高中物理（人教大綱版）第一冊 第六章 萬有引力定律 四、萬有引力定律在天文學上的應用(備課資料)

1、備課資料一、天體密度的計算要想計算天體的密度，設天體半徑已知，即可得到天體的體積，再求得天體的質(zhì)量、天體的密度就可求得.求天體質(zhì)量時，首先應以此天體作為中心天體，具體求解時可有兩條思路：a.F引=F向，b.F引mg.a.F引=F向，即Gr，得：M=(其中：M為中心天體質(zhì)量，m為環(huán)繞天體質(zhì)量，T為環(huán)繞天體的繞行周期，r為環(huán)繞天體的軌道半徑)設中心天體的半徑為R，則其體積為V=R3.所以=如果環(huán)繞體在中心體表面運行，則r=R,所以=b.F引mg,即G=mg,得M=(其中：g為中心體表面或附近的重力加速度)設中心體半徑為R，則體積V=R3所以=二、科學家發(fā)現(xiàn)太陽系第十大行星英國天文學家約翰·

2、;默里博士可能發(fā)現(xiàn)了太陽系第十大行星.這顆行星可能是在別處誕生的一顆新星，在銀河系漫游時被太陽系的行星系統(tǒng)捕捉到了.這顆肉眼觀測不到的行星體積是已知太陽系最大行星木星的幾倍以上.這顆行星環(huán)繞太陽運行一周需要600萬年的時間.這一速度可以解釋人們以前為什么沒有發(fā)現(xiàn)它的原因：它的移動速度極為緩慢.三、對天體運動問題的分析(一)萬有引力定律與天體圓運動問題的分析方法1.萬有引力定律若兩個質(zhì)量分別為m和M的質(zhì)點相距r，則其間相互作用的萬有引力的大小為F=GmM/r2 應該明確的是：(1)式中的G被稱為引力常量，其值為G=6.67×1011 N·m·kg2.(2)式適用于兩

3、個質(zhì)點間萬有引力大小的計算，而對于兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力大小的計算，也可用式，只是式中的r應理解為兩球心間的距離.2.天體圓運動問題的分析方法對于那些在萬有引力作用下，圍繞某中心天體(M)做圓運動的天體(m)來說，其圓運動問題的分析應緊緊把握住“引力充當向心力”這一要點來進行，即GmM/r2=ma.式中的向心加速度an=v2/r=r242r/T2.至于an應取何種表達形式，應依具體問題來確定.例1已知月球繞地球轉(zhuǎn)動周期為T，軌道近似為圓，月、地間距離為r.則地球的質(zhì)量M為多大？分析與解 對于這種典型的“天體圓運動問題”的分析，我們把握住“引力充當向心力”的分析要點，同時考慮到題設條

4、件中給出了周期T，因此可以用T來表示向心加速度.于是有GmM/r2=42rm/T2.可解得地球質(zhì)量為M=42r3/GT2.(二)開普勒行星運動定律與天體橢圓運動問題的分析方法1.開普勒行星運動定律第一定律：行星沿橢圓軌道繞太陽運動，太陽在橢圓軌道的一個焦點上.第二定律：行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積.即vrsin=常量.式中v為行星的運動速度，r為從太陽引向行星的矢徑，則為速度與矢徑之間的夾角.第三定律：行星繞太陽做橢圓運動的公轉(zhuǎn)周期的平方與軌道半長軸的立方成正比.即T2/a3=42/GM.式中G為引力常量，M則為太陽的質(zhì)量.2.天體橢圓運動問題的分析方法若把適用于行星繞太陽做橢

5、圓運動的開普勒定律推廣到一般的繞中心天體(M)做橢圓運動的天體(m)上，開普勒定律的形式不變.只是此時式中的“常量”成了一個與新的中心天體相關的常量；式中的M也成了新的中心天體的質(zhì)量而不再是太陽的質(zhì)量了.于是，對于一般的天體的橢圓運動問題的分析，則可以依靠推廣了的開普勒定律.當然，在一些較為特殊的天體橢圓運動問題中，有時也可以利用“位置的特殊性”和“軌道的對稱性”而借助于萬有引力定律來分析.例2如圖所示，衛(wèi)星繞質(zhì)量為M的地球做橢圓運動，在近地點和遠地點處與地心分別相距a和b，則衛(wèi)星在通過近地點和遠地點時其運動速度大小之比為v1v2=_.衛(wèi)星從近地點運動到遠地點所經(jīng)歷的最短時間為t=_.解析：對

6、于這種一般的天體橢圓運動問題，通常是利用開普勒定律來分析求解的.由開普勒第二和第三定律分別有：v1a=v2b=k(常量).T2/()3=42/GM.由此便可分別解得：衛(wèi)星在近地點和遠地點處運動速度大小之比為v1v2=ba ；衛(wèi)星從近地點到達遠地點所經(jīng)歷的最短時間為t=T=.當然，此例中式給出的結論亦可由萬有引力定律求得.由萬有引力定律可得，衛(wèi)星在近地點和遠地點處分別有式中的R為橢圓軌道在近地點和遠地點這兩個對稱的特殊位置處的曲率半徑.由上式便可求得v1與v2之比如式所給出.四、萬有引力定律應用時應分清的幾個概念1.天體半徑和衛(wèi)星軌道半徑例3一宇宙飛船到某星球上探測，宇航員想知道該星球的密度，而

7、身邊只有一塊手表，他該怎么辦呢？解析：當宇宙飛船繞著星球運行時，可將其視為該星球的一顆衛(wèi)星，根據(jù)關系式GMm/r2=mr42/T2(這里r是宇宙飛船的軌道半徑)，而=(R為星球半徑).因此要想求得星球的密度必須使飛船的軌道半徑r=R，才能得出=3/GT2.所以宇航員只要讓飛船貼近該天體的表面繞行一周，用手表測出周期，即可求得星球的密度.2.自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期自轉(zhuǎn)周期是天體繞自身某軸線轉(zhuǎn)動一周的時間，公轉(zhuǎn)周期是衛(wèi)星繞中心天體做圓周運動一周的時間.一般情況下天體的自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期是不等的，如地球自轉(zhuǎn)周期為24小時，公轉(zhuǎn)周期為365天.在應用中要注意區(qū)別.例4已知太陽光射到地球需時t=500 s，

8、地球同步衛(wèi)星的高度h=3.6×104 km.試估算太陽和地球的質(zhì)量.解析：設太陽質(zhì)量為M1，地球質(zhì)量為M2，地球同步衛(wèi)星質(zhì)量為m.由地球繞太陽做圓周運動知：GM1M2/r2=M2r42/T2,求得M1=.式中r=vt,v為光速.再根據(jù)地球同步衛(wèi)星繞地球做圓周運動得：=m(R地+h),得M2=.代入數(shù)據(jù)可求得M1、M2=.注意T、T分別是地球的公轉(zhuǎn)周期和自轉(zhuǎn)周期.當然，也有的天體自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期相同，如月球的自轉(zhuǎn)周期等于它繞地球的公轉(zhuǎn)周期，故月球總是以同一面朝向地球.3.同步衛(wèi)星和一般衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星和其他地球衛(wèi)星雖然都繞地球運行，但它們之間卻有著明顯的區(qū)別.地球同步衛(wèi)星是相對于地球

9、靜止，和地球自轉(zhuǎn)具有相同周期的衛(wèi)星，它的周期T=24 h.由于衛(wèi)星受到的地球引力指向地心，在地球引力的作用下同步衛(wèi)星不可能停留在與赤道平面平行的其他平面，它一定位于赤道的正上方.如我國發(fā)射的電視轉(zhuǎn)播衛(wèi)星，不是定點在北京上空或其他什么地點的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亞上空.根據(jù)牛頓第二定律GMm/r2=m02r,得r=.可見同步衛(wèi)星離地心的距離是一定的，代入數(shù)據(jù)得r=4.24×104 km，且線速度v=r0=3.08×103 m/s也是一定的，其繞行方向與地球自轉(zhuǎn)同向.而一般衛(wèi)星的周期、線速度等可比同步衛(wèi)星大，也可比同步衛(wèi)星小，但線速度等可比同步衛(wèi)星大，也可比同步衛(wèi)星小

10、，但線速度最大值為v=7.9 km/s，最小周期大約85 min，軌道也可是任意的，軌道平面一定通過地球球心.例5同步衛(wèi)星離地距離r，運行速率v1，加速度a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則( )A.a1/a2=r/RB.a1/a2=R2/r2C.v1/v2=R2/r2D.v1/v2=解析：同步衛(wèi)星和赤道上的物體的角速度相等，據(jù)a=r2知a1/a2=r/R.第一宇宙速度是衛(wèi)星貼近地面繞行的速度，同步衛(wèi)星也屬于一種衛(wèi)星，故速率v=,所以v1/v2=,本題應選AD.4.赤道上的物體和近地衛(wèi)星放在赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時受兩個力的作用，一個是地球?qū)λ娜f有引力，另一個是地面對物體的支持力.這兩個力的合力提供了物體做圓周運動的向心力，即G=N=mR02,這里N=mg.物體的向心加速度a=R020.034 m/s2,遠小于地面上物體的重力加速度g=9.8 m/s2，故在近似計算中可忽略自轉(zhuǎn)影響，而認為地面上物體的重力和該物體受到的萬有引力大小相等.繞天體運行的衛(wèi)星，只受一個力即萬有引力，衛(wèi)星上物體處于完全失重狀態(tài)，故F=mg=ma.衛(wèi)星的向心加速度a等于衛(wèi)星所在處的重力加速度g，對近地衛(wèi)星來講