第五節(jié) 點(diǎn)的軌跡的構(gòu)造

1、第五節(jié) 點(diǎn)的軌跡的構(gòu)造例1：P為圓上任意一點(diǎn)，O為圓外的點(diǎn)，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OP中點(diǎn)M的軌跡是什么？操作步驟：1，作基本圖形。作一圓，在圓上取一點(diǎn)P，在圓外作一點(diǎn)O，連接OP，構(gòu)造其中點(diǎn)M2，制作P點(diǎn)的動(dòng)畫。選擇點(diǎn)P，執(zhí)行“編輯/操作類按鈕/動(dòng)畫”命令制作點(diǎn)P的動(dòng)畫按鈕3，追蹤點(diǎn)M的軌跡。選擇點(diǎn)M，執(zhí)行“顯示/追蹤中點(diǎn)”命令4，單擊按鈕，查看結(jié)果，按“Esc”就能清除軌跡5，構(gòu)造點(diǎn)M的軌跡：選定點(diǎn)P和點(diǎn)M（沒有先后），單擊菜單命令：【構(gòu)造】【軌跡（U）】構(gòu)造軌跡的前提條件是：選定兩點(diǎn)，一點(diǎn)是在一條路徑上的自由點(diǎn)和能夠跟隨此點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)即被動(dòng)點(diǎn)。路徑可以是任何線（線段、直線、射線）軌跡、函數(shù)

2、圖像。例2：橢圓的畫法（一）操作步驟：1，畫圓，圓心為A，在圓周上畫一點(diǎn)D，在圓內(nèi)畫一點(diǎn)C，連結(jié)AD，CD2，作線段CD的垂直平分線，作垂直平分線和直線AD的交點(diǎn)E。3，構(gòu)造軌跡：選定E點(diǎn)和D點(diǎn)，單擊菜單命令：【構(gòu)造】【軌跡（U）】4，隱藏不必要對(duì)象 選定圓、兩直線、點(diǎn)E、D、B例3畫出一條直線繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的軌跡操作步驟：，畫一圓，圓心為A，在圓上畫一點(diǎn)C，作線段AC，作過C點(diǎn)垂直于AC的垂線，選擇垂線，執(zhí)行“顯示/追蹤直線”命令；3，隱藏圓、線段AC、點(diǎn)B，執(zhí)行“顯示/顯示運(yùn)動(dòng)控制臺(tái)”4，選擇C點(diǎn)，單擊運(yùn)動(dòng)控制臺(tái)上的播放按鈕，修改速度5，按Esc鍵取消追蹤結(jié)果，選擇點(diǎn)C及垂線，執(zhí)行【構(gòu)造】【軌

3、跡（U）】例4作過兩點(diǎn)的圓系，即過兩點(diǎn)的所有圓操作步驟：，作兩點(diǎn)、，過此兩點(diǎn)的線段，線段的中點(diǎn)，中垂線，在垂線上取一點(diǎn)，作以該點(diǎn)為圓心，為圓上點(diǎn)的圓，選擇圓，執(zhí)行“顯示/追蹤圓”命令；，選擇圓心，建立動(dòng)畫例5探索線段的端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)其中點(diǎn)及中垂線的軌跡操作步驟：，作一圓，作一線段，為圓上的一點(diǎn)，為圓外的點(diǎn)，作的中點(diǎn)及中垂線，選擇中點(diǎn)，執(zhí)行“顯示/追蹤點(diǎn)”命令；選擇中垂線，執(zhí)行“顯示/追蹤垂線”命令；，建立點(diǎn)的動(dòng)畫：選擇點(diǎn)，通過“編輯/操作類按鈕/動(dòng)畫”命令建立動(dòng)畫。綜合實(shí)例：一、正方形的畫法（一） 二、菱形的畫法（一） 例6畫雙曲線操作步驟：1，作一圓，圓心為A2，在圓周的水平方向上（右邊）

4、作一點(diǎn)C，選擇點(diǎn)A，C，執(zhí)行“構(gòu)造/射線”3，在A的延長線上作一點(diǎn)D，過D作一線段D，其中E為圓的下半部分上的一點(diǎn)4，作DE的中點(diǎn)F，過F作DE的垂線4，選擇點(diǎn)E、A，作一直線交的中垂線于G6，依次選擇E、G，執(zhí)行“構(gòu)造/軌跡”命令第三章 用變換菜單作圖在幾何畫板中，研究的是圖形的演變。我們能對(duì)圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射、迭代等變換。一、旋轉(zhuǎn)對(duì)象一個(gè)或一個(gè)以上圖形以某一點(diǎn)為標(biāo)記中心作旋轉(zhuǎn)變換。點(diǎn)B以點(diǎn)A為標(biāo)記中心旋轉(zhuǎn)度，即固定線段AB的端點(diǎn)A，然后線段AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到線段AB，則B為B點(diǎn)以A為標(biāo)記中心旋轉(zhuǎn)度后得到的點(diǎn)，圖形的旋轉(zhuǎn)是先旋轉(zhuǎn)圖上的各點(diǎn)，然后再連結(jié)得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。例1：畫一

5、個(gè)正方形作圖思路：將一線段以其左端點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)90度操作步驟：1、畫線段AB。2、用選擇工具雙擊點(diǎn)A，點(diǎn)A被標(biāo)記為中心。3、用選擇工具選取點(diǎn)B和線段AB，由菜單“變換”-“旋轉(zhuǎn)”，在彈出的“旋轉(zhuǎn)”對(duì)話框中以固定角度旋轉(zhuǎn)90度4、雙擊點(diǎn)B，標(biāo)記新的中心。5、用選擇工具選取點(diǎn)A和線段AB，由菜單“變換”-“旋轉(zhuǎn)”，在彈出的“旋轉(zhuǎn)”對(duì)話框中以固定角度旋轉(zhuǎn)-90度6、連結(jié)上方兩個(gè)頂點(diǎn)得第四邊。練習(xí)：用旋轉(zhuǎn)交換的方法畫一個(gè)正三角形，并與前面用工具畫正三角形的方法比較，你覺得哪種方法簡便些？例2六角形1，通過旋轉(zhuǎn)的方法作一角度為60度的菱形：作一線段AB，雙擊A點(diǎn)，選擇B點(diǎn)，執(zhí)行“變換/旋轉(zhuǎn)”命令，旋轉(zhuǎn)6

6、0度得到點(diǎn)C，以其點(diǎn)為中心將B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60得到點(diǎn)D2，以A為標(biāo)記中心，將菱形旋轉(zhuǎn)60度，重復(fù)旋轉(zhuǎn)5次。例3.四瓣花將半圓以圓上中點(diǎn)為標(biāo)記中心旋轉(zhuǎn)90度1，作半圓：作一水平線段DE，及線段上的中點(diǎn)F，以中點(diǎn)F為中心點(diǎn)將右邊點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)90度得到點(diǎn)E'，選擇、'、通過構(gòu)造菜單作一過三點(diǎn)的弧2，以'為中心點(diǎn)，將弧及直徑旋轉(zhuǎn)90度3，反復(fù)旋轉(zhuǎn)次例4立體圖1，作一菱形ABA'B'，2，以菱形左上角的頂點(diǎn)B'為中心將菱形旋轉(zhuǎn)120度，旋轉(zhuǎn)2次3，選擇菱形的頂點(diǎn)，構(gòu)造四邊形內(nèi)部，然后通過顯示菜單中的顏色命令設(shè)置四邊形內(nèi)部的顏色4，對(duì)另兩個(gè)四邊形重復(fù)的操作。二、平移對(duì)

7、象 平移是指：對(duì)于兩個(gè)幾何圖形，如果在它們的所有點(diǎn)與點(diǎn)之間可以建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且以一個(gè)圖形上任一點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)圖形上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一個(gè)圖形到另一個(gè)圖形的變換叫做平移。平移是一個(gè)保距變換，又是一個(gè)保角變換。幾何畫板中，平移可以按三大類：1，極坐標(biāo)下的平移選擇平移對(duì)象后，通過“變換/平移”命令打開平移對(duì)話框，設(shè)置平移的角度和距離2，直角坐標(biāo)下的平移在平移對(duì)話框中設(shè)置的是水平與垂直方向上的改變量3，標(biāo)記平移先標(biāo)記好向量，然后按向量的方向和距離平移例1 畫一個(gè)半徑為cm的圓操作思路：將一個(gè)點(diǎn)在水平與垂直方向上都平移1cm生成一個(gè)長為cm的線段，然后以

8、圓心和半徑繪圓例2 全等三角形將一個(gè)三角形按水平方向平移例3平行四邊形的畫法將其中一條邊標(biāo)記為向量，對(duì)另一頂點(diǎn)按標(biāo)記平移例4矩形三、縮放對(duì)象縮放是指對(duì)象關(guān)于“標(biāo)記的中心”按固定的比例或“標(biāo)記的比例”進(jìn)行位似變換。1，按固定比例縮放先設(shè)定標(biāo)記中心（雙擊該點(diǎn)），然后選擇縮放的對(duì)象，再執(zhí)行“變換/縮放”命令2，按標(biāo)記比縮放（1）依次選擇作為分子與分母的線段，執(zhí)行菜單“變換/標(biāo)記線段比例”（2）選擇縮放的對(duì)象，再執(zhí)行“變換/縮放”命令例1 相似三角形四、反射對(duì)象反射是指將選中的對(duì)象按標(biāo)記的鏡面（即對(duì)稱軸，可以是直線、射線或線段）構(gòu)造軸對(duì)稱關(guān)系。但并不是所有的對(duì)象都可以反射，例如軌跡就不能反射。反射命令

9、不會(huì)彈出對(duì)話框，反射前必須標(biāo)記鏡面，否則即使能夠進(jìn)行反射，得到的結(jié)果一般不會(huì)是你想要的。例1 軸對(duì)稱三角形關(guān)于對(duì)稱軸的反射對(duì)象五、迭代與深度迭代問題：我們用旋轉(zhuǎn)變換不難畫出正多邊形，但邊數(shù)太多，如要畫正十七邊型，如圖所示，你不嫌繁的話，得用旋轉(zhuǎn)變換16次，那么有沒有簡單的方法呢，有，那就是“迭代”例1、正十七邊形的畫法操作步驟：1、畫兩個(gè)點(diǎn)，讓B點(diǎn)圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得，連接。2、選定B點(diǎn)，單擊菜單“變換”“迭代”，出現(xiàn)下面對(duì)話框3、單擊，對(duì)話框變?yōu)樯蠄D，注意到“迭代規(guī)則數(shù)：3”，圖形在原有的基礎(chǔ)上，增加了3條線段。（想一想，應(yīng)讓計(jì)算機(jī)重復(fù)畫幾條線段？）4、重復(fù)按小鍵盤上的“”鍵，直到迭代規(guī)則數(shù)變?yōu)?

10、6（也就是要讓計(jì)算機(jī)重復(fù)畫16條），注意工作區(qū)中圖形的變化5、單擊“迭代”按鈕，正十七邊形構(gòu)造完畢，如上圖：迭代變換使用的前提條件：1)選定一個(gè)（或幾個(gè)）自由的點(diǎn)，即平面上任一點(diǎn)，或線（直線、線段、射線、圓、軌跡）上的任一點(diǎn)，如上例的B點(diǎn)。2)由選定的點(diǎn)產(chǎn)生的目標(biāo)點(diǎn)（不要選定，出現(xiàn)迭代對(duì)話框后，再選），如線段的中點(diǎn)，或由選定點(diǎn)經(jīng)過變換產(chǎn)生的點(diǎn)當(dāng)然迭代的對(duì)象還有參數(shù)，請(qǐng)看進(jìn)階篇：再說迭代迭代的深度（即重復(fù)的次數(shù)），可用參數(shù)控制，即深度迭代，請(qǐng)看例2例2、正n邊形的畫法運(yùn)行結(jié)果：如圖，選定參數(shù)n，按小鍵盤上的“”或“”鍵，可改變n的值，從而改變多邊形的邊數(shù)，即得到正n邊形（這在黑板上是畫不出的）。

11、基本思路：1、畫兩個(gè)點(diǎn)，標(biāo)記其中一個(gè)點(diǎn)作為正n 邊形的中心。另一個(gè)點(diǎn)為最基本的第一頂點(diǎn)；2、“新建參數(shù)”n，用3600除以n，得正n邊形的圓心角；3、選取圓心角后“標(biāo)記角度”，讓第一頂點(diǎn)繞中心按“標(biāo)記的角度”旋轉(zhuǎn),得第二頂點(diǎn)；4、選取參數(shù)n、進(jìn)行第一頂點(diǎn)到第二頂點(diǎn)的“深度迭代”；5、選取參數(shù)n，按小鍵盤上的“+、”鍵可以改變參數(shù)，得到動(dòng)態(tài)的正n邊形。操作步驟：一、準(zhǔn)備工作（確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和迭代的深度）按“alt”鍵，調(diào)出計(jì)算器，輸入“360°÷”（“°”由單位按鈕輸入）單擊計(jì)算器的“數(shù)值”按鈕單擊“新建參數(shù)”按鈕將新建參數(shù)的對(duì)話框改為下圖單擊新建參數(shù)的對(duì)話框的“確定按鈕”后，單擊計(jì)算器上的“確定按鈕”，再調(diào)出計(jì)算器，計(jì)算n1。畫出點(diǎn)A和點(diǎn)B，如下圖所示6、讓B點(diǎn)，繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)“”，得，連接。如下圖所示：二、深度迭代1、同時(shí)選取點(diǎn)B、“n15”；2、按住Shift鍵不放，單擊菜單“變換”“深度迭代”彈出如圖5的迭代對(duì)話框；圖5說明：此步如不按住Shift 鍵，菜單中的命令項(xiàng)是“迭代”，幾何畫板中部分菜單項(xiàng)會(huì)根據(jù)按鍵、工具按鈕的選