圓錐曲線大題全攻略含答案詳解

1、本文格式為word版，下載可任意編輯圓錐曲線大題全攻略含答案詳解 圓錐曲線大題全攻略系列課程 1. 求軌跡方程問題 2. 圓錐曲線中的定點問題 3. 圓錐曲線中的定值問題 4. 圓錐曲線中的最值問題 5. 點差法解決中點弦問題 6. 常見幾何關系的代數(shù)化方法 7. 圓錐曲線中的非對稱"韋達定理'問題處理技巧 8. 圓錐曲線中的三點共線問題 9. 巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點共圓問題 10. 拋物線中阿基米德三角形的常見性質及應用 11. 圓錐曲線中的雙切線題型 圓錐曲線 中的求軌跡方程問題 解題技巧 求動點的軌跡方程這類問題可難可易是高考中的高頻題型，求軌跡方程的主要方

2、法有直譯法、相關點法、定義法、參數(shù)法等。它們的解題步驟分別如下： 1. 直譯法求軌跡的步驟： （1）設求軌跡的點為 ); , ( y x p （2）由已知條件建立關于 y x, 的方程； （3）化簡整理。 2. 相關點法求軌跡的步驟： （1）設求軌跡的點為 ) , ( y x p ，相關點為 ) , (o oy x q ; （2）依據(jù)點的產生過程，找到 ) , ( y x 與 ) , (o oy x 的關系，并將o oy x , 用 x 和 y 表示； （3）將 ) , (o oy x 代入相關點的曲線，化簡即得所求軌跡方程。 3. 定義法求軌跡方程： （1）分析幾何關系； （2）由曲線的定義

3、直接得出軌跡方程。 4. 參數(shù)法求軌跡的步驟： （1）引入?yún)?shù)； （2）將求軌跡的點 ) , ( y x 用參數(shù)表示； （3）消去參數(shù)； （4）討論范圍。 【例 1.】已知平面上兩定點 ), , ( ), , ( 2 0 2 0 n m - 點 p 滿意 , mn pn mn mp · = · 求點 p 的軌跡方程。 【例 2.】已知點 p 在橢圓 1422= + yx上運動，過 p 作 y 軸的垂線，垂足為 q ，點 m 滿意, pq pm31= 求動點 m 的軌跡方程。 【例 3.】已知圓 ), , ( , ) ( : 0 2 36 22 2b y x a = + +

4、點 p 是圓 a 上的動點，線段 pb 的中垂線交pa 于點 q ，求動點 q 的軌跡方程。 【例 4.】過點 ) , ( 1 0 的直線 l 與橢圓 1422= +yx 相交于 b a, 兩點，求 ab 中點 m 的軌跡方程。 專題練習 1. 在平面直角坐標系 xoy 中，點 ( ) ( ) , , , , 4 0 1 0 b a 若直線 0 2 + + - m y x 上存在點 p ,使得, pb pa21= 則實數(shù) m 的取值范圍為_. 2. 已知 ( ) q p , , 2 4 - 為圓 42 2= + y x o: 上任意一點，線段 pq 的中點為 , m 則 om 的取值范圍為_.

5、 3. 拋物線 x y c 42: 的焦點為 , f 點 a 在拋物線上運動，點 p 滿意 , fa ap 2 - = 則動點 p 的軌跡方程為_. 4. 已知定圓 , ) ( : 100 42 2= + + y x m 定點 ), , ( 4 0 f 動圓 p 過定點 f 且與定圓 m 內切，則動圓圓心 p 的軌跡方程為_. 5. 已知定直線 , : 2 - = x l 定圓 , ) ( : 4 42 2= + - y x a 動圓 h 與直線 l 相切，與定圓 a 外切，則動圓圓心 h 的軌跡方程為_. 6. 直線 0 3 3 = + - + t y tx l : 與拋物線 x y 42=

6、 的斜率為 1 的平行弦的中點軌跡有公共點，則實數(shù) t 的取值范圍為_. 7. 拋物線 y x 42= 的焦點為 , f 過點 ) , ( 1 0 - m 作直線 l 交拋物線于 b a, 兩點，以 bf af, 為鄰邊作平行四邊形 , farb 求頂點 r 的軌跡方程。 8. 如圖，在平面直角坐標系 xoy 中，已知直線 l 與橢圓 112 242 2= +y xc : 相交于 b a, 兩點，o 為坐標原點。 （1）若直線 l 的方程為 , 0 6 2 = - + y x 求 ob oa· 的值； （2）若 , 12 - = ·ob oa 求線段 ab 的中點 m 的軌

7、跡方程。 直線過定點問題 解題技巧 證明動直線在肯定的條件下過定點是解析幾何中的一類重要題型,這類問題解題一般有兩 種解法. 【法 1】設直線，求解參數(shù)，一般的解題步驟為： (1).設出直線的方程 b kx y + = 或 t my x + = ； (2).通過題干所給的已知條件,進行正確的運算,找到 k 和 m b, 和 t 的關系，或者解出 t b, 的值； (3) 依據(jù)(2)中得出的結果,找出直線過的定點. 【法 2】求兩點，猜定點，證向量共線。一般的解題步驟為： (1) .通過題干條件，求出直線上的兩個點 b a, 的坐標(含參)； (2).取兩個詳細的參數(shù)值，求出對應的直線 ab ，

8、并求出它們的交點 p ，該點即為直線過的 定點； (3)證明 pa 與 pb 共線，得出直線 ab 過定點 p 。 注：上面的兩個解法中，解法 2 的計算量通常要大一些，故一般首選解法 1.當解法 1 失效 或處理起來較為簡單時再考慮解法 2. 【例一】已知橢圓 ( ) 0 12222> > = + b abyaxc : 的半焦距為 c ，離心率為21，左頂點 a 到直線cax2= 扥距離為 6，點 q p, 是橢圓上的兩個動點。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）若直線 aq ap ,求證：直線 pq 過定點 r ，并求出 r 點的坐標。 【例二.】已知一動圓經過點 ( ) 0

9、2, m ,且在 y 軸上截得的弦長為 4，設該動圓圓心的軌跡為曲線 c 。 （1）求曲線 c 的方程； （2）過點 ( ) 0 1, n 任意作兩條相互垂直的直線2 1l l , ，分別交曲線 c 于不同的兩點 b a, 和e d, ,設線段 de ab, 的中點分別為 q p, . 求證：直線 pq 過定點 r ，并求出定點 r 的坐標； 求 pq 的最小值。 專題練習 1. 設橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxe: 的右焦點到直線 0 2 2 = = + + - - y x 的距離為 3，且過點÷ 

10、7;÷ ÷ø øö öç çç çè èæ æ- - - -261, 。 （1）求 e 的方程； （2）設橢圓 e 的左頂點是 a ，直線 0 = = - - - - t my x l : 與橢圓 e 交于不同的兩點 n m, （均不與 a 重合），且以 mn 為直徑的圓過點 a 。試推斷直線 l 是否過定點，若是，求出定點坐標；若否，說明理由。 2. 橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abya

11、xc: 的上頂點為 b ，右焦點為 f ，點 f b, 都在直線0 3 3 = = - - + + y x 上。 （1）求橢圓 c 的標準方程； （2） n m, 為橢圓 c 上的兩點，且直線 bn bm, 的斜率之積為41，證明：直線 mn 過定點，并求定點坐標。 3. 拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p px y c: 上一點 ( ( ) )( ( ) ) 0 10 0> > y y m , 滿意 2 = = mf ，其中 f 為拋物線的焦點。 （1）求拋物線 c 的方程； （2）設直線 ma 和 mb 分別與拋物線 c 交于不同于 m 點的 b a

12、, 兩點，若 mb ma ，證明：直線 ab 過定點，并求此定點的坐標。 4. 已知直線 l 的方程為 2 + + = = x y ，點 p 是拋物線 x y 42= = 上距離直線 l 最近的點，點 a 是拋物線上異于點 p 的點，直線 ap 與直線 l 交于點 q ，過點 q 與 x 軸平行的直線與拋物線交于點 b 。 （1）求 p 點的坐標； （2）證明：直線 ab 恒過定點，并求這個定點的坐標。 圓錐曲線中的定值問題 解題技巧 1. 在圓錐曲線問題中,定值問題是?？碱}型,解題的一般步驟為: （1）設出直線的方程 b kx y + = 或 t my x + = 、點的坐標; （2）通過題

13、干所給的已知條件,進行正確的運算,將需要用到的全部中間結果(如弦長、距 離等)表示成直線方程中引入的變量，通過計算得出目標變量為定值 2. 解析幾何大題計算過程中常常用到弦長公式,下面給出常用的計算弦長的公式: (1)若直線 ab 的方程設為 ( ) , , ), , ( ,2 2 1 1y x b y x a m kx y + = 則 ( )ak x x x x k x x k abd· + = - + · + = - · + =22 122 122 121 4 1 1 (2)若直線 ab 的方程設為 ( ) , , ), , ( ,2 2 1 1y x b y

14、 x a t my x + = ,則 ( )am y y y y m y y m abd· + = - + · + = - · + =22 122 122 121 4 1 1 注:其中 a 指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后,化簡得出的關于 x 或 y 的一元二 次方程的平方項系數(shù), d 指的是該方程的判別式.通常用ak abd· + =21 或 am abd· + =21 計算弦長較為簡便 【例 1.】設拋物線 , :2x y c = 直線 l 經過點 ） （ 0 , 2 且與拋物線交于 a 、 b 兩點，證明： ob oa· 為

15、定值。 【 例 2. 】 已 知 橢 圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc 的 離 心 率 為a o b o b b a a d ), 0 , 0 ( ), 0 ), 0 , (23， （ ， 的面積為 1. （1）求橢圓 c 的方程； （2） 設 p 為 c 上一點，直線 pa 與 y 軸交于點 , m 直線 pb 與 x 軸交于點 . n 求證：bm an · 為定值。 專題練習 1. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxc: 的離心率為22，且過點 ( ( ) ) 1

16、 2, 。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）設 p 是橢圓 c 長軸上的動點，過 p 作斜率為22的直線 l 交橢圓 c 于 b a, 兩點，求證：2 2pb pa + + 為定值。 2. 已知點 ( ( ) ) 0 1, f ，直線 p x l , : 1 - - = = 為平面上的動點，過 p 作直線 l 的垂線，垂足為點 q ，且 fq fp qf qp × × = = × × 。 （1）求動點 p 的軌跡 c 的方程； （2）過點 f 的直線交軌跡 c 與 b a, 兩點，交 l 于點 m ，若 bf mb af ma2 1l l = = =

17、= , ，求2 1l l + + 的值。 3.已知拋物線 px y c 22= = : 經過點 ( ( ) ) 2 1, p 過點 ( ( ) ) 1 0, q 的直線 l 與拋物線 c 有兩個不同的交點 b a, ，且直線 pa 交 y 軸于 m ，直線 pb 交 y 軸于 n 。 （1）求直線 l 的斜率的取值范圍； （2）設 o 為原點， qo qn qo qm m l = = = = , ，求證：m l1 1+ + 為定值。 4.已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxe: 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的

18、3 個頂點，直線 3 + + - - = = x y l : 與橢圓 e 有且只有一個公共點 t 。 （1）求橢圓 e 的方程及點 t 的坐標； （2）設 o 為坐標原點，直線l¢ ¢平行于 ot ，與橢圓 e 交于不同的兩點 b a, ，且與直線 l 交于點 p ，證明：存在常數(shù) l ，使得 pb pa pt × × = = l2，并求 l 的值。 5.在平面直角坐標系 xoy 中，橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxc: 過點 ÷ ÷ø ø&

19、#246; öç çè èæ æ231, ，右焦點為 ( ( ) ) 0 1, f ，過焦點 f 且與 x 軸不重合的直線與橢圓 c 交于 b a, 兩點，點 b 關于原點的對稱點為 p ，直線 pb pa, 分別交直線 4 = = x 于 n m, 兩點。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）若 b 的坐標為÷ ÷÷ ÷ø øö öç çç çè èæ æ53 358

20、, ，求直線 pa 的方程； （3）記 n m, 兩點的縱坐標分別為n my y , ，問：n m yy 是不是定值？ 6.過拋物線 x y 42= = 上肯定點 ( ( ) ) 2 2 2, p 作兩條直線分別交拋物線于不與 p 重合的( ( ) ) ( ( ) )2 2 1 1y x b y x a , , , 兩點。 （1）求該拋物線上縱坐標為 1 的點到其焦點的距離 d ； （2）當 pa 與 pb 的傾斜角互補時，證明直線 ab 的斜率為非零的常數(shù)，并求出此常數(shù)。 圓錐曲線中的最值問題 解題技巧 求最值(范圍)問題是圓錐曲線常考題型,這類題解題的一般步驟是： (1)設出直線的方程 b

21、 kx y + = 或 t my x + = 、點的坐標； (2)將直線的方程代入圓錐曲線中,計算弦長、點到直線的距離等中間量； (3)將求范圍的目標量表示成直線中引入的參數(shù)的函數(shù)關系式; (4)運用函數(shù)、均值不等式等基本方法求出最值(范圍). 【例 1.】已知點 ), 2 , 0 ( - a 橢圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxe 的離線率為 f ，23是橢圓的焦點，直線 af 的斜率為 o ，33 2為坐標原點。 （1）求 e 方程； （2）設過點 a 的直線 l 與 e 相交于 q p, 兩點，當 opq d 的面積最大時，求 l 的方程。 專題練習

22、 1. 在平面直角坐標系 xoy 中，已知點 ( ( ) ) b a , , 1 0 - - 點在直線 3 - - = = y 上， m 點滿意m ba mb ab ma oa mb , , / · · = = · · 點的軌跡為曲線 c 。 （1）求 c 的方程； （2） p 為 c 上的動點， l 為 c 在 p 點處的切線，求 o 點到 l 距離的最小值。 2. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 13222> > = = + + ayaxm : 的一個焦點為 ( ( ) ) 0 1, - - f ，左、右頂點分別為 b a, 經過點 f 的

23、直線 l 與橢圓 m 交于 d c, 兩點。 （1）求橢圓的方程； （2）記 abd d 與 abc d 的面積分別為1s 和2s ，求2 1s s - - 的最大值。 3. 已知拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p py x c: ，過其焦點作斜率為 1 的直線 l 與 c 交于 n m, 兩點，16 = = mn 。 （1）求拋物線 c 的方程； （2）已知動圓 p 的圓心在 c 上，且過定點 ( ( ) ) 4 0, d ，若動圓 p 與 x 軸交于 b a, 兩點，db da < < ，求dbda的最小值。 4. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 12

24、222> > > > = = + + b abyaxc: 的左、右焦點分別為2 1f f , ，左頂點為 a ，離心率為22，點 b 是橢圓上的動點，1abf d 面積的最大值為21 2 - -。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）設經過點的直線1f 的直線 l 與橢圓 c 相交于不同的兩點 n m, ，線段 mn 的中垂線為l¢ ¢，若直線l¢ ¢與 l 相交于點 p ，與直線 2 = = x 相交于點 q ，求mnpq的最小值。 5. 設圓 0 15 22 2= = - - + + + + x y x 的圓心為 a ，直線 l

25、 過點 ( ( ) ) 0 1, b 且與 x 軸不重合， l 交圓 a于 d c, 兩點，過 b 作 ac 的平行線交 ad 于點 e 。 （1）證明 eb ea + + 為定值，并寫出點 e 的軌跡方程； （2）設點 e 的軌跡為曲線1c ，直線 l 交1c 于 n m, 兩點，過 b 且與 l 垂直的直線與圓 a交于 q p, 兩點，求四邊形 mpnq 面積的取值范圍。 6. 已知橢圓 1422= = + + yxg : ，過點 ( ( ) ) 0 , m 作圓 12 2= = + + y x 的切線 l 交橢圓 g 與 b a, 兩點。 （1）求橢圓 g 的焦點坐標和離心率； （2）將

26、 ab 表示為 m 的函數(shù)，并求 ab 的最大值。 7. 如圖，已知點 ( ( ) ) 0 1, f 為拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p py y 的焦點，過 f 的直線交拋物線與 b a, 兩點，點 c 在拋物線上，使得 abc d 的重心 g在 x 軸上，直線 ac 交 x 軸于點 q ，且 q 在點 f 右側，記cqg afgd d , 的面積分別為2 1s s , 。 （1）求 p 的值及拋物線的準線方程； （2）求21ss的最小值及此時點 g 的坐標。 常見幾何關系的代數(shù)化方法 解題技巧 解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法討論幾何問題，因此，積累一些常見的

27、幾何關系的代數(shù)化方法是有必要的，本專題歸納了一些常見的幾何關系的處理方法： （1）以 ab 為直徑的圓過點 0 = · Û pb pa p ; （2）點 p 在以 ab 為直徑的圓內 0 < · Û pb pa ; （3）點 p 在以 ab 為直徑的圓外 0 > · Û pb pa ; （4）四邊形 pqrs 為平行四邊形 Û 對角線 pr 與 qs 相互平分; （5）四邊形 pqrs 為菱形 Û 對角線 pr 與 qs 相互垂直平分； （6）四邊形 pqrs 為矩形 Û 對角線 pr 與 q

28、s 相互平分且相等； （7） 0 = · Û = ab pm pb pa ,其中 m 為 ab 的中點； （8）直線 ab 與直線 mn 關于水平線或豎直線對稱 0 = + Ûmn abk k ; （9）f 為 pqm d 的垂心 0 = · Û qm pf、0 = ·pm qf且0 = ·pq mf. 【例一】已知圓 c： ( ) 12 122= + + y x 及點 f（1，0），點 p 在圓上，m,n 分別為 pf，pc 上的點，且滿意 0 = · = pf mn mf pm , . （1）求 n 的軌跡 w

29、 的方程； （2）是否存在過點 f（1，0）的直線 l 與曲線 w 相交于 a,b 兩點，并且與曲線 w上一點 q，使得四邊形 oaqb 為平行四邊形？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由。 【例二】在直角坐標系 xoy 中，曲線42xy c = : 與直線 ) ( : 0 > + = a a kx y l 交于 m,n兩點。 （1）當 0 = k 時，分別求 c 在點 m 和 n 處的切線方程； （2）在 y 軸上是否存在點 p，使得當 k 變動時，總有 ? opn opm Ð = Ð 說明理由。 專題練習 1. 已知 a,b,c 是橢圓 1422= +

30、 yxw : 上的三個點， o 是坐標原點。 （1）當點 b 是 w 的右頂點，且四邊形 oabc 為菱形時，求此菱形的面積； （2）當點 b 不是 w 的頂點，推斷四邊形 oabc 是否可能為菱形，并說明理由； 2. 已知橢圓 ( ) 0 12222> > = + b abyax的右焦點為 f ,上頂點為 o m, 為坐標原點，若omf d 的面積為21，且橢圓的離心率為22。 （1）求橢圓的方程； （2）是否存在直線 l 交橢圓于 q p, 兩點，且 f 點恰為 pqm d 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由。 3. 直 線 , : 0 8= + + y

31、x l 圓 , : 362 2= + y x o 其 中 o 是 坐 標 原 點 ， 橢 圓( ) 0 12222> > = + b abyax的離心率為 ,23= e 直線 l 被圓 o 截得的弦長與橢圓 c 的長軸長相等。 （1）求橢圓 c 的方程； （2）過點（3，0）的直線l¢與橢圓 c 交于 b a, 兩點，設 . ob oa os + = 是否存在直線l¢，使 ? ab os = 若存在，求出直線l¢的方程；若不存在，說明理由。 4. 設2 1f f , 分別是橢圓 ( )0 12222> > = + b abyaxe : 的左

32、、右焦點，過1f 作斜率為 1 的直線 l 與 e 相交于 b a, 兩點，且2 2bf ab af , , 成等差數(shù)列。 （1）求橢圓 e 的離心率； （2）設點 ) , ( 1 0 - p 滿意 , pb pa = 求 e 的方程。 5. 已知橢圓 ), ( : 0 92 2 2> = + m m y x c 直線 l 不過原點 o 且不平行于坐標軸， l 與 c有兩個交點 b a, ，線段 ab 的中點為 m . （1）證明：直線 om 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值； （2）若 l 過點 ÷øöçèæmm,3，延長線段

33、 om 與 c 交于點 p 四邊形 oapb 能否為平行四邊形？若能，求此時 l 的斜率；若不能，說明理由。 6. 設 b a, 分別為橢圓 ( ) 0 12222> > = + b abyax的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且過點 . ,÷÷øöççèæ262 （1）求橢圓的方程； （2）設 p 為直線 4 = x 上不同于點（4，0）的任意一點，若直線 bp ap, 分別與橢圓相交于異于 b a, 的點 n m, ,證明：點 b 在以 mn 為直徑的圓內。 點差法解決中點弦問題 解析技巧 設直

34、線與圓錐曲線交于 b a, 兩點， ab 中點為 m ，這類與圓錐曲線的弦和弦中點有關的問題，一般叫做中點弦問題，點差法是解決中點弦問題的重要方法。其解題的一般步驟是： （1）設 b a, 兩點的坐標分別為 ( ( ) )1 1y x a , 、 ( ( ) )2 2y x b , ； （2）代入圓錐曲線的方程； （3）將所得方程作差，結合中點公式ï ïî îï ïí íì ì+ += =+ += =222 12 1y xxy yymm、斜率公式2 12 1x xy yk ab- - -= =

35、等化簡，得出結果。 【例一】已知雙曲線 1422= = - - yxc : ，點 ( ( ) ) 1 4, p 是雙曲線一條弦的中點，則該弦所在直線的方程為_. 【例二】已知橢圓 1222= = + + yx上兩個不同的點 b a, 關于直線21+ + = = mx y 對稱，求實數(shù)m 的取值范圍。 專題練習 1. 過橢圓 14 162 2= = + +y x內一點 ( ( ) ) 1 2, m 引一條弦 ab ，使弦 ab 被 m 點平分，則直線 ab 的方程為_. 2. 已知拋物線 x y c 62= = : ，過點 ( ( ) ) 1 4, p 引拋物線 c 的一條弦 ab ，使該弦被

36、p 點平分，則這條弦所在直線的方程為_. 3. 已知拋物線 c 的頂點在原點，準線方程為 1 - - = = x ，直線 l 與拋物線 c 交于 n m, 兩點，線段 mn 的中點為 ( ( ) ) 1 1, ，則直線 l 的方程為_. 4. 橢圓 36 42 2= = + + y x 的弦 ab 被點 ( ( ) ) 2 4, 平分，則直線 ab 的方程為_. 5. 已知拋物線 ( ( ) ) 0 22> > = = p px y c: 的焦點為 f ，過點 ( ( ) ) 1 2, r 的直線 l 與拋物線 c 交于b a, 兩點，且 5 = = + + = = fb fa r

37、b ra , ，則直線 l 的斜率為 （ ） 23. a 1 . b 2 . c 21. d 6. 橢圓 12 42 2= = + +y xc : 的斜率為 3 的弦 ab 的中點 m 的軌跡方程為_. 7. 拋物線 x y c = =2: 上存在不同的兩點 b a, 關于直線 ( ( ) ) 3 - - = = x m y l : 對稱，則實數(shù) m 的 取值范圍為_. 8. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 92 2 2> > = = + + m m y x c: ，直線 l 不過原點 o 且不平行于坐標軸， l 與 c 有兩個交點 b a, ，線段 ab 的中點為 m 。證明：直線

38、 om 的斜率與 l 的斜率的乘積為定值。 9.已知雙曲線 1222= = - -yx ，是否存在過點 ( ( ) ) 1 1, p 的直線 l 與雙曲線交于 b a, 兩點，且 p恰為 ab 的中點？ 10.已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b abyaxe: 的半焦距為 c ，原點 o 到經過兩點 ( ( ) ) ( ( ) ) b c , , , 0 0 的直線的距離為2c。 （1）求橢圓 e 的離心率； （2）如圖， ab 是圓 ( ( ) ) ( ( ) )251 22 2= = - - + + + + y x m : 的

39、一條直徑，若橢圓 e 經過 b a, 兩點，求橢圓 e 的方程。 圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題處理技巧 解析技巧 在圓錐曲線問題中，將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去 x 或y，得到關鍵方程（不妨設方程的兩根為1x和2x），結合韋達定理來進行其他的運算是常見的解題方法。能夠利用韋達定理計算的量一般有2 12 12221 2 1 2 11 1x xx x x x x x x x + + - - + + + + , , , ,等，但在某些問題中，可能會涉及需計算兩根系數(shù)不相同的代數(shù)式，例如，運算過程中消失了2 1 2 13 2 2 x x x x + + - - ,等結構，且無法直線通過合并同

40、類項化為系數(shù)相同的狀況處理，像這種非對稱的韋達定理結構，通常是無法依據(jù)韋達定理直接求出的，那么一般的處理方法是局部計算、整體約分。需要通過適當?shù)呐錅?，將分子和分母這種非對稱的結構湊成全都的，剩下的一般可以轉化為對稱的韋達定理加以計算，最終通過計算，發(fā)覺分子、分母可以整體約分，從而解決問題。下面通過幾個例題來具體介紹這類的解題方法。 1. 平面內有兩定點 ), 1 , 0 ( ), 1 , 0 ( b a - 曲線 c 上任意一點 ) , ( y x m 都滿意直線 am 與直線bm 的斜率之積為 ,21- 過點 ) 0 , 1 ( f 的直線 l 與橢圓交于 d c, 兩點，并與 y 軸交于點

41、 p ,直線 ac 與 bd 交于點 . q （1）求曲線 c 的軌跡方程； （2）當點 p 異于 b a, 兩點時，求證： oq op· 為定值。 【例 1.】已知橢圓 ) 0 ( 1 :2222> > = + b abyaxc 過點 ）， ， （ 2 , 2 p 且離心率為 .22 （1）求橢圓 c 的方程； （2）設橢圓 c 的上、下頂點分別為 , ,b a 過點 ） （ 4 , 0 斜率為 k 的直線與橢圓 c 交于 n m,兩點。求證：直線 bm 與 an 的交點 g 在定直線上。 【例 2.】橢圓有兩個頂點 ), 0 , 1 ( ), 0 , 1 ( b a

42、- 過其焦點 ) 1 , 0 ( f 的直線 l 與橢圓交于 d c, 兩點，并與 x 軸交于點 p ,直線 ac 與 bd 交于點 q . （1）當22 3= cd 時，求直線 l 的方程； （2）當 p 點異于 b a, 兩點時，證明： oq op· 為定值。 專題練習 1. 已知 b a, 分別是橢圓 1222= = + + yx的右頂點和上頂點， d c, 在橢圓上，且 ab cd/ ，設直線 bd ac, 的斜率分別為1k 和2k ，證明：2 1 kk 為定值。 2. 已知橢圓 ( ( ) ) 0 12222> > > > = = + + b aby

43、axc: 的左、右焦點分別為 ( ( ) ) ( ( ) ) n m c f c f , , , , , 0 02 1- - 分別為左、右頂點，直線 1 + + = = ty x l : 與橢圓 c 交于 b a, 兩點，當33- - = = t 時， a 是橢圓 c的上頂點，且2 1 faf d 的周長為 6. （1）求橢圓 c 的方程； （2）設直線 bn am, 交于點 t ，求證：點 t 的橫坐標tx 為定值。 3.已知 f 為橢圓 13 42 2= = + +y x的右焦點， b a, 分別為其左、右頂點，過 f 作直線 l 交橢圓于不與 b a, 重合的 n m, 兩點，設直線 b

44、n am, 的斜率分別為1k 和2k ，求證：21kk為 定值。 圓錐曲線中的三點共線問題 解題技巧 平面解析幾何中三點共線相關問題 三點共線問題是高考的熱點問題，大題小題都有涉及。這類題處理的方法一般來說有兩個：斜率相等；向量共線。 證明三點共線問題的解題步驟： （1）求出要證明共線的三點的坐標；（假如已給出，則無需這一步） （2）運用斜率相等或向量共線來證明三點共線。 特殊提示：三點共線問題的兩個處理方法中，向量共線往往更便利，由于無需考慮斜率不存在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等。 【例 1.】拋物線 ) ( : 02121> = p xpy c 的焦點與雙曲線 13

45、222= - yxc : 的右焦點的連線交1c 于第一象限的點 m ，若1c 在點 m 處的切線平行于2c 的一條漸近線，則 = p （ ） 63. a 83. b 33 2. c 33 4. d 【例 2.】已知拋物線 x y 42= 的焦點為 f ，過 f 的直線交拋物線于 b a, 兩點，設 ab 中點為 m b a m , , , 在拋物線的準線上的射影分別為 . , , n d c （1）求直線 fn 與直線 ab 所成的夾角 q 的大小； （2）證明： c o b , , 三點共線。 專題習題 1. 拋物線 y x c3821= : 的焦點 f 與雙曲線 ) ( : 0 1322

46、22> = - bby xc 的右焦點 t 的連線交1c 于第一象限的點 m ，若1c 在點 m 處的切線平行于2c 的一條漸近線，則 = b （ ） 2 . a 3 . b 2 . c 1 . d 2. 已知橢圓 14 52 2= +y x的右焦點為 f ，設直線 5 = x l: 與 x 軸的交點為 e ，過點 f 的直線1l 與橢圓交于 b a, 兩點， m 為線段 ef 的中點。 （1）若直線1l 的傾斜角為 ° 45 ，求 abm d 的面積 s ； （2）過點 b 作直線 l bn 與點 n ,證明： n m a , , 三點共線。 3. 已知橢圓 ) ( : 0

47、12222> > = + b abyaxe 的右焦點為 f ，橢圓的上頂點和兩焦點的連線構成一個等邊三角形，且面積為 . 3 （1）求橢圓 e 的標準方程； （2）若直線 ) ( : 0 ¹ + = m q my x l 與橢圓 e 交于不同的兩點 b a, ，設點 a 關于橢圓長軸的對稱點為1a ,試求 b f a , ,1三點共線的充要條件。 4. 已知橢圓 ) ( : 0 12222> > = + b abyaxm 的離心率為 ,36焦距為 . 2 2 斜率為 k 的直線 l 與橢圓 m 有兩個不同的交點 b a, 。 （1）求橢圓 m 的方程； （2）

48、若 , 1 = k 求 ab 的最大值； （3）設 ), , ( 0 2 - p 直線 pa 與橢圓 m 的另一個交點為 , c 直線 pb 與橢圓 m 的另一個交點為 , d 若 d c, 和點 ) , (4147- q 共線，求 . k 5. 已知曲線 ) ( ) ( ) ( : r m y m x m c Î = - + - 8 2 52 2. （1）若曲線 c 是焦點在 x 軸上的橢圓，求 m 的取值范圍； （2）設 , 4 = m 曲線 c 與 y 軸的交點分別為 b a, （點 a 位于點 b 的上方），直線 4 + = kx y與曲線 c 交于不同的兩點 , ,n m

49、直線 1 = y 與直線 bm 交于點 , g 求證： n g a , , 三點共線。 6. 已知兩個定點 ( ( ) ) ( ( ) ) 0 1 0 1 , , , n m - - ，動點 p 滿意 pn pm 2 = = 。 （1）求動點 p 的軌跡 c 的方程； （2）過點 m 的直線 l 與曲線 c 交于不同的兩點 b a, ，設點 a 關于 x 軸的對稱點為 q（ q a, 兩點不重合），證明： q n b , , 三點在同始終線上。 巧用曲線系方程解決圓錐曲線中的四點共圓問題 解題技巧 圓錐曲線中的四點共圓問題在高考中是一大難點，應用曲線系方程可以很好地解決這類問題。 1. 曲線系

50、方程：設 0 = ) , ( y x f 和 0 = ) , ( y x g 分別表示平面上的兩條曲線，則經過兩曲線交 點的曲線系方程可以為 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l 2. 高考中常見的四點共圓問題是兩條直線與圓錐曲線交于不同的四點，推斷四點是否在同一圓上，假如是，需求出圓的方程。應用曲線系方程求解這類四點共圓問題的解題步驟是：（1）設經過圓錐曲線和兩直線交點的曲線系方程為 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l ，其中0 = ) , ( y x f 表示圓錐曲線方程， 0 = ) , ( y x g 表示兩直線構成的曲線的

51、方程； （2）將 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l 展 開 ， 合 并 同 類 項 ， 與 圓 的 一 般 方 程02 2= + + + + f ey dx y x 比較系數(shù)，求出 l 的值； （3）將 l 反代回方程 . ) , ( ) , ( 0 = + y x g y x f l 的綻開式，化為圓的標準方程，從而得出四點共圓且求出了圓的方程。 3. 圓錐曲線中四點共圓問題的結論：設兩條直線和圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）交于四點，則四個交點在同一個圓上的充要條件是兩直線的傾斜角互補。 【例 1.】已知拋物線 x y c 42= : 的焦點為 f ,經過

52、點 f 且斜率為 1 的直線 l 與拋物線 c 交于 b a, 兩點，線段 ab 的中垂線和拋物線 c 交于 n m, 兩點，證明 n m b a , , , 四點共圓，并求出該圓的方程。 【例 2.】設橢圓 1222= + yxe : 的右焦點為 f ，經過點 f 且斜率為 k 的直線 l 與橢圓 c 交于 b a, 兩點，直線 x y 2 = 與橢圓 e 交于 d c, 兩點，若 d c b a , , , 四點共圓，求 k 的值以及該圓的方程。 【例 3.】已知 q t ), , ( 0 3 是圓 16 32 2= + + y x p ) ( : 上一動點，線段 qt 的中垂線與直線pq

53、 交于點 s . （1）求動點 s 的軌跡的 e 方程； （2）過點 ( ) 0 1, 且斜率為2的直線1l 與軌跡 e 交于 b a, 兩點，過原點且斜率為-2的直線2l 與軌跡 e 交于 n m, 兩點，推斷 n m b a , , , 四點是否在同一圓上，若是，求出圓的方程。 專題練習 1. 已知拋物線 x y e 82= : 的焦點為 , f 過 f 作兩條相互垂直的直線分別與拋物線 e 交于c a, 和 . ,d b 問： d c b a , , , 四點是否共圓？若是，求出圓的方程；若不是，說明理由。 2. 已知雙曲線 ( ) 0 0 12222> > = - b ab

54、yaxc , : 的一條漸近線方程為 , 0 2 3 = - y x 且過點( ) . ,3 4 （1）求雙曲線 c 的方程； （2）斜率為21- 的直線1l 過點 ( ) 0 1, - 且與雙曲線 c 交于 b a, 兩點，斜率為 k 的直線2l 過原點且與雙曲線 c 交于 n m, 兩點，若 n m b a , , , 四點是否在同一圓上，求 k 的值及該圓的方程。 3. 已知拋物線 ) ( : 0 22> = p px y c 的焦點為 f ,直線 4 = y 與 y 軸的交點為 , p 與 c 的交點為 , q 且 . pq qf45= （1）求 c 的方程； （2）過 f 的直

55、線 l 與 c 相交于 b a, 兩點，若 ab 的垂直平分線與 c 相交于 n m, 兩點，且n b m a , , , 四點在同一圓上，求 l 的方程。 拋物線中的阿基米德三角形 解題技巧 阿基米德三角形：如圖，拋物線的一條弦以及弦端點處的兩條切線所圍成的三角形，叫做拋 物線中的阿基米德三角形。下面給出阿基米德三角形的一些常見性質。 如圖，不妨設拋物線為 ( ( ) ) 0 22> > = = p py x ，拋物線上 b a, 兩點處的切線交于點 p ，則 （1）設 ab 中點為 m ，則 pm 平行（或重合）于拋物線的對稱軸； （2） pm 的中點 s 在拋物線上，且拋物線

56、在 s 處的切線平行于弦 ab ； （3）若弦 ab 過拋物線內的定點 q ，則點 p 的軌跡是直線；特殊地，若弦 ab 過定點( ( ) )( ( ) ) 0 0 > > m m , ，則點 p 的軌跡是直線 m y - - = = ； （4）若弦 ab 過拋物線內的定點 q ，則以 q 為中點的弦與（3）中 p 點的軌跡平行； （5）若直線 l 與拋物線沒有交點，點 p 在直線 l 上運動，則以 p 為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點； （6）若 ab 過焦點 f ，則 p 點的軌跡為拋物線準線， , , ab pf pb pa 且 pab d 面積的最小值為2p ； （7）

57、pfb pfa Ð = = Ð ； （8）2pf bf af = = × × 。 許多高考試題都以阿基米德三角形為背景命制，熟識這些性質對解題是有必要的，下面通過 實例來證明上面的部分結論。 【例一】已知拋物線 y x c 42= = : 的焦點為 f ，拋物線上 b a, 兩點處的切線交于點 p ， ab中點為 m 。 （1）證明： x pm 軸； （2）設 pm 的中點為 s ，證明： s 在拋物線上，且拋物線在 s 處的切線平行于直線 ab ； （3）證明： pfb pfa Ð = = Ð ； （4）證明：2pf bf af =

58、 = × × （5）若 ab 過點 ( ( ) ) 1 1, q ，求點 p 的軌跡 e 的方程；當 q 恰為 ab 中點時，推斷 ab 與軌跡e 的位置關系； （6）若 ab 過點 f ，求點 p 的軌跡方程，并證明 , , ab pf pb pa 求出 pab d 面積的最小值。 【例二】已知拋物線 y x c 42= = : 的焦點為 f ，點 p 是直線 2 - - = = x y l : 上的動點，過 p 作拋物線的兩條切線，切點分別為 a 和 b ，證明：直線 ab 過定點，并求出定點的坐標。 專題練習 1. 已知點 ( ( ) ) 1 1, - - m 和拋物線 x y c 42= = : ，過 c 的焦點 f 且斜率為 k 的直線與 c 交于 b a,兩點，若 ° ° = = Ð Ð 90 amb ，則 = = k _. 2. 已知拋物線 y x 42= = 的焦點為 f ， b a, 是拋物線上兩動點，且 ( ( ) ) 0 > > = = l l fb af ，過b a, 兩點分別作拋物線的切線，設其交點為 m ，則 ab fm × × 的值（ ） . a 大于 0 . b 等于