不等關(guān)系與不等式以及基本不等式

1、 卓越個(gè)性化教學(xué)講義第1講不等關(guān)系與不等式【2013年高考會這樣考】結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識考查不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運(yùn)用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題基礎(chǔ)梳理1不等式的定義在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號、連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式2比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來定義的，有ab0ab；ab0ab；ab0ab.另外，若b0，則有1ab；1ab；1ab.

2、3不等式的性質(zhì)(1)對稱性：abba；(2)傳遞性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n2)；(6)可開方：ab0(nN，n2)一個(gè)技巧作差法變形的技巧：作差法中變形是關(guān)鍵，常進(jìn)行因式分解或配方 一種方法待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時(shí)，先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式，再利用多項(xiàng)式相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍兩條常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)：ab，ab0；a0b；ab0,0cd；0axb或axb0.(2)若ab0，m0，則真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：；(bm0)；假分?jǐn)?shù)的

3、性質(zhì)：；(bm0)雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)給出下列命題：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正確的命題是()A BC D2限速40 km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h，寫成不等式就是()Av40 km/h Bv40 km/h Cv40 km/h Dv40 km/h3(2012·銀川質(zhì)檢)已知a，b，cR，則“ab”是“ac2bc2”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件4已知ab，cd，且c，d不為0，那么下列不等式成立的是()Aadbc BacbdCac

4、bd Dacbd5.與1的大小關(guān)系為_考向一比較大小【例1】已知a，b，c是實(shí)數(shù)，試比較a2b2c2與abbcca的大小【訓(xùn)練1】 已知a，bR且ab，則下列不等式中一定成立的是()A.1 Ba2b2Clg(ab)0 D.ab考向二不等式的性質(zhì)【例2】(2012·包頭模擬)若a0ba，cd0，則下列命題：(1)adbc；(2)0；(3)acbd；(4)a·(dc)b(dc)中能成立的個(gè)數(shù)是()A1 B2 C3 D4【訓(xùn)練2】 已知三個(gè)不等式：ab0；bcad；.以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3考向三不等式性質(zhì)的應(yīng)用【

5、例3】已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4.求f(2)的取值范圍【訓(xùn)練3】 若，滿足試求3的取值范圍考向四利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式【例4】設(shè)abc，求證：0.【訓(xùn)練4】 若ab0，cd0，e0，求證：.難點(diǎn)突破15數(shù)式大小比較問題數(shù)式大小的比較是高考中最常見的一種命題方式，涉及的知識點(diǎn)和問題求解的方法不僅局限于不等式知識，而且更多的關(guān)聯(lián)到函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識，內(nèi)容豐富多彩命題的方式主要是選擇題、填空題，考查不等式性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用一、作差法【示例】 (2011·陜西)設(shè)0ab，則下列不等式中正確的是()Aab BabCab D.

6、ab二、作商法【示例】 若0x1，a0且a1，則|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小關(guān)系是()A|loga(1x)|loga(1x) B|loga(1x)|loga(1x)|C不確定，由a的值決定 D不確定，由x的值決定三、中間量法【示例】 若a20.6，blog3，clog2sin，則() Aabc BbacCcab Dbca第4講基本不等式【2013年高考會這樣考】1考查應(yīng)用基本不等式求最值、證明不等式的問題2考查應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1突出對基本不等式取等號的條件及運(yùn)算能力的強(qiáng)化訓(xùn)練2訓(xùn)練過程中注意對等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論及邏輯推理能力的培養(yǎng)基礎(chǔ)梳理1基本不等式：

7、(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號2幾個(gè)重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)2(a，b同號)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) 一個(gè)技巧運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也

8、要注意公式的逆用，例如a2b22ab逆用就是ab；(a，b0)逆用就是ab2(a，b0)等還要注意“添、拆項(xiàng)”技巧和公式等號成立的條件等 兩個(gè)變形(1)2ab(a，bR，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)；(2) (a0，b0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號)這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們 三個(gè)注意(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件(3)連續(xù)使用公式時(shí)取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致雙基

9、自測1(人教A版教材習(xí)題改編)函數(shù)yx(x0)的值域?yàn)?)A(，22，) B(0，)C2，) D(2，)2下列不等式：a212a；2；x21，其中正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D33若a0，b0，且a2b20，則ab的最大值為()A. B1 C2 D44(2011·重慶)若函數(shù)f(x)x(x2)在xa處取最小值，則a()A1 B1 C3 D45已知t0，則函數(shù)y的最小值為_考向一利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x0，y0，且2xy1，則的最小值為_；(2)當(dāng)x0時(shí)，則f(x)的最大值為_【訓(xùn)練1】 (1)已知x1，則f(x)x的最小值為_(2)已知0x，則y2x5x2的最大

10、值為_(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，則xy的最小值為_考向二利用基本不等式證明不等式【例2】已知a0，b0，c0，求證：abc.【訓(xùn)練2】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.考向三利用基本不等式解決恒成立問題【例3】(2010·山東)若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_【訓(xùn)練3】 (2011·宿州模擬)已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是_考向三利用基本不等式解實(shí)際問題【例3】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m房屋正面的造價(jià)為400元/m2，房屋側(cè)面

11、的造價(jià)為150元/m2，屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元，如果墻高為3 m，且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用當(dāng)側(cè)面的長度為多少時(shí)，總造價(jià)最低？【訓(xùn)練3】 (2011·廣東六校第二次聯(lián)考)東海水晶制品廠去年的年產(chǎn)量為10萬件，每件水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格為100元，固定成本為80元從今年起，工廠投入100萬元科技成本并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本預(yù)計(jì)產(chǎn)量每年遞增1萬件，每件水晶產(chǎn)品的固定成本g(n)與科技成本的投入次數(shù)n的關(guān)系是g(n).若水晶產(chǎn)品的銷售價(jià)格不變，第n次投入后的年利潤為f(n)萬元(1)求出f(n)的表達(dá)式；(2)求從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？閱卷報(bào)告8忽視基本不等式成立的條件致誤【問題診斷】 利用基本不等式求最值是高考的重點(diǎn)，其中使用的條件是“一正、二定、三相等”，在使