坐標(biāo)系與參數(shù)方程(題型歸納)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程（一）極坐標(biāo)系:1、 定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn) 0,叫做極點(diǎn)，引一條射線 Ox,叫做 極軸，再選一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn) M用P表示線段0M勺長(zhǎng)度，0表示從Ox到0M 的角，p叫做點(diǎn)M的極徑，0叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)（p ,0 ）就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系 2、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式:X = P cos日y = Psin 62丄 2二 x ytan j - y ,x 嚴(yán) 0x極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化的前提:極點(diǎn)與直角坐標(biāo)的原點(diǎn)重合；極軸與x軸的正方向重合；兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。例

2、如：極坐標(biāo)方程 cos'sinx y 1 （在轉(zhuǎn)化成x, y時(shí)要設(shè)法構(gòu)造cos'" si nv然后進(jìn)行整體代換即可）3、求極坐標(biāo)方程的兩種方法:處理極坐標(biāo)系中問(wèn)題大致有兩種思路：（1）公式互化法：把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行互化；（2）幾何法：利用幾何關(guān)系（工具如：三角函數(shù)的概念、正弦定理、余弦定理）建立P與0的方程（二）參數(shù)方程：1、參數(shù)方程的定義:如果曲線F（x,y） = 0中的變量x, y均可以寫成關(guān)于參數(shù)t的函數(shù) 孑一“七），那么y = g（t）就稱為該曲線的參數(shù)方程，其中t稱為參數(shù)。2、常見(jiàn)的消參技巧：lx 二 t 3（1）（2）（3）代入法：（t 為參數(shù)

3、）=y=2,3x-3= y=3x-7y = 2+3t亠1=t 十_、.2t（t為參數(shù)），由t 1 =t2 2 2可得:+ 21. tt2=t t2sin2 = cos -1消去參數(shù)cos 日=-為參數(shù)）=3整體消元法:三角函數(shù)法：利用丄x =3cos 例如：.=2sin Bsin y1223、常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程如下:2 2 2(1) 圓：X -a 亠y-b； =r的參數(shù)方程為:x = a r cost，日e b,2兀)，其中日為參數(shù)，其幾y =b rsi nr3何含義為該圓的圓心角;(2)橢圓：x2v2x=acosy2 =1 a b O的參數(shù)方程為，廠IO,2二，其中二為參數(shù)，其幾何含a by

4、 = bsi nv義為橢圓的離心角;(3)雙曲線:2 2 1xvx = aP2 2=1(a>b>O )的參數(shù)方程為<cos日，日e b,2兀)，其中日為參數(shù)，其幾何a by = bta n 日含義為雙曲線的離心角；廣2(4) 拋物線：y2 =2px p 0的參數(shù)方程為 x-2pt，其中t為參數(shù)；(y =2ptx = xo +1 COS0(5) 直線：過(guò)M Xo,yo，傾斜角為二的直線參數(shù)方程為，t R，其中t為參數(shù),y = y° +ts inB其中|t|代表該點(diǎn)與M的距離。注：對(duì)于極坐標(biāo)與參數(shù)方程等問(wèn)題，通常的處理手段是將方程均轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程，然后利

5、用傳統(tǒng)的解析幾何知識(shí)求解。4、直線的參數(shù)方程進(jìn)一步討論：X - x 亠 t COS1、過(guò)定點(diǎn) x),yo，傾角為二的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程形式：'(t為參數(shù))y = y。+tsi n 日其中參數(shù)t是“以定點(diǎn)P(xo，yo)為起點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段 PM的數(shù)量”，又稱為點(diǎn)P與 點(diǎn)M間的有向距離。提醒在直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)，t才有幾何意義并且t的幾何意義為：|t|是直線上任一點(diǎn) M(x, y)到M(xo, yo)的距離，即|MoM| = |t|.2、根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論.x= xo+ tcos a經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(xo, yo),傾斜角為a的直線I

6、的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A, B為直線I上兩|y= yo+ tSin a點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t!, t2,線段AB的中點(diǎn)為P,點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為to,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)|AM|=|ti|, |BM|=|t2|; (2)|AB|=|t2 ti|; (3)|AM|BM| = |ti t2|; AB = tB 一ta = /(t t a)4tA 焉；常常涉及的相關(guān)內(nèi)容：(1) 輔助角公式及三角函數(shù)的值域.(2) 直線斜率的幾何意義、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的弦長(zhǎng)公式(3) 韋達(dá)定理、圓錐曲線兩種弦長(zhǎng)公式及其推導(dǎo)過(guò)程.(三)常見(jiàn)的四種題型：1、方程互換；2、直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的應(yīng)用；

7、3、最值問(wèn)題；4、簡(jiǎn)單的平面解析幾何問(wèn)題。極坐標(biāo)與參數(shù)方程經(jīng)典問(wèn)題:題型一：客觀題1.在極坐標(biāo)系中，關(guān)于曲線C : T = 4sin i T .的下列判斷中正確的是（)13A.曲線C關(guān)于直線-二5 二對(duì)稱B.曲線C關(guān)直線對(duì)稱63C.曲線C關(guān)于點(diǎn) 2,13對(duì)稱D.曲線C關(guān)于極點(diǎn)0,0對(duì)稱2.已知直線丨的極坐標(biāo)方程為2sin（-n） .2，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A 2、2, ,則點(diǎn)A到直線丨的4I 4丿距離為3.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為+ 1x = t t1 y 二 tt（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是Psin 4 +上=1，則兩曲線交點(diǎn)

8、間的距離是 '、3 丿解:1.由-4sin i ' j -I 3P2=2Psin日2j3Pcos日即（x十逅;+（y_1）2 = 4，所以曲線C是圓心為 i.3,1 ，半徑為2的圓，所以曲線 C關(guān)于直線二 c6對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn) 2,5 對(duì)稱，答案A.I 6丿2.直線 I ： i. 2sin 2cost - 2 = ：'sinv -】cost -1，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為y - x = 1，點(diǎn) A5.25三，答案：2 2的直角坐標(biāo)為2,-2，則A到直線的距離為d3. G :2 2y -x22 12_t=4C2: ：- sin - cos聯(lián)立方程可得：二1costs in1=si

9、nr32cos-.C2的方程為_(kāi) x2 = 42y代入消去-.3x 2y可得-3x 2 $ x2 =4二 2x2 -4、3x=05#設(shè)交點(diǎn)）,B（x2,y2 ）則 =0,x2 =2后 二 AB =殲門專捲X2 =43 答案：43.#題型二：方程互換+ 直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的應(yīng)用（t為參數(shù)）2.1:選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程2cos 日已知曲線G的極坐標(biāo)方程為L(zhǎng)，C2的參數(shù)方程為sin日（1）將曲線G與C2的方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程；（2）若G與C2相交于A B兩點(diǎn)，求AB .解：（1）曲線G的直角坐標(biāo)系的普通方程為y2 =2x曲線C2的直角坐標(biāo)系的普通方程為 x y = 4 5分（2）將C

10、2的參數(shù)方程代入 G的方程y2=2x得（2 一乎匕2 =2（2 二：t）得：gt2-3,2t=0解得 ti = 0,t2 = 6 , 2 | AB | =| ti 一 t2 | = 62 10分2.2:選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為xt! 5 y2 4tI5（t為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半6軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 cost -tanr .（1）求曲線G的普通方程與曲線 C2的直角坐標(biāo)方程；（ 1 1（2） 若G與C2交于A, B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 2 2 -n，求的值.I 4 丿 |PA| |PB|解：（1）曲線G的普通方程

11、為4x3y-2=0;曲線C2的直角坐標(biāo)方程為：y =x2.（2） G的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為x =2 -3t,5y = _2 ' _ t.5（t為參數(shù)）代入y = x2 得2 80509t2 -80t 150=0,設(shè) t1，t2 是 A B 對(duì)應(yīng)的參數(shù),則 1 t2 二80,此 二500.93.丄+丄 _|PA|+| PB| _兒卄2 |_ 8 '|PA| |PB|PA| |PB| 一 |t&| _15.題型三：方程互換+ 最值問(wèn)題3.1:選修4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程I x = cost,X = 2x,在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為(：為參數(shù))，將曲線C1經(jīng)過(guò)

12、伸縮變換y =2sin口. y"= y后得到曲線C2 .在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為cos v - ：?sin r -10 =0 .(1) 說(shuō)明曲線C2是哪一種曲線，并將曲線C2的方程化為極坐標(biāo)方程；(2) 已知點(diǎn)M是曲線C2上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn) M至煩線丨的距離的最大值和最小值.x = COSa解：(1)因?yàn)榍€Ci的參數(shù)方程為(為參數(shù))，y =2si nax"=2x，x，=2cosof，因?yàn)間，則曲線C2的參數(shù)方程彳.y = y.y = 2sin ：.所以C2的普通方程為x2 y 4.所以C2為圓心在原點(diǎn)，半徑為 2的圓.所以C2的極

13、坐標(biāo)方程為： $ =4，即： =2 .2 2cos（: +二）-10|4(2)解法1 ：直線丨的普通方程為x - y -10 = 0 .曲線C2上的點(diǎn)M到直線丨的距離|2cos-2sin-1°|22匚10|=5云2 .了31 )31當(dāng)cosi+ =1即=2 k k Z時(shí)，d取到最小值為I4丿47_當(dāng)cos : += -1即=-2k二kZ時(shí)，d取到最大值為|22+1°|I 4丿4 V 7解法2：直線丨的普通方程為x - y -10 = 0 .|0 _0_10|l因?yàn)閳AC2的半徑為2，且圓心到直線丨的距離d5、2，V2因?yàn)? 22，所以圓C2與直線丨相離.所以圓C2上的點(diǎn)M至煩

14、線丨的距離最大值為d r =5. 2 2，最小值為d - r 2 -2 .93.2:選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程X = COST在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為（二為參數(shù)），曲線 C2的參數(shù)方程為y =1 + si nix =2cos(為參數(shù))y 二 sin（1）將G，C2的方程化為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以 X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線I的極坐標(biāo)方程為r（cosr -2sin旳=4，若G上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 ；，點(diǎn)Q上在C?，點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn),2求點(diǎn)M到直線I距離的最小值.解：（1）G的普通方程為x2 （y -1）2 -1，它

15、表示以（0,1）為圓心，1為半徑的圓,2C2的普通方程為 X y2 1,它表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓4（2）由已知得P(0, 2)，設(shè) Q(2cos dsin R，1則 M (cos1 sin)直線 l : x -2y -4 =0，點(diǎn)M到直線l的距離為d =cos J - sin J - 672sin(Z -0)-64所以d <，即M到直線l的距離的最小值為6.5 - .1051011題型四：方程互換+簡(jiǎn)單的平面解析幾何問(wèn)題4.1 :選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x = 2 7 cos ：,在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G ：_(為參數(shù)).以0為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建|'

16、; y = , 7 sin :.立極坐標(biāo)系，曲線 C2的極坐標(biāo)方程為 '=8cosr，直線丨的極坐標(biāo)方程為(，三R).3(1)求曲線 G的極坐標(biāo)方程與直線1的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線丨與G , C2在第一象限分別交于 A , B兩點(diǎn)，P為C2上的動(dòng)點(diǎn)，求 PAB面積的最大值. 解: (1)依題意得，曲線 G的普通方程為(X-2)2寸 T ,曲線G的極坐標(biāo)方程為 ? -4:- COST -3 = 0,直線I的直角坐標(biāo)方程為 y = . 3x .22JTJT(2)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(X-4)2 y =16，由題意設(shè)A(：-1； ), B(),3 32兀2則心-4jcos3=0，即

17、q 25-3=0，得3或 6 = -1 (舍)，311-4 3p2=8cos= = 4，則 AB =| A -巳 T , C2 (4,0)到丨的距離為=2(3 3<4-1LL以AB為底邊的 PAB的高的最大值為4 2 3，則厶PB的面積的最大值為1 (4 2. 3) =2 . 3 .24.2 :選修4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 將圓x2 y2 =1上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的-，得曲線C.4(1) 寫出C的參數(shù)方程；(2) 設(shè)直線1: 4x y *1=0與C的交點(diǎn)為P1? P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 求過(guò)線段P1 P2的中點(diǎn)且與I垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

18、解：(1)由坐標(biāo)變換公式x 4x,得x=4x',y=y'.y' = y.代入x2 y2 =1中得16x'2 y'2 =1，故曲線C的參數(shù)方程為x COS d,(4(日為參數(shù))；y = sin H1(2)由題知,R(-,0), P2(0, -1),4116分故線段P1 P2中點(diǎn)MW，1111直線I的斜率k = Y 線段P1 P2的中垂線斜率為 -,故線段P1 P2的中垂線的方程為 丫丄=-(x -)4 248即 8x -32y -15 =0，將 x =cos二 y =卜sin 二代入，得其極坐標(biāo)方程為8'cosv -32'sin -15 =04.3 :選修4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線丨傾斜角為，其參數(shù)方程為 x = -2 tco （ t為參數(shù)），在以原 | y =t sin ：點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中（取相同的長(zhǎng)度單位），曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）若直線丨與曲線C有公共點(diǎn)，求直線丨傾斜角的取值范圍;（2）設(shè)M x, y為曲線C上任意一點(diǎn)，求 *3 的取值范圍.解：（ 1）法一：由曲線 C的極坐