19.3.2 菱形的判定

1、19.3.2 19.3.2 菱形的判定菱形的判定矩形與菱形矩形與菱形 矩形矩形 菱形菱形定義定義有一角是有一角是直角直角的平行的平行四邊形叫做矩形四邊形叫做矩形. .有一組有一組鄰邊相等鄰邊相等的平行四的平行四邊形叫做菱形邊形叫做菱形. .具有平行四邊形的一切性質具有平行四邊形的一切性質性質性質邊邊角角對角線對角線四個角都是直角四個角都是直角相等相等互相垂直且平分每一組對角互相垂直且平分每一組對角判定判定有一角是直角的平行四邊形有一角是直角的平行四邊形對角線相等的平行四邊形對角線相等的平行四邊形三個角都是直角的四邊形三個角都是直角的四邊形四條邊都相等四條邊都相等u根據菱形的定義根據菱形的定義,

2、 ,可得菱形的可得菱形的四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 且且AB=ADAB=AD四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形數學語言：數學語言：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形ABCDO還有其他么方法嗎還有其他么方法嗎?判定方法判定方法1 1：探究一探究一 用一長一短兩根細木條用一長一短兩根細木條, ,在它們的中點在它們的中點處固定一個小釘處固定一個小釘, ,做成一個可以轉動的十字做成一個可以轉動的十字, ,四周圍上一根橡皮筋四周圍上一根橡皮筋, ,做成一個四邊形做成一個四邊形. .轉動轉動木條木條, ,這個四邊形什么時候變成菱形這個四邊形

3、什么時候變成菱形? ?對角線互相垂直的對角線互相垂直的平行四邊形是菱形平行四邊形是菱形.命題：命題：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知：在已知：在 中，中，AC BDAC BDABCDABCD求證：求證： 是菱形是菱形ABCDO證明：證明：四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形OA=OCOA=OC又又ACBD; ACBD; BA=BC BA=BC ABCD ABCD是菱形是菱形判定方法判定方法2 2：u對角線互相垂直的平行四邊形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形是菱形ACBD在在ABCDABCD中，中，ACBDACBD ABCDABCD是菱形是菱

4、形ABCD菱形菱形ABCDABCDABCDABCD幾何語言：幾何語言：例例1 1：已知：已知: : ABCD的對角線的對角線AC的垂直平分線與的垂直平分線與邊邊AD 、BC分別交于分別交于E、F求證求證: :四邊形四邊形AFCE是菱形。是菱形。BDCFEAO 先畫兩條等長的線段先畫兩條等長的線段ABAB、ADAD，然后分別以，然后分別以B B、D D為圓心，為圓心，ABAB為半徑畫弧，得到兩弧的交點為半徑畫弧，得到兩弧的交點C C，連接，連接BCBC、CDCD，就得到了一個四邊形，猜一，就得到了一個四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？說出你的理由猜，這是什么四邊形？說出你的理由猜想：猜想：有四條邊

5、相等的四邊形是菱形。有四條邊相等的四邊形是菱形。ABCDO探究二探究二命題：命題：有四條邊相等的四邊形是菱形。有四條邊相等的四邊形是菱形。已知：在四邊形已知：在四邊形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=DA.求證：四邊形求證：四邊形ABCDABCD是菱形是菱形DABC證明：證明：AB=CD,AD=BCAB=CD,AD=BC四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形又又AB=AD,AB=AD,四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形u四條邊都相等的四邊形四條邊都相等的四邊形是菱形是菱形. .AB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDABCD在四邊形在四

6、邊形ABCDABCD中中AB=BC=CD=DAAB=BC=CD=DA四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形四四邊形邊形ABCDABCD判定方法判定方法3 3：數學語言數學語言菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形對角線互相垂直的平行四邊形是菱形有四條邊相等的四邊形是菱形。有四條邊相等的四邊形是菱形。+鄰邊相等鄰邊相等 =+ +對角線線互相垂直對角線線互相垂直= = 四條邊相等四條邊相等+ =文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言判定判定法一法一判定判定法二法二對角線互相垂直對角線互

7、相垂直的平行四邊形是的平行四邊形是菱形菱形判定判定法三法三四邊相等的四邊四邊相等的四邊形是菱形形是菱形菱形的判定：菱形的判定：ABCDAB=BC=CD=DA四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中ACBD四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形在在ABCD中中AB=AD四邊形四邊形ABCD是菱形是菱形ABCDOABCD 一組鄰邊相一組鄰邊相等的平行四等的平行四邊形是菱形邊形是菱形1 1、老師說下列三個圖形都是菱形、老師說下列三個圖形都是菱形, ,你相信嗎你相信嗎? ?5534345555 有一組鄰邊有一組鄰邊相等的平行四相等的平行四邊形叫做邊形叫做菱形菱形 對角線互相對角線互相垂直的平行四垂直

8、的平行四邊形是邊形是菱形菱形 有四條邊相等的有四條邊相等的四邊形是四邊形是菱形菱形。33442 2、判斷下列說法是否正確？為什么？、判斷下列說法是否正確？為什么？(1)(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；對角線互相垂直的四邊形是菱形； （ ）(2)(2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；（ ）(3)(3)對角線互相垂直對角線互相垂直, ,且有一組鄰邊相等且有一組鄰邊相等 的四邊形是菱形；的四邊形是菱形； （ ）(4)(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一 組對角的四邊形是菱形組對角的四邊形是菱形 （ ） ADBCABCD 3

9、3、ABCDABCD的對角線的對角線ACAC與與BDBD相交于點相交于點O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，則，則ABCDABCD是是 形；形；（2 2）若）若AC=BDAC=BD，則，則ABCDABCD是是 形；形；（3 3）若）若ABCABC是直角，則是直角，則ABCDABCD是是 形；形；（4 4）若）若BAO=DAOBAO=DAO，則，則ABCDABCD是是 形。形。ABCDO矩矩菱菱矩矩菱菱（1 1）. .下列命題中正確的是（下列命題中正確的是（ ） A.A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B.B.三條邊相等的四邊形是菱形三條邊相等的四邊形是菱形 C.

10、C.四條邊相等的四邊形是菱形四條邊相等的四邊形是菱形 D.D.四個角相等的四邊形是菱形四個角相等的四邊形是菱形C（2 2）. .對角線互相垂直且平分的四邊形是（對角線互相垂直且平分的四邊形是（ ） A.A.矩形矩形 B.B.一般的平行四邊形一般的平行四邊形 C.C.菱形菱形 D.D.以上都不對以上都不對C（3 3）. .下列條件中，不能判定四邊形下列條件中，不能判定四邊形ABCDABCD為菱形的是（為菱形的是（ ） A.ACBD,ACA.ACBD,AC與與BDBD互相平分互相平分 B.AB=BC=CD=DAB.AB=BC=CD=DA C.AB=BC,AD=CD, C.AB=BC,AD=CD,且

11、且ACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBDACBD D.AB=CD,AD=BC,ACBDC4 4、選擇：、選擇：2424菱形菱形 5 5、一邊長為、一邊長為5cm5cm平行四邊形的兩條對角平行四邊形的兩條對角線的長分別為線的長分別為6cm6cm和和8cm8cm，則這個平行四邊，則這個平行四邊形為形為 ，其面積為，其面積為 。ABCDEF6 6、如圖在菱形、如圖在菱形ABCDABCD中中,CEAB,CFAD.,CEAB,CFAD. 則則CE CFCE CF，BE DFBE DF。7 7、如圖，、如圖， ABCDABCD的兩條對角線的兩條對角線ACAC、BDBD相交于相交于點點O O，AB=

12、5AB=5，AC=8AC=8，DB=6DB=6 求證求證: :四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .ABCDO四邊形四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .OA=OC=4 OB=OD=3OA=OC=4 OB=OD=3證明證明: :又又AB=5AB=5 ACBDACBDAOB=90AOB=90又又 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形ABAB2 2=AO=AO2 2+BO+BO2 28 8、已知：如圖，、已知：如圖，ADAD平分平分BACBAC，DEAC DEAC 交交ABAB于于E E，DFABDFAB交交ACAC于

13、于F F 求證：四邊形求證：四邊形AEDFAEDF是菱形是菱形 321ABCDEF AEDFAEDF是菱形是菱形證明：證明：DEAC DFABDEAC DFAB四邊形四邊形AEDFAEDF是平行四邊形是平行四邊形 DEAC DEAC2=32=3 AD AD是是ABCABC的角平分線的角平分線 1=21=2AE=DEAE=DE 1=3 1=39、如圖，順次連接矩形、如圖，順次連接矩形ABCDABCD各邊中點，得各邊中點，得到四邊形到四邊形EFGHEFGH，求證：四邊形，求證：四邊形EFGHEFGH是菱形。是菱形。HGFEDCBA證明：連接證明：連接ACAC、BDBD四邊形四邊形ABCDABCD是

14、是矩形矩形AC=BDAC=BD點點E E、F F、G G、H H為各邊中點為各邊中點1122EFGHBDFGEHAC，EF=FG=GH=HEEF=FG=GH=HE四邊形四邊形EFGHEFGH是菱形是菱形1010、已知：如圖、已知：如圖, , ABCD ABCD的對角線的對角線ACAC的的垂直平分線與邊垂直平分線與邊ADAD，BCBC分別交于分別交于E E，F F求證：四邊形求證：四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形ABFCDEOEF垂直平分垂直平分ACACAO=CO, AOE=90AO=CO, AOE=90FOC=AOE=90FOC=AOE=90四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 ADBC AEFCAEO=CFOAEO CFO證明：證明：OE=OF又又AO=COAO=CO四邊形四邊形AFCEAFCE是平是平行四邊形行四邊形又又EFEFACAC四邊形四邊形AFCEAFCE是菱形是菱形ADCBEF把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷把兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，你能判斷重疊部分重疊部分ABCDABCD的形狀嗎？的形狀嗎？思考:請你動腦筋請你動腦筋