建模-路燈照明問(wèn)題

1、建模-路燈照明問(wèn)題數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)建模路燈照明問(wèn)題年級(jí)：20121060025班級(jí)：電子信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)生姓名：呂佳琪學(xué)號(hào)：20121060025云南大學(xué)信息學(xué)院路燈照明問(wèn)題。在一條20m寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只2kw和一只3kw的路燈，它們離地面的高度分別為 5m和6ml在漆黑的夜晚， 當(dāng)兩只路燈開(kāi)啟時(shí)，兩只路燈連線的路面上最暗的點(diǎn)和最亮 的點(diǎn)在哪里？如果 3kw的路燈的高度可以在 3m到9m之間變 化，如何路面上最暗點(diǎn)的亮度最大？如果兩只路燈的高度均 可以在3m到9m之間變化，結(jié)果又如何？ 摘要本題利用方程（組）模型，求兩只路燈連線的路面上的最暗 點(diǎn)和最亮點(diǎn)。查閱資料知：光照強(qiáng)度公式為I

2、 k psin ,r根據(jù)題意可建立坐標(biāo)軸，假設(shè)兩只路燈在道路上的照射半徑 的長(zhǎng)度之和為20m,可得路面上某點(diǎn)的照度為兩只路燈在該 點(diǎn)的照度之和。列由方程，利用 MATLAB 軟件進(jìn)行求解， 求由該方程的最值（即最暗點(diǎn)與最亮點(diǎn)及其亮度）。關(guān)鍵詞：路燈照明 方程（組） MATLAB 最值一、問(wèn)題重述在一條20m寬的道路兩側(cè)，分別安裝了一只2kw和一只3kw的路燈，它們離地面的高度分別為 5m和6ml在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開(kāi)啟時(shí)，兩只路燈連線的路面上最暗的點(diǎn)和最亮的點(diǎn)在哪里？如果 3kw的路燈的高度可以在 3m到9m之間變化，如何路面上最暗點(diǎn)的亮度最大？如果兩只路燈的高度均可以在3m到9m之間變化

3、，結(jié)果又如何2二、模型假設(shè)1 .假設(shè)把兩個(gè)路燈視為質(zhì)點(diǎn)；2 .假設(shè)忽略對(duì)路燈光照強(qiáng)度其他因素的影響；3,假設(shè)路燈為同一型號(hào)；4 .假設(shè)路燈的光照強(qiáng)度I k衛(wèi)怨一；r5 .假設(shè)把兩只路燈連線的路面視為一條直線；6,假設(shè)兩路燈在路上的照射半徑長(zhǎng)度之和為20m；7.假設(shè)路燈正常工作；三、變量說(shuō)明K-路燈光照強(qiáng)度系數(shù)P路燈的功率S道路的寬度a i路燈光線與地面的夾角Ri路燈到路面上某點(diǎn)的距離hi路燈離地面的垂直距離X 2KVW燈的投影到路面上某點(diǎn)的距離l（x）路面上某點(diǎn)的光照強(qiáng)度路燈光照強(qiáng)度四、問(wèn)題分析問(wèn)題一根據(jù)兩路燈間的距離關(guān)系建立坐標(biāo)軸，利用路燈光照強(qiáng)度的計(jì)算公式列由方程，再用MATLA瞰件求解。

4、問(wèn)題二由于h2的高度可變，在問(wèn)題一建立的方程的基礎(chǔ)上，先對(duì) X求偏導(dǎo)，再對(duì)h2求偏導(dǎo)，最后用 MATLA瞅件編程求解。問(wèn) 題三因?yàn)閔i和h2的高度都可變，同問(wèn)題二，依次對(duì) X, hi, h2求偏導(dǎo)。五、模型的建立由題意可得下圖假定路燈光照強(qiáng)度系數(shù)k=1問(wèn)題一：由題意得，設(shè)Q(x,0)點(diǎn)為兩盞路燈連線上的任意一點(diǎn)，則兩盞路燈在Q點(diǎn)的照度分別為PiSin iR12h2x2R2 h2 (s x)2I2p2sin 2R22sin 1sin 21018(25 x2)3 . (36 (20 x)2)3Q點(diǎn)的照度:I(x)時(shí)班(h2 x2)3 (h (s x)2)3要求最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn)，即求函數(shù)I(x)的最大

5、值和最小值，則可先求生函數(shù)的極值點(diǎn)x3Rh1x3R4(s x)30x54(20 x)I (x) t,= i'-V(h2 x2)5 取隙(s x)2)5 7(25 x2)5 7(36 (20 x)2)5利用MATLAB#i'(x) 0時(shí)x的值代碼：s=solve('(-30*x)/(25+xA2)A(5/2)+(54*(20-x)/(36+(20-x)八2)八(5/2)');s1=vpa(s,8);si運(yùn)行結(jié)果:si =19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*.2848997038e-18.538304309+1

6、1.61579012*因?yàn)閤>=0,選取由有效的x值后，利用MATLA際由對(duì)應(yīng)的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468綜上所述，x=9.33m時(shí)，為最暗點(diǎn)；x=19.97m時(shí)，為最亮點(diǎn)。問(wèn)題二：3KW勺路燈的高度可以在 3M到9M之間變化變化時(shí),Q點(diǎn)的照度為關(guān)于x和h2的二元函數(shù)：MP2h2103h2(, h2)2 2 322 32 322 3，(幾 x)(h2 (s x) ) .(25 x ),(h2 (20 x)與(1)同理，求

7、由函數(shù)I(x,h 2)的極值即為最暗點(diǎn)和 最靈點(diǎn)_ 21 P23P2h20h2 .1(h2 (s x)2)3 (h2 (s x)2)5利用matlab求x:solve('3/(hA2+(20-x)A2)A(3/2)-3*(3*hA2)/(hA2 +(20-x)八2)八(5/2)=0')ans =20+2A(1/2)*h20-2A(1/2)*h即 x1=20+2A(1/2)*h(舍去)x2=20-2A(1/2)*hI3Fmx3P2h2(s x) -30(20 2h)9h2(20 x) n02 2、5 - 22、52、522、5x . (h, x ) . (h2 (s x) ),

8、(25 x ) Q (20 x)利用matlab求解h2solve('-30*(20-2A(1/2)*h)/(25+(20-2A(1/2)*h)A2) A(5/2)+9*h*(20-(20-2A(1/2)*h)/(hA2+(20-(20-2 A(1/2)*h)A2)A(5/2)=0')ans =7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因?yàn)閔在3<x<9之間，所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法：h=7.42239;x=20-2八(1/2)*hI=10

9、/(25+xA2)A(3/2)+(3*h)/(hA2+(20-x)A2)A(3)結(jié)果：x =9.5032I =0.0186可得，x=9.5032 , h2=7.42239時(shí)，最暗點(diǎn)的亮度最大，為 0.0186w。問(wèn)題三：如果兩只燈的高度均可在3M到9M之間變化，則I為關(guān)于x,h i,h 2的三元函數(shù)，同解可得i(x,n,h2)/ Ph1廠 P2h21J(h2 x2)3 。式(s x)2)3_2/ I P 3Pihi0hi(h； x2)3 J(h2 x2)5_ 2 2IP23巳卜239h2h2,(h；(sx)2)3J(h； (sx)2)5J(h； (20 x)2)3J(h；(20x)2)5i3P

10、1nx3P2h2(s x)6h1x9h2(20 x)x(h2x2)5,(h；(s x)2)5(hi2x2)5(h；(20 x)2)hi1x ,2h21J。x)3h2(20 x)5h2 (20 x)午(h22h1x52. 2x )42(20 x)22 2一廣，5，533122 71 223(20 x) 3x(2(20 x) (20 x) 2(-x x)2')利用matlab求解x, hi, h2的值:算法:solve('1/(20-x)A3)=2/(3*(xA3)');s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2)*s1;a1=double(a);b=(1/sqrt(2)*(20-s1);b1=double(b);a1,b1,s1結(jié)果：al =6.59405.1883 +12.0274i5.1883 -12.0274ibl =7.54828.9538 -12.0274i8.9538 +12.0274isi =9.325307.33738+17.0093*7.33738-17.0093*可得，» =6.5940, h2=7.5482 , x=9.32530 時(shí)，最暗點(diǎn)的亮 度最大六、模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：通過(guò)查閱資料，可得由