高考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)：1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最(極)值(精講篇)

1、6用思維導(dǎo)圖突破函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 專題1極值(最值)問(wèn)題 精講篇 (12頁(yè))用思維導(dǎo)圖突破導(dǎo)數(shù)壓軸題解答數(shù)學(xué)題的思維導(dǎo)圖已知條件 隱含條件i 否 i否中間結(jié)論(可知) 已知條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化f逛公園順道看景，好風(fēng)光駐足留影.把條件翻成圖式，關(guān)鍵處深挖搞清.綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因.兩方法嫁接聯(lián)姻，讓難題無(wú)以遁形.這里把解題比作逛公園，沿路而行，順道看景，既有活躍氣氛，又有借景喻理之意，即 理解題意后把已知條件 翻譯”出來(lái)，如果能得到結(jié)論那是最好，如果不行就要轉(zhuǎn)化，即從已知條件入手推出中間結(jié)論(可知)，當(dāng)中間結(jié)論能直接證明最終結(jié)論時(shí)，則解題成功.當(dāng)中間結(jié)論不能直接證明最終結(jié)論時(shí)，可把最終結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)

2、化為需知”，再用中間結(jié)論證明 需知”從而達(dá)到解題目的.有時(shí)還要挖掘題目的隱含條件.從某種意義上說(shuō)，解題就是找關(guān)系”-找出已知與未知的聯(lián)系，不斷縮小以至消除二者之間的差距，從而達(dá)到解題目的這個(gè)思維導(dǎo)圖不僅是用來(lái)解答壓軸題，其實(shí)，每個(gè)層次的學(xué)生都有相應(yīng)的難題。中等以下水平的學(xué)生高考基本不用做壓軸題的，但他們做中檔題會(huì)有困難，思維導(dǎo)圖一樣適用。專題01導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最(極)值問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值、最值的基本方法是先求 f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x),再求f'(x)的零 點(diǎn)Xi , i N ,根據(jù)f' (x)在為兩邊的符號(hào)判斷的單調(diào)性，最后確定 f (x)是極大值或極小 值，

3、再確定最值。先求導(dǎo)數(shù)再定零點(diǎn)考查單調(diào)極值來(lái)了引例(2019 江蘇卷第 19 題)設(shè)函數(shù) f(x) (x a)(x b)(x c) , a , b , c R, f (x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若 a b c, f (4)8,求 a 的值；(2)若a b , b c ,且f (x)和f (x)的零點(diǎn)均在集合 3, 1, 3中，求f (x) 的極小值；(3)若a 0, 0 b, 1 , c 1,且f(x)的極大值為M ,求證：M,工.27思路點(diǎn)撥第(1)只要直接計(jì)算即可。第(2)題先求出f (x)和f (x)的含參數(shù)零點(diǎn)(用 a、b表 示)，再根據(jù)零點(diǎn)均在集合 3,1, 3中確定a、b的值。第

4、(3)題求出f (x)的零點(diǎn)Xi,X2 (設(shè)X x2),根據(jù)單調(diào)性確定極大值為f(xj X： (b 1)X12 bx1，這里含有兩個(gè)變量，最容易想到的方法就是轉(zhuǎn)化為一元變量，但恒等變形能力要求較高，也可以挖掘隱含條件利用基本不等式整體消元。第(3)解題思維導(dǎo)圖如下：求f (x)的極大值M2,(b 1)X1bX1對(duì)f(x)求導(dǎo)可得f(x)的極大值M=f(x1) x132b2_22b 2)X1 b bM f(x)x；( x2 2x1 1) 2xJ1'又 2b2 2bc c12 0, % (0-, 3再放大，或Mb(b 1) 2(b271)2(b 1)213石一亦,b(b 1) 1)3八1x

5、1(0,-,/ x2(g(x)2x 2x 1)2x 1'證明其在(0,1單調(diào)遞增求M3利用b (0,1,可得f(x1) X1(X| b)(x1 1)12xi (b xi)(1 X1)21 b 1 34()一2 327再放大求M利用b (0,1,可得一、 ，、，、，、2f(x) x(x b)(X1 1) X(X1 1),_20 X11。構(gòu)造 g (x) x(x 1),X (0,1),求 M滿分解答(1)因?yàn)?ab c,所以 f(x)(x a)3,又f(4) 8,所以(4a)38,解得a2.(2) a b,b c,設(shè) f(x) (xa)(x b)2,令 f (x) (x a)(x b)2

6、0 ,解得 x a ,或 x b .又 f (x) (xb)2 2(x a)(x b)(x b)(3xb 2a)，令 f(x)0 ,解得 xb,或2a b x .3因?yàn)閒 (x)和f (x)的零點(diǎn)均在集合 A 3, 1, 3中，所以c , , w 2ab 6 15A -a 3 , b 1 ,貝U - A,舍去;333 ,-皿 2ab 2 31A -a 1 , b 3,則 - A,舍去；3,2a b31 A,舍去;3,2a b31 A;333a 3 , b 1 ,則 2ab 61 7 A ,舍去; 333,c w 2aa 1 , b3,則一b 5A ,借.因止匕a 3 , b 3,332a b3

7、1 A,從而 f(x) (x 3)(x 3)2, f(x) 3x ( 3)(x 1),令 f'(x) 0 ,得 x3或x1 .列表如下：x(,3)3(3,1)1(1,)f1(x)+0一0+f(x)Z極大值極小值Z從而可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一叫_3和口,+3)，單調(diào)遞減區(qū)間為,一3山，由此可知當(dāng) x 1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值，f (1)2 4232 .(3)證明：a 0,0 b, 1 , c 1 , f(x) x(x b)(x 1),貝U一- 2 一一f (x) (x b)(x 1) x(x 1) x(x b) 3x(2b 2)x b.221 2因?yàn)?(b 1) 12b 4

8、b 4b 4 4(b -)33,所以f (x) 0有兩實(shí)根 /因，設(shè)x1 x2,則f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為f，單調(diào)遞減區(qū)間為x1,x2,于是f(x)產(chǎn)和%+00)取得極大值為 Mf (x1) x1(x1 b)(x1 1)。這里有兩個(gè)變量，隨著把二元變量轉(zhuǎn)化為一元變量有兩種方法，這對(duì)恒等變形能力要求較高，也可以根據(jù) b的范圍確定上的范圍，利用基本不等式整體消元，這樣比較簡(jiǎn)單。解1利用求根公式由b表小x1 ,消x1,、c 2一c、,c r21P-、，-，由 f(X)3x1(2b2)x1b0 得x(2 b2)x1b,從而3f(xj x(x b)(x 1)2(2 b 2)x1bb)(x1x1)(x1 b

9、)(A x1)3l(2b 1)x； 2b2x1 b21(2b 1) (2b 2)x1 b 2b2x b2i _ 2_2-(2b 2b 2)x1 b b由于 2b2 2b 22(b,1 1-M在x1 (0,T ,上單倜遞減，33331)2 3。，且 x1 b 4 后 b 1(01，所以2233221/ 2b2 2b 2 / “ b2 5b 24M 頸H b b).932727即 M ,.27還可以這樣消去常【:因?yàn)閒'(國(guó))3為2 2(b 1)x1 b 0,所以8用思維導(dǎo)圖突破函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 專題1極值(最值)問(wèn)題 精講篇 (12頁(yè))1g 3X|b 1 , b1 2 3 b 1,x2所以f

10、(x1)為3(b1)x12bx13x2 2(bI)”Xi22 b2 b 1b(b 1)9f'(x1吟-22(b b91)xib(b 1)9b(b 1)2722(b 1) (b 1)272 327(Jb(b 1) 1),由于0 b,21 ,上式 一2720 274rr,即M274o27這兩種恒等變形是不是有不會(huì)想到啊!解2利用f'(x)=0 消去 bf (%)23x2 (2 b2)x1 b。得3x2 2x2x1一一 112(0,1,解得0 x或£33又2x1x1x22(b 1)f(x1)3xi(b1)xi2bx2-為-,從而03x12( x12 2x1令 g(x)2x

11、1)2x 1則 g'(x)2xi 12x(x 1)(3x2 2(2x 1)3x 1)1 30, g(x)在(0,1單調(diào)遞增, 3解3利用不等關(guān)系0 b 1消27 b因?yàn)?b (0,1,所以 x1 (0,b),x1b 0,x1 1 0.f (x1)為(x12b)(xi 1) x1(x1 1)。令 g(x) x(x 1)2, x (0,1),1則 g'(x) 3(x)(x31),令 g'(x)0,則g( x) max427下:x(0,1) 3131(3,1)g'(x)+0一g(x)Z極大值1,、所以當(dāng)x 時(shí)，g(x)取得極大值，且是最大值，故310用思維導(dǎo)圖突破函數(shù)

12、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 專題1極值(最值)問(wèn)題 精講篇 (12頁(yè))427所以M427所以當(dāng)x (0,1)時(shí)，f(x) g(x) £ ,因此M27解4利用均值不等式消 xia b c因?yàn)閎 (0,1,所以xi (0,b),由均值不等式9abc (a 0,b 0,c 0),則311b 1 34f(xi) x1 (x1 b)(x1 1)2x1 (b x1 )(1 x1)()22327例2 (2019年出文第20題)已知函數(shù)f(x) 2x3 ax2 2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)0 a 3時(shí)，記f(x)在區(qū)間0 , 1的最大值為 M ,最小值為m ,求 M m的取值范圍.思路點(diǎn)撥a第(1)題求出

13、f'(x)的零點(diǎn)0, 3 ,分a 0,a 0,a 0三種情況，討論f (x)的符號(hào)， 從而確定其單調(diào)性。第(2)題根據(jù)(1)在0 , 1的單調(diào)性，求出值 M和m ,再求M m 的取值范圍。滿分解答(1) f (x) 6x2 2ax 2x(3x a) 令 f (x) 0 解得 x 0或 x a.3若a 0, f (x) 6x20,函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；若 a 0,則當(dāng) x (, (,0)U(a,)時(shí)，f(x) 0；當(dāng) x (0,芻)時(shí)，f (x) 0.33故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0) , (a,)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-)；33若 a 0,則當(dāng)(，a)U(0,)時(shí)，f (

14、x) 0;當(dāng) x (- , 0)時(shí)，f (x) 0.33故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a), (0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為/ a(一,3(2)當(dāng)0 a 3時(shí)，由(1)知，f(x)在(0,與)上單調(diào)遞減，在3(-,1)上單調(diào)遞增, 3所以f(x)在區(qū)間0, 1的最小值為3 a27f(0)2或 f(1)3a c+2 , 274 a,02,2, aa 2, 從而M3,a 2 時(shí)，記 g(a) 2 a3a,則可知g'(a) 272m 3a,2, 272-1 93 a 一,0 27a 3.a 2,0 ,因此g(a)(0,2)單調(diào)遞減，M m的取值范圍是(27，2)；當(dāng)2, a 3時(shí)，a_單調(diào)遞增，

15、M m的取值范圍是£ , 1). 2727綜上'M m的取值范圍導(dǎo)2).例3(2018全國(guó)1卷理科第21題)已知函數(shù)fx 二x alnx. x(1)討論f x的單調(diào)性；(2)若f x存在兩個(gè)極值點(diǎn) x, x2,證明：x x1x x2 a 2 .x x2思路點(diǎn)撥(1 )討論f x的單倜性，就是要比較f (x)與0的大小。因?yàn)?，?， a 1,2，、1 ,f (x) 1 -(xax 1) , f 恒小于0,所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)x xxxh(x) x2 ax 1在定義域(0,)上函數(shù)值與0的大小關(guān)系。h(x)是一個(gè)過(guò)定點(diǎn)(0,1)開(kāi)a口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x a。分類討論的標(biāo)準(zhǔn)：(

16、1)a 0,即對(duì)稱軸在y軸左側(cè)或2為y軸；(2)a 0,即對(duì)稱軸在y軸右側(cè)；這時(shí)又需要進(jìn)一步討論：(i)0,即0 a 2；(ii) 0,即 a 2。解(1) f (x)的定義域?yàn)?0,), f (x)2 1 旦2 (x2 ax 1)x x xa令h(x) x2 ax 1,這是一個(gè)過(guò)定點(diǎn)(0,1)開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為x 。2當(dāng)a 0時(shí)，即a 0時(shí)，h(x)在(0,)恒大于0, f'(x) 0,此時(shí)f(x)在(0,) 2上是減函數(shù)。(ii)當(dāng)a 0時(shí)，即a 0時(shí)，令a2 4 ,2當(dāng) 0,即0 a 2時(shí)，f'(x) 0恒成立，此時(shí)f(x)在(0,)上是減函數(shù)。0,即a 2時(shí)，h

17、(x) 0的兩根為a-La4 ,作出h(x)的草圖，由圖可12用思維導(dǎo)圖突破函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 專題1極值（最值）問(wèn)題 精講篇 （12頁(yè)）知，當(dāng) x （0一）U -)時(shí),f (x) 0；.a 4 a “a 4)時(shí),f (x) 0.f(x)在(0,aa a2 42),(）上是減函數(shù)；在（aa2 4 24)是增函數(shù)。綜上所述,2時(shí),f(x)在(0,）上單調(diào)遞減;f(x)在（。，3），一二）上單調(diào)遞減a 7 a之4）上單調(diào)遞增。（2）因?yàn)閒 （x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1, x2,所以由（1）得a2.不妨設(shè)x1x2 ,因?yàn)閤1，x2為方程x2 ax 1 0的兩個(gè)實(shí)根，所以xx2 1 ,f(x1)f(x2)x2x

18、1xx2(xix2)a(ln x11nx2)=2(xix2)a(lnxiInx?)f (xi)f 3)2a(1nx11nx2)x1x2x1x2'證 33 a 2x1x2(In x11n x2)121n x2x1x2x1x2且 xx2只要證x2X21一x2 x221n得函數(shù)g(x)21n x 在(0,）上單調(diào)遞減，g(x2)x2x2 21n x2g(1)0,得證!附注1n x11n x21可以有多種證法。17用思維導(dǎo)圖突破函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 專題1極值(最值)問(wèn)題 精講篇 (12頁(yè))ln x1ln x2,11,即 1nxiln x2 x1x2，亦即 21nxixi一 在(0,1)上恒成立，x1

19、 x2x11/1 2設(shè) h(x) 2ln x x - , 0 x 1 ,則 h'(x) - 1 , (x 21)0,所以xx x x1h(x)在h(x) 21n x x 在(0,1)單調(diào) 遞減，所以h(x) h(1) 0 ,從而 x11f (x1)f (x2)c21n x x 一 0,即 21nx x -,所以a 2。xx1 x2例4 (16全國(guó)3文21)設(shè)函數(shù)f(x) 1n x x 1(1)討論f (x)的單調(diào)性；.x 1 1 x證明當(dāng)x (1，)時(shí)， 1nx ；x(3)設(shè) c 1,證明當(dāng) x (0,1)時(shí)，1 (c 1)x c.思路點(diǎn)撥解答(1)要先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式，從而確

20、定單調(diào)區(qū)間；(2)左端可利用(1),右端把x換成1 ； (3)把要證的不等式左邊移到右邊，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明不等式 x滿分解答,、1/ 人，,曰(1)函數(shù) f(x)的定乂域?yàn)?0,), f (x)=- 1,令 f(x)=0 得 x 1.x當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) 0, f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x 1時(shí)，f (x) 0 , f(x)單倜遞減.(2)由(1)知，f (x)在x=1處取得最大值，且最大值為f(1)=0.當(dāng) x 1 時(shí)，f (x) 0,即 lnx x 1 0,所以 1nx x 1;、x 1x (1,)時(shí)，In x 0,由 lnx x 1得 1 。In x一， ，1 再以當(dāng)x代一得,

21、11, r X 1, r X 1 一 X 1ln - - 1 ,即In x,即x,所以 1 x.x xxln xln x(3)設(shè) g(x) 1 (c 1)x cx,則 g(x) c 1 cx ln c.i c 1人 'In令g (x) 0 ,因?yàn)閏 1,所以 in c .x1inc當(dāng) x x1時(shí)，c 1,in c 0, g (x) c 1 ex in c c 1 e51 in c g (x1) 0 ,即 ' 、 , g (x) 0 ,只要g(x)在(x, x)上單倜遞增；當(dāng)x x1時(shí)，同理可得g (x) 0, g(x)單調(diào)遞減.c 1由(2)得 1 in c,故 0 X 1.

22、in c又g(0)g(1=0,故當(dāng) 0 x 1 時(shí)，g(x) 0.所以當(dāng) x (0,1)時(shí)，1 (c 1)x cx.例5 (2016年全國(guó)1理第21題)x 2(1)討論函數(shù)f(x) =2ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x 0時(shí)，(x 2)ex x 2 0;x 2x(2)證明：當(dāng)a 0,1)時(shí)，函數(shù)g x =e一axa(x 0)有最小值.設(shè)g x的最小x值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.思路點(diǎn)撥(1) 先對(duì)f x求導(dǎo)，再判斷的單調(diào)性，根據(jù) f x在(0,)上的單調(diào)性，比較 f x與f(0)的大小關(guān)系證明不等式；(2)對(duì)g x求導(dǎo)判斷單調(diào)區(qū)間，求出最小值 h(a),再求h(a)的值域.滿分解答/2 x(1

23、)證明：f x2 U 2,x 2 x f Y (X 1)(x 2) (x 2) x x e e , f X2e2 .x 2x 2x 2時(shí)，f x 0 ,所以f x在 ，2和 2, 上單調(diào)遞增.又當(dāng)x 0時(shí),f 0 = 1 ,所以 x 2 exx 2 , x 2 ex x 2 0.x2xe a x 2x e ax ax xex 2ex ax 2ax 2 x ex 23xax 2 f (x)=3x由知，當(dāng)x 0時(shí)，f x a單調(diào)遞增，所以對(duì) a 0,1, f 0 a a 1 0 ,f(2) a a 0.因此，存在唯一 t (0,2,使 f a 0,即 g(t) =0 .當(dāng) 0 x t 時(shí)，f(t)

24、 a 0,g (x) 0, g(x)單調(diào)遞減；'當(dāng) x t 時(shí)，f (t)0, g (x) 0, g(x)單調(diào)遞增.因此，g(x)在x=t是取得最小值，最小值為te a t 12tet f(t) t 12tt 2 t2t士，在 t 0, 2 時(shí),t 2et t 12 0,所以k t單調(diào)遞增,t 21 e2,一24例6 (2015年安徽理第21題)設(shè)函數(shù)f xx2 ax b .例5 (2015年安徽理第21題)設(shè)函數(shù)f x x2 ax b.(1)討論函數(shù)f sinx在一,一 內(nèi)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；(1)討論函數(shù)f sinx在 212 2白體調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值；(2)記f%xx2 a0x b0,求函數(shù)|f sinxf0 sinx|在一,一 上的最大值(2)記 f0 x x2 a°x b0,求函數(shù) f sinxf0 sinx /？” 上 2段封直 D；D ；a22在描劉逸a0岫0a0 0譜Z0,bjt z4 b®t