微分方程和差分方程

1、第一章線性微分方程在講這部分之前，我們先來看一個非常熟悉的物理問題C一個一維粒子，初始時刻處于點x=x0,初始速度為%,受到阻尼作用，求該粒子的運動軌跡。解：用X")表示粒子在任意時刻，的位置，根據牛頓第二定律尸=口，有mX=F對于阻尼作用/=-尿，于是，粒子的運動方程nii=-kx這是關于時間，的常微分方程，非常簡單。求解得上x(t)=q+c,e1n結合初始條件x(O)=A),*(0)=%，則C7+處C迫C一十k，c2-k代入得粒子的運動軌跡k這就是這門課程的第二部分一一數(shù)學物理方程所要討論的內容：將物理問題表述成數(shù)學方程，然后用各種方法來求解方程。1.1常系數(shù)齊次線性微分方程方程

2、的階：微分方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)。線性方程：微分方程中對于未知函數(shù)及其所有導數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上就稱為非線性方程。齊次方程：微分方程不含有不包含未知函數(shù)的項。例如“二43；二階線性，網=%；二階線性，(處)2+2=；一階非線性。一'二階常系數(shù)齊次線性微分方程求解二階線性微分方程/+P(x)/+<2(x)y=/(x)若/(x)三。為齊次，為非齊次。方程尸+盧分=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中p、q均為常數(shù)。能否適當選取，使?jié)M足二階常系數(shù)齊次線性微分方程，為此將產代入方程y+“y'+SV=O得(r2+pr+q)crx=0由此可見，只要;滿足

3、代數(shù)方程戶+”+行0,函數(shù)尸e巾就是微分方程的解。特征方程：方程叫做微分方程/+2V'+G=O的特征方程。特征方程的兩個根n、9為-p+±J2-4qr'2=2特征方程的根與通解：(1)特征方程的實根力、n不相等時，函數(shù)弘=e位、刈=e個是方程的兩個線性無關的解，方程的通解為y=(嚴+c2e°x.(2)特征方程的實根門=/2時，函數(shù)=e"、=疣”是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關的解，方程的通解為y=(c,+c2x)er|X(3)特征方程有一對共軌復根ri.2=a±/-,函數(shù)產e3/、產理-加是微分方程的兩個線性無關的復數(shù)形式的解。

4、函數(shù)尸e叱os四、ke%in/k是微分方程的兩個線性無關的實數(shù)形式的解，方程的通解為y=e券(cicosW'+csin/).例1求微分方程尸-2y-3尸0的通解。例2求方程尸+2曠+產0滿足初始條件)，。=4、)%)=-2的特解。例3求微分方程y-2y，+5y=。的通解。二、線性微分方程的解的疊加y"+P(x)y'+Q(x)，=O(1)定理1如果函數(shù)廣和)Mx)是方程(1)的兩個解，那么它們的線性疊加y=c1y1(x)+c2>'2(x)也是方程的解，其中q和q是任意常數(shù)。定理2如果函數(shù)戶和”(幻是方程(1)的兩個線性無關的特解，那么它們的線性疊加y=q&

5、gt;'i(x)+c2>2(x)是方程的通解。推論如果函數(shù)以(X),力,y“(x)是階線性齊次方程y+8(幻)，(”7)+凡(尤)，=。的個線性無關的解，則>'=Gy(x)+q%(x)+c,yn(x)是方程的通解，其中G,C2,?！盀??個任意常數(shù)。/+P(x)y+(2(x)y=/(x)(2)定理3如果/(a)二階非齊次線性方程(2)的一個特解，)，心)和x(x)是對應齊次方程(1)的兩個線性無關的特解，那么它們的線性疊加y=qx(x)+c2y2(x)+y*(x)是方程(2)的通解。定理4如果短")和y；(x)分別是二階非齊次線性方程-+尸(-+0-=-3

6、,-+P(x)y'+Q(x)y=啟勸的特解，那么)；(x)+)，；(%)是方程/+P(x)y'+Q(x)y=./；(x)+f2(x)的特解。1.2常系數(shù)非齊次線性微分方程二階非齊次方程y"+py+qy=f(x)一、待定系數(shù)法對于特殊類型的/U)，可寫出特解)聲。)的待定表達式:於)類型特解y*。)的待定表達式A*acosfix+bsin/3xAcosflx+Bsinflx+42小一1+4H+4-1A/+A2./-'+A/+Aa.3cos/+Z?sin/?v)(Acos/?v+Bsin/5»v)e*(aW+t+他+i)鏟XAW+A2ft+A«

7、x+Ap)如果.士以0,4士外是特征方程的重根，則在表達式上再乘以V例1求微分方程y-2y-3.v=3x+l的一個特解。y*=-x+：例2求微分方程y"-5.y+6y=xe%的通解。y=Cex+C23v-(x2+2x)e2x二、常數(shù)變易法一階非齊次線性微分方程y+py=Q(x)相應齊次方程的通解是%3)=C°e-設非齊次方程有一個特解y(A)=c0(A)y0(x)由于y'(x)=c'x)%(x)+%(%)-代入非齊次方程，可得c；(x)b(x)=Q(x),解得。(X)=J<2(A)e/，vd¥+Co因此，常數(shù)變易法得非齊次方程的通解為ya)=

8、e-RjQ(x)eP&+Co)類似的方法考察二階非齊次方程yn+py+cjy=f(x)相應齊次方程的通解為XA)=c,y1(jr)+c2y2(x)設非齊次方程有一個特解y(x)=q(x).(x)+&(x)y2(x)由于y'(x)=k；(x)y(A-)+c；(x)，2(x)+c,(x)y,(x)+c2(x)><(x),若附加條件c；(x)yt(x)+(x)y2(x)=O,則yx)=q(%)，；*)+c2(x)y；(x)、"(%)=q(a)y；(x)+c2(x)y；(%)'=C(x)»"(x)+c2(x)y；(x)+c；(x

9、)y：(x)+c；(x)£(%)代入非齊次方程，可得c；(x)y；(x)+4(%)y；(x)=f(x)所以，系數(shù)門(x),C2(x)滿足方程組：c；(x)(x)+c；(x)y2(x)=0c；(x)>'r(x)+cf2(x)y(x)=f(x)例二階線性微分方程r+ty2r=/(/)齊次方程的通解T(t)=Gcoscot+C2sincot常數(shù)變易法設特解為7(/)=G(/)cosa+G")sin"其中C(f)和。2(。滿足C：(i)cos切+C；a)sin3/=0一出C：(f)sin&+gC；(i)cos3/=/(/)解得1”C.(/)=-If(

10、r)sin6>rdr+r(0)<=f(T)COSCDT<T+-r(0)CO")=C0S3/(r) sin <ord r + T(0) + sin cot -f(r)cos6yrdr +r/(0)f(r)sin奴/-r)dr+T(0)coscot+770)sincotco1.3變系數(shù)線性微分方程一、歐拉型常微分方程形如UX1)嚴+bxy9+cy=f(a)的方程叫歐拉方程。下而是一個后而課程會遇到的一個歐拉型方程的求解。p2R，+pRH=U作變量代換Q=e1f=ln夕,則dRdRdzdR1undRdR，“,l|Jp，d/?dzdpdtpdp(itd%d/dR、dA

11、R1、1d/?1d,dR、1dR1d2R研二面£)=詬(73)=一再5+萬，萬)=一萬五+丁丁'2d2K_d2/?dR/=彳一而"呸+屋”=_竺+婆+竺_,=與_®0d/r"dpdrdrdrd，-例L求歐拉型方程白-華一/(/ +1)/< = 0的通解。答案:通解為火=Crl+。尸"川o二、常點鄰域上的級數(shù)解法(證明見李政道物理學中的數(shù)學方法P280-284)不失一般性，討論復變函數(shù)卬的線性二階常微分方程d2w?/、dw/、ar+P(z)+g(z)w=。dz-dzM4)=G，iv(z0)=Cp顯然，方程的性質由函數(shù)p(z)和g(z

12、)所確定。定義：如果在點2=20處，函數(shù)p(Z)和。Z)解析，則Z=W稱為方程的常點，否則，Z=ZO稱為奇點。定理：若Z0為方程的常點，則在Z0的鄰域內存在滿足初始條件的唯一解析解w(z).級數(shù)解法：基于以上定理，方程的解印在點Z0的鄰域內解析，則可表示成泰勒級數(shù)形式：mXz)=Z4(z-Zo)人其中，0,m,a2,是待定系數(shù)。只要能夠確定這些系數(shù)，也就得到了方程的解。由于函數(shù)P(Z)和夕(Z)都是解析函數(shù)，因此也可以表示成泰勒級數(shù)："二:冏-”,夕(z)=£-a-z0y1-01-0再將卬、和q(z)的泰勒級數(shù)形式代入方程和初始條件，并要求等式兩邊同事次項的系數(shù)相等，就可以

13、確定待定系數(shù)ao,“1,tn,.,iik，。對于實變函數(shù)yCO的線性二階常微分方程V+(<)/+66=0y1-vo)=Co,yVo)=G,該定理完全成立，從而可以應用級數(shù)解法。這是因為只要將實變函數(shù)p(x)和儀工)在受平面上進行解析延拓，得到和g,相應的解“心)在實軸上的值w(x)就是原方程的解。例在%=0的鄰域上求解常微分方程)嚴+勿、=0(。是常數(shù))。解：顯然，刈=0是方程的常點，應用常點鄰域級數(shù)解法求解.設y(x)=faW/(X)=£k(k_=£(+2)(k+i)/jA-2D代入方程，并合并同事項，得+2)伏+1)4+2+=0Jt-0等式右邊為零，因此事級數(shù)各項

14、系數(shù)為零，即(k+2)(+1)%+2+=0從而有如下遞推公式:-co1at.=a上-(k+2)(k+i)1一rT2，4-CD CO氏=亍了/=可4遞推得一蘇生=刀。0，一6?(7)2(02)2"，=寸2=不一出(一1)人0"(2k)!(2k+iy.于是，方程的解為G2&三，1三(一1>。"2k三(-1>療,"7q.y=.Ze、，廣+-ZEqV.=4oCOSS+SI115A.oA-o(2A)!d(2A+1)!cd上述解的收斂區(qū)域為l%l<8。一般的收斂區(qū)域判斷補充:對于正項級數(shù)，通常用如下兩個方法比值判別法設正項級數(shù)若極限lim也

15、二0，則當.<1時，級數(shù)收斂:M .1 /當0>1時，級數(shù)發(fā)散。根值判別法設正項級數(shù)Z4 ,若極限lim師=夕，則當"<1時，級數(shù)收斂: A-!I"應用正項級數(shù)收斂判別法，可得到如下轉級數(shù)收斂范圍：當p>1時，級數(shù)發(fā)放。比值判別法根據正項級數(shù)收斂的比值判別法，若極限lim Atoc當<1時，級數(shù)收斂；當0>1時，級數(shù)發(fā)散。引入記號R,若!吧|x-x0| < lim=R=!吧=R存在，則當根式判別法若極限四脈4a_=四河卜_引<1,則收斂。若也，=r存在，則當例1在%=0的鄰域上求解常微分方程<+=o（。是常數(shù)）。方程的解

16、為««8/八”«/1k八2女-h七七(22！£(2+1)!v(x)av一af(T)%'%()哈(2k)!9'一%(2A+D!對于先（外應用比值判別法，得收斂區(qū)域為I / l= lim Ate(2k+2P=lim-=lim(2"+2)(24+1)<oo。f(2k)!-對于片。）應用比值判別法，得收斂區(qū)域為i/i=!吧上l =!吧TRT8TOC(22+3)!(2A + 1)!=lim(2k + 3)(22 + 2) < oo o &T0C例2在%=0的鄰域上求解），'一個=0。答案：丁=0丁00）+%&g

17、t;。）三（3&-2）!3A（、?。?-1）!31%他下陽士先°收斂無限尢作業(yè):1 .求歐拉方程/),，+3D，+),=0的通解。答案：1。二X2 .用常數(shù)變易法求方程x2y”M/+y=21nx的通解。答案：)，=(6+gInx)x+4+2InX.3 .用事級數(shù)法求方程)嚴+M，'+y=O的通解。答案：I),&_«(2攵+1)!4 .4二階常系數(shù)線性差分方程一、齊次差分方程方程：l+2+l+i+qy1=fws,q是常數(shù)).若/(x)三0為齊次，/(x)hO為非齊次。對于齊次方程的通解，與微分方程類似地有：定理方程)工2+PX+夕汽=0的解為汽=，&q

18、uot;，其中滿足特征方程r2+pr+q=0o特征方程的實根小-2不相等時，方程的通解為y,(2)特征方程的實根r,=r2時,方程的通解為以=(G+C2x)rx(3)特征方程有一對共血復根八2=«±詢機記a±7=&士'°,A=Jar+/f(/)=arctan,即方程a的解為久=%，)"，則方程的通解為"=/l'(CCos(0x)+Gsin(0x)。例1求久+2+4y,+i+3yx=0的通解.解其特征方程，a+dr+Bn。，有根-1,-3.原方程有通解b=G(t)*+C2(-3)x是任意常數(shù))例2求4+2+4)=

19、0的通解解其特征方程，二+4=0,有根-2i,21.2=2,則原方程有通解)=2、(Gcos(F)+C2sin(?),(C,C2是任意常數(shù)).22例3求差分方程3ym-2),=0的通解.(2丫解其通解為匕=J(C為任意常數(shù)).二、非齊次差分方程對于非齊次方程的通解，與微分方程類似地，可以用待定系數(shù)法求解。段)類型特解V。)的待定表達式A*4工人+a'+.+cikX+“k+iA1+A4t+.+AkX+Aa."i 3力 + a2AAi + + w +“(A/+A2K7+.+Ad+Am)如果.1是特征方程的重根，則在表達式上再乘以f°例，求)，+2+4九=2的通解解前例已

20、知其齊次的通解,故只需求一個特解.2令B=%,代入的d=二，所以它的通解為L=2、(Gcos(?)+C2Sin(W)+2,(G,。2是任意常數(shù))225例5求4+2+4/=2、的通解.解令y=b2x,b22+4b2x=2所以匕=L所以其通解'8JTY7TX”=2X(Ccos()+C2Sin()+-)，(G,c?是任意常數(shù)).228例6求)"-3以=2、的通解.解顯然其齊次方程的通解為y,=C-3X(C為任意常數(shù)).設其特解為八=62所以有岳2m362、=2,從而得。=一1.因此，原方程的通解為yx=c-y-21例7求九+1-弘=3+2工的通解解其齊次方程的通解為匕=C(C為任意

21、常數(shù)).設其特解為y,=x(4x+8),所以有*+l)(A(x+l)+8)-x(Ay+8)=3+2x,從而得A=l,B=2因此，原方程的通解為匕=x2+2x+C.三、差分方程的應用例8某家庭從現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計劃20年后開始從投資帳戶中每月支取1000元，直到10年后子女大學畢業(yè)用完全部資金。要實現(xiàn)這個投資目標，20年內共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設投資的月利率為0.5%。解：設第個月投資帳戶資金為S”元，每月存入資金為。元。于是，20年后關于S”的差分方程模型為Sn+=1.0055n-l000并且Si20=0,So=xo解得x

22、=90073.45o從現(xiàn)在到20年內，S滿足的差分方程為Sn+i=1.0055/?+a且So=0,S240=90073.45o解得。=194.95c例9動態(tài)供需均衡模型（蛛網定理）設q表示，期的需求量用表示i期的供給量表示商品i期價格，則傳統(tǒng)的動態(tài)供需均衡模型為：Dt=a-hPt,（1）<S,=q+AET（2）0=S，（3）其中,小叫均為己知常數(shù)c式表示，期（現(xiàn)期濡求依賴于同期價格：（2）式表示，期（現(xiàn)期）供給依賴于（，-1）期（前期）價格；（3）式為供需均衡條件。解：若在供需平衡的條件下，而且價格保持不變，即2=4-1=勺，靜態(tài)均衡價格與=動態(tài)供+b需均衡模型的等價差分方程/ 1 y齊次方程通解E=A -AI b),非齊次方程特解=紇生= b1+h方程的通解為月=A Q'+C,若 k b）初始價格外已知時，將其代入通解可求得任意常數(shù)從=庶-R,則通解為如果初始價格外=0，那么B三8。這表明沒有外部干擾發(fā)生，價格將固定為常數(shù)值R，即靜態(tài)均衡。如果初始價格