二8= 81 + a10 an 一 a18 =S10 (08

32、 Bo) = 60. 7.整數(shù)數(shù)列an滿足 an+ 2= an+1 an (n N*)，若此數(shù)列的前 800 項的和是 2019，前 813 項的 和是 2000，則其前 2019 項的和為 _ . 【答案】 13 【解析】 由 an+ 2= an+1an,得 an+ 2= an an-1 an= an-1 ,易得該數(shù)列是周期為 6 的數(shù)列， 且 an+ 2+ an-1 = 0, S800= a + a2 = 2019 , S813 = a + a2 + a3 = 2000,1)n(2 n 1) + (2n+1),取 5.已知函數(shù)當n為奇數(shù)時 當 n為偶數(shù)時 且 an= f(n)+ f(n+ 1),則 a1 + a2 + a3+ a100 A. 0 B. 100 C. 100 D. 10200 a3= a2 ai = 13, a2+ a1= 2013, a3= 13, 依次可得 a5= 1000, a6 = 13, a4=