三角函數(shù)公式大全2

1、三角函數(shù)公式大全一謎槢痌激乼2014-11-28優(yōu)質(zhì)解答倒數(shù)關(guān)系：tan ·cot=1sin ·csc=1cos ·sec=1商的關(guān)系：sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方關(guān)系：sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2()平常針對不同條件的常用的兩個公式sin2()+cos2()=1tan *cot =1一個特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）證明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)

2、/2 *2 cos(+a)/2 sin(a-)/2=sin（a+）*sin（a-）坡度公式我們通常半坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）, 用字母i表示,即 i=h / l, 坡度的一般形式寫成 l : m 形式,如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作a(叫做坡角）,那么 i=h/l=tan a.銳角三角函數(shù)公式正弦： sin =的對邊/ 的斜邊余弦：cos =的鄰邊/的斜邊正切：tan =的對邊/的鄰邊余切：cot =的鄰邊/的對邊二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)2.Cos2a=1-2Sin2(a)

3、3.Cos2a=2Cos2(a)-1即Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A)）三倍角公式 sin3=4sin·sin(/3+)sin(/3-)cos3=4cos·cos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin3a

4、cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cosa)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin²a)=4sina(3/2)²-sin²a=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°-a)/2

5、=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosacos²a-(3/2)2=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosa

6、sin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a)=-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a)=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)現(xiàn)列出公式如下: sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可別輕視這些字符,它們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會起到重要作用.包括一些圖像問題和函數(shù)問題中三倍角公式sin3

7、=3sin-4sin3()=4sin·sin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4cos·cos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a · tan(/3+a)· tan(/3-a)半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin萬能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2

8、)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*t

9、anA3)/(1-6*tanA2+tanA4)五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6)七倍角公式

10、sin7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+

11、tanA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2

12、-2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10)N倍角公式根據(jù)棣美弗定理,(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 為方便描述,令sin=s,cos=c 考慮n為正整數(shù)的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+

13、 i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =>比較兩邊的實部與虛部 實部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i*(虛部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-

14、5)*(i s)5 + . 對所有的自然數(shù)n, 1. cos(n)： 公式中出現(xiàn)的s都是偶次方,而s2=1-c2(平方關(guān)系),因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示. 2. sin(n)： (1)當n是奇數(shù)時： 公式中出現(xiàn)的c都是偶次方,而c2=1-s2(平方關(guān)系),因此全部都可以改成以s(也就是sin)表示. (2)當n是偶數(shù)時： 公式中出現(xiàn)的c都是奇次方,而c2=1-s2(平方關(guān)系),因此即使再怎么換成s,都至少會剩c(也就是 cos)的一次方無法消掉. (例. c3=c*c2=c*(1-s2),c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/si

15、nA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化積sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+

16、B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)兩角和公式tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos -cossin積化和差sinsin =-cos(+)-cos(-) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-

17、)/2雙曲函數(shù)sh a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：設(shè)為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：設(shè)為任意角,+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和

18、公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2±及3/2±與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2

19、+）= -coscos（3/2+）= sintan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan(以上kZ)A·sin(t+)+ B·sin(t+) =(A² +B² +2ABcos(-) · sin t + arcsin (A·sin+B·sin) / A2 +B2; +2ABcos(-) 表示根號,包括中的內(nèi)容三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）公式一sin(-) = -sincos(-) = costan

20、 (-)=-tan公式二sin(/2-) = coscos(/2-) = sin公式三 sin(/2+) = coscos(/2+) = -sin公式四sin(-) = sincos(-) = -cos公式五sin(+) = -sincos(+) = -cos公式六tanA= sinA/cosAtan（/2+）=cottan（/2）=cottan（）=tantan（+）=tan誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變,符號看象限萬能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)²cos=1-(tan(/2)²/1+(tan(/2)²tan=2tan(/2)/1-(tan(

21、/2)² 其它公式 (1) (sin)2+(cos)2=1（平方和公式）(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)2,第二個除(cos)2即可(4)對于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證：A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當x+y+z=n(nZ)時,該關(guān)系式也成立由tanA+t

22、anB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC其他非重點三角函數(shù)csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2冪級數(shù)展開式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+

23、(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+. (-<x<)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-<x<)arcsin x = x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|<1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|<1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1)無限公式sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92)cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)

24、(1-4x2/252)tanx=8x1/(2-4x2)+1/(92-4x2)+1/(252-4x2)+secx=41/(2-4x2)-1/(92-4x2)+1/(252-4x2)-+(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8(1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1)和自變量數(shù)列求和有關(guān)的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin

25、(x/2)tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)2/sinxcosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)編輯本段內(nèi)容規(guī)律三角函數(shù)看似很多,很復(fù)雜,但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個公式之間有強大的聯(lián)系.而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在.1三角函數(shù)本質(zhì)： 1根據(jù)右圖,有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y.深刻理解了這一點,下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來,比如以推導(dǎo)sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例：推導(dǎo)：首先畫單位圓交X軸于C,D,在單