絕對值不等式問題探討

1、絕對值不等式問題探討高考說明：1、理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式2、掌握最簡單的絕對值不等式和的解法和幾何意義3、掌握、型不等式的解法題根1解不等式思路利用f(x)<a(a>0) -a<f(x)<a去掉絕對值后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元二次不等式組即求解。解題原不等式等價于， 即 由（1）得：；由（2）得：或， 所以，原不等式的解集為或收獲1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我們解不等式的基礎(chǔ)，無論是解高次不等式、絕對值不等式還是解無理根式不等式，最終是通過代數(shù)變形后，轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式組來求

2、解。2）本題也可用數(shù)形結(jié)合法來求解。在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的的圖象，解方程，再對照圖形寫出此不等式的解集。第1變 右邊的常數(shù)變代數(shù)式變題1解下列不等式：(1)|+1|>2；(2)|26|<3思路利用f(x)<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉絕對值后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次、一元二次不等式組來處理。解：(1)原不等式等價于+1>2或+1<(2)解得>或無解，所以原不等式的解集是|>(2)原不等式等價于3<26<3即2<<6所以原

3、不等式的解集是|2<<6收獲形如|<，|>型不等式這類不等式的簡捷解法是等價命題法，即：|<<<|>>或<第2變 含兩個絕對值的不等式變題2解不等式（1）|1|<|+|；（2）x-2+x+3>5.思路（1）題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對值符號。（2）題可采用零點(diǎn)分段法去絕對值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平方后有：|1|<|+|即有2+1<+2+，整理得(2+2)>1當(dāng)2+2>0即>1時，不等式的解為>(1)；當(dāng)2

4、+2=0即=1時，不等式無解；當(dāng)2+2<0即<1時，不等式的解為<（2）解不等式x-2+x+3>5.解：當(dāng)x-3時，原不等式化為(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.當(dāng)-3<x<2時，原不等式為(2-x)+(x+3)>55>5無解.當(dāng)x2時，原不等式為(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.綜合得：原不等式解集為xx>2或x<-3.收獲1）形如|<|型不等式此類不等式的簡捷解法是利用平方法，即：|<|<02）所謂零點(diǎn)分段法，是指：若數(shù)，分別使含有|，|，|的代數(shù)式中相應(yīng)絕

5、對值為零，稱，為相應(yīng)絕對值的零點(diǎn)，零點(diǎn)，將數(shù)軸分為+1段，利用絕對值的意義化去絕對值符號，得到代數(shù)式在各段上的簡化式，從而化為不含絕對值符號的一般不等式來解，即令每項等于零，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集。零點(diǎn)分段法是解含絕對值符號的不等式的常用解法，這種方法主要體現(xiàn)了化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，它可以把求解條理化、思路直觀化第3變 解含參絕對值不等式變題3解關(guān)于x的不等式 思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個根號的無理根式不等式來解，運(yùn)算理較大。若化簡成，則解題過程更簡單。在解題過程中需根據(jù)絕對值定義對的正負(fù)進(jìn)行討論。解題原不等式等價于 當(dāng)即時， 當(dāng)

6、即時， x¹-6當(dāng)即時， xÎR收獲1）一題有多解，方法的選擇更重要。2）形如|<，|>()型不等式此類不等式的簡捷解法是等價命題法，即： 當(dāng)>0時，|<<<；|>>或<； 當(dāng)=0時，|<無解，|>0 當(dāng)<0時，|<無解，|>有意義。第4變 含參絕對值不等式有解、解集為空與恒成立問題變題4若不等式|4|+|3|<的解集為空集，求的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個絕對值符號，可考慮采用零點(diǎn)分段法，即令每一項都等于0，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對值不等式，最后應(yīng)求出解集

7、的并集，這是按常規(guī)去掉絕對值符號的方法求解，運(yùn)算量較大。若仔細(xì)觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對值不等式|+|+|，便把問題簡化。解題解法一 (1)當(dāng)0時，不等式的解集是空集。(2)當(dāng)>0時，先求不等式|4|+|3|<有解時的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當(dāng)4時，原不等式化為4+3<，即27<解不等式組，>1 當(dāng)3<<4時，原不等式化為4+3<得>1 當(dāng)3時，原不等式化為4+3<即72<解不等式，>1綜合可知，當(dāng)>1時，原不等式有解，從而當(dāng)0<1時，原不等式解集為空

8、集。由(1)(2)知所求取值范圍是1解法二由|4|+|3|的最小值為1得當(dāng)>1時，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時，原不等式解集為空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1當(dāng)>1時，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時，原不等式解集為空集。收獲1）一題有多法，解題時需學(xué)會尋找最優(yōu)解法。2）有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。有解；解集為空集；這兩者互補(bǔ)。恒成立。變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a對于一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-|x-3|<a的解

9、集在R上不是空集，求a的取值范圍3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范圍第5變 絕對值三角不等式問題變題5已知函數(shù)，當(dāng)時，求證：；，則當(dāng)時，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)，的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來表示,。因為由已知條件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得收獲1） 二次函數(shù)的一般式中有三個參數(shù). 解題的關(guān)鍵在于：通過三個獨(dú)立條件“確定”這三個參數(shù). 2）本題變形技巧性強(qiáng)，同時運(yùn)用公式，及已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蟆Ｒ笸瑢W(xué)們做題時要有敏銳的數(shù)學(xué)觀

10、察能力。第6變 絕對值不等式與其它知識的橫向聯(lián)系變題6（2003年全國高考試題）已知.設(shè)函數(shù)在R上單調(diào)遞減.不等式的解集為R.如果和有且僅有一個正確，求的取值范圍.思路 此題雖是一道在老教材之下的高考試題，但揭示了“解不等式”一類高考試題的命題方向.在新教材中，絕對值不等式的解法和二次不等式的解法與集合運(yùn)算、命題判斷都有一定聯(lián)系，屬于對于學(xué)生提出的基本要求內(nèi)容的范疇，本題將這幾部分知識內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，在考查學(xué)生基礎(chǔ)知識、基本方法掌握的同時，考查了學(xué)生命題轉(zhuǎn)換，分類討論等能力，在不同的方法下有不同的運(yùn)算量，較好地體現(xiàn)出了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題原則.解題:函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不等式

11、的解集為R函數(shù)在R上恒大于1，函數(shù)在R上的最小值為，不等式的解集為R，即，若正確，且不正確，則；若正確，且不正確，則；所以的取值范圍為.收獲“解不等式”一類的命題可以有形式上的更新和內(nèi)容上的變化.結(jié)合簡易邏輯的概念和集合的語言來命題，借助集合的運(yùn)算性質(zhì)和四個命題的關(guān)系來作答，是這個命題的基本特征，在求解時則主要以化歸思想為解題切入點(diǎn).復(fù)習(xí)中對于此類問題要引起足夠的重視.課時作業(yè)：1-1解不等式（1）x-x2-2>x2-3x-4；（2）12-1 解關(guān)于的不等式(>0且1)2-2不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集為 。3-1解關(guān)于的不等式：3-2關(guān)于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。4-1對任意實數(shù)，若不等式|+1|2|>恒成立，求的取值范圍。4-2對任意實數(shù)x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。5-1已知函數(shù)f(x)=，a,bR，且，求證|f(a)-f(b)|<|a-b|。5-2（1）已知不等式|x-3|+|x+1|<a，的解集為空集，求a的取值范圍；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|<a有解，求a的取值范圍。5-3已知f(x)的定義域為0,1，且f(0)=f(1)，如果對于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x1)-f(x2)|<