簡(jiǎn)單不等式的解法

1、簡(jiǎn)單不等式的解法一、 含絕對(duì)值不等式的解法形如 | x | = a (a0) 的方程解法 復(fù)習(xí)絕對(duì)值意義：| a | = 幾何意義：數(shù)軸上表示 a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離形如| x | > a與 | x | < a 的不等式的解法 1°從數(shù)軸上，絕對(duì)值的幾何意義出發(fā)分析、作圖。解之、見 P15 略 結(jié)論：不等式 | x | > a 的解集是 x | -a< x < a | x | < a 的解集是 x | x > a 或 x < -a 2°從另一個(gè)角度出發(fā)：用討論法打開絕對(duì)值號(hào)例1解不等式 解：原不等式可化為： 和 解： 解： 原不

2、等式的解集是x| x|=x|或例2、解不等式 解：原不等式可化為： 原不等式的解集是x| 例3、解關(guān)于x的不等式 (aÎR)解：原不等式可化為：當(dāng) a+1>0 即a>-1時(shí) -(a+1)<2x+3<a+1 當(dāng) a+10即 a-1時(shí) 解集為Ø當(dāng)a>-1時(shí) 原不等式的解集是 x|；當(dāng)a-1時(shí) 解集為Ø例4、解不等式 解一：原不等式可化為： 解二： ： ：（下略）解三：原不等式解集等價(jià)于下面兩個(gè)不等式解集的并集：21-4x<7 2-(1-4x)<7 （下略）例5、解不等式 |x+2| + |1-x|<x-4解：原不等式即為

3、 |x+2| + |x-1|<x-4 ： Ø ： -1<x<1 ： 1x<3 原不等式的解集為：x|-1<x<3二、 簡(jiǎn)單的分式不等式與一元二次不等式問題1：(x+4)(x-1)<0等價(jià)于(x+4)與(x-1)異號(hào)，即： 與 解之得：-4 < x < 1 與 無解 原不等式的解集是： x | x | = x | -4 < x < 1 = x | -4 < x < 1 同理：(x+4)(x-1)>0 的解集是： x | x | 問題2：形如 的簡(jiǎn)單分式不等式的解法：同樣可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組 x |

4、x | 也可轉(zhuǎn)化（略）注意：1°實(shí)際上 (x+a)(x+b)>0(<0) 可考慮兩根 -a與 -b，利用法則求解：但此時(shí)必須注意 x 的系數(shù)為正。2°簡(jiǎn)單分式不等式也同樣要注意的是分母不能0（如 時(shí)）3°形如 的分式不等式，可先通分，然后用上述方法求解三、 二次不等式的圖像解法1 一元一次不等式的圖像解法先回憶一下初中學(xué)過的一元一次不等式的解法：如 2x-7>0x> y 從另一個(gè)角度考慮：令 y=2x-7 作一次函數(shù)圖象： xcO注意強(qiáng)調(diào)：1°直線與 x軸的交點(diǎn)x0是方程 ax+b=0的解2°當(dāng) a>0 時(shí), ax

5、+b>0的解集為 x | x > x0 當(dāng) a<0 時(shí), ax+b<0可化為 -ax-b<0來解y2一元二次不等式的圖象解法同樣用圖象來解，實(shí)例：y=x2-x-6 作圖、列表、觀察-2 O 3 x 當(dāng) x=-2 或 x=3 時(shí), y=0 即 x2-x-6=0當(dāng) x<-2 或 x>3 時(shí), y>0 即 x2-x-6>0當(dāng) -2<x<3 時(shí), y<0 即 x2-x-6<0方程 x2-x-6=0 的解集： x | x = -2或 x = 3 不等式 x2-x-6 > 0 的解集： x | x < -2或 x &

6、gt; 3 不等式 x2-x-6 < 0 的解集： x | -2 < x < 3 這是 >0 的情況：若 =0 , <0 分別作圖觀察討論說明：上述結(jié)論是一元二次不等式 ax+bx+c>0(<0) 當(dāng) a>0時(shí)的情況若 a<0, 一般可先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù)再求解例6、解下列不等式： 3-6x-2x2<0 解：整理得 2x2+6x-3<0用求根公式求根得解集x| (x-1)(3-x)<x(x+1)+1 解：整理得 2x2-3x+4>0 不等式解集為 R 解：移項(xiàng)，通分，整理得 不等式解集為x|x-4或x> 或解

7、：取并集 0x2-2x-3<5 解：原不等式的解集為下面不等式組的解集 原不等式的解集為 x|-2<x-1 或 3x<4例7、已知U=R且 A=x|x2-5x-6<0 B=x| |x-2|1 求：1）AB 2)AB 3)(CuA)(CuB)解：A=x|-1<x<6 B=x|x1或x3 AB=x|-1<x1或3x<6 AB=R CuA=x|x-1或x6 CuB=x|1<x<3 (CuA)(CuB)= x|x-1或x6x|1<x<3=Ø 也可求Cu(AB)= Ø例8、解關(guān)于x的不等式 (1-a)x2+4ax

8、-(4a+1)>0 (aÎR)解：1 當(dāng)1-a=0即 a=1時(shí) 原不等式化為 4x-5>0 x> 2 當(dāng) 1-a>0即a<1時(shí) =4(3a+1) (1)當(dāng) 即時(shí) >0 此時(shí)原不等式的解集是 (2)當(dāng)a=時(shí) =0 原不等式化為 4x2-4x+1>0 即 (2x-1)2>0 此時(shí)原不等式的解集是 xÎR|x¹ (3)當(dāng)a<時(shí)<0 且 1-a>0 此時(shí)原不等式的解集為R 3 當(dāng)1-a<0即a>1時(shí) 原不等式可化為 (a-1)x2-4ax+(4a+1)<0 這樣a-1>0這時(shí)=4(3

9、a+1)>0 用求根公式求得：此時(shí)原不等式的解集為：綜上可得：當(dāng)a<-時(shí)原不等式解集為R當(dāng)a=-時(shí)原不等式解集為xÎR|x¹當(dāng)時(shí)原不等式解集為當(dāng)a=1時(shí)原不等式解集為x| x>當(dāng)a>1時(shí)原不等式解集為例9、已知A=x| |x-a|1 B=x|且AB=Ø求a的范圍。解：化簡(jiǎn)A=a-1xa+1 由 0 介紹“標(biāo)根法” B=x|-5x<3 或 x6要使AB=Ø必須滿足 a+1<-5 或 即a<-6或4a<5 滿足條件的a的范圍是a<-6或4a<5例10、（1）若不等式 (1-a)x2-4x+6>

10、0的解集是x|-3<x<1, 求a的值；（2）若-3<x<1時(shí) (1-a)x2-4x+6>0成立, 求a的取值范圍。 解：（1）由題設(shè)可知 1-a<0 （2）設(shè) y=(1-a)x2-4x+6 1。當(dāng)1-a>0即a<1時(shí) 拋物線開口向上 =24a-8當(dāng)a<時(shí)<0 解集為R -3<x<1自然成立當(dāng)<a<1時(shí)>0 此時(shí)對(duì)稱軸 x=-而x=1時(shí)y=3-a>0由圖象可知： -3<x<1時(shí)都有y>0當(dāng)a=時(shí) 這時(shí)對(duì)x¹3都有y>0 故-3<x<1時(shí) 不等式成立 a<1時(shí) 若-3<