n個串并聯(lián)自感線圈等效自感系數(shù)計算

1、n個串并聯(lián)線圈等效自感系數(shù)的計算摘要：本文首先闡述了自感現(xiàn)象、互感現(xiàn)象的概念。然后運用等效自感電動勢法以及串聯(lián)電路和并聯(lián)電路的特點,分別對n個線圈串聯(lián)和并聯(lián)的總等效自感系數(shù)進(jìn)行分析和討論,進(jìn)而得出比較簡單的總等效自感系數(shù)的計算式。這對分析復(fù)雜的混連電路有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：串聯(lián)線圈；并聯(lián)線圈；等效自感系數(shù)目 錄引言1一、緒論11.1 自感現(xiàn)象11.2 互感現(xiàn)象2二、n個線圈串聯(lián)時的等效自感系數(shù)32.1 n個線圈的順接串聯(lián)32.2 n個線圈的反接串聯(lián)42.3 兩個串聯(lián)線圈等效自感系數(shù)5三、n個線圈并聯(lián)時的等效自感系數(shù)63.1 兩線圈的順接并聯(lián)63.2 兩線圈的反接并聯(lián)83.3 兩個并聯(lián)線圈等

2、效自感系數(shù)9小結(jié)9參考文獻(xiàn)9致謝1011引言在電工、電子技術(shù)等實際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到n個無鐵芯、不變形的線圈串聯(lián)或并聯(lián)的情況，而且各個線圈之間都存在有互感，對于這種在不忽略互感的前提下，如何將其進(jìn)行等效處理，如何計算n個串聯(lián)、并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)一直受到人們的廣泛關(guān)注。電磁學(xué)教材中只計算了單個線圈的自感現(xiàn)象和兩個線圈的互感現(xiàn)象,很少提到n 個線圈的情況。對于n個串、并聯(lián)線圈，當(dāng)它等效為一個自感線圈時，其等效自感系數(shù)除了與各個線圈的自感有關(guān)外, 還與各線圈彼此之間的互感和連接方式有關(guān)。計算n個串聯(lián)線圈等效自感系數(shù)的方法有磁鏈法、磁能法、等效自感電動勢法。但磁鏈法和磁能法在計算并聯(lián)線圈的等效自感

3、系數(shù)時，是比較復(fù)雜的，所以選擇等效自感電動勢法來計算。本文是在不忽略互感的前提下, 應(yīng)用等效自感電動勢法，求解n個串聯(lián)、并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)L，并對計算結(jié)果作了進(jìn)一步的討論。一、緒論眾所周知，電磁感應(yīng)現(xiàn)象分為自感現(xiàn)象和互感現(xiàn)象。自感現(xiàn)象在電工、無線電技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。日光燈鎮(zhèn)流器是自感用于電工技術(shù)的簡單例子。在電子線路中廣泛使用自感線圈，特別是用它與電容器組成各種諧振電路來完成特定的任務(wù)?；ジ鞋F(xiàn)象在電工和電子學(xué)技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用，變壓器就是一個重要例子。本章從自感現(xiàn)象和互感現(xiàn)象的概念出發(fā)，解釋了何為自感現(xiàn)象和互感現(xiàn)象。1.1 自感現(xiàn)象電流通過線圈時，其磁場給線圈自身提供磁通。如果電流隨時間

4、的改變而改變，磁通就會隨時間而變化，線圈便會出現(xiàn)感應(yīng)電動勢。像這種由自身的電流變化而引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象叫做自感現(xiàn)象。根據(jù)線圈的大小、形狀和匝數(shù)的不同，那么它產(chǎn)生自感現(xiàn)象的能力也不同，假設(shè)有一個N匝密繞的線圈，則每匝可以近似為一個閉合曲線，因此才可研究它的磁通。設(shè)穿過每匝線圈的磁通相等，由法拉第電磁感應(yīng)定律，每匝線圈的自感電動勢應(yīng)為： （1）根據(jù)畢奧薩法爾定律: （2）L為線圈的自感，它僅與線圈本身的因素有關(guān)而與電流無關(guān)，由（3）、（4）可得： （3）1.2 互感現(xiàn)象設(shè)有兩個彼此靠近的線圈1 和 2，分別通入電流和 。當(dāng)線圈1 的電流發(fā)生改變時，由它所激發(fā)的磁場也將隨之改變，因而通過線圈2的磁通

5、量也發(fā)生改變，這樣線圈2中就產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。因此在線圈2 激起的感應(yīng)電動勢為： （4） 同樣, 當(dāng)線圈2 的電流發(fā)生改變時，也會造成通過線圈1 的磁通量發(fā)生改變，這樣線圈1中就產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。 在線圈1 中激起的感應(yīng)電動勢為： （5） 像這種由于一個線圈中的電流變化，使得其周圍的磁場也發(fā)生變化，從而在鄰近線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象，叫做互感現(xiàn)象。由于互感現(xiàn)象產(chǎn)生的感生電動勢稱為互感電動勢。公式（4）中的稱為線圈2 對線圈1 的互感系數(shù),同樣公式（5）中的稱為線圈1 對線圈2 的互感系數(shù)；對于給定的線圈及磁介質(zhì)（非鐵磁質(zhì)）有： ,互感系數(shù)僅僅與兩線圈的結(jié)構(gòu)（如形狀、大小、匝數(shù)）有關(guān), 這個物理量

6、是表示互感的強弱。二、n個線圈串聯(lián)時的等效自感系數(shù)線圈串聯(lián)的方式有兩種，即順接串聯(lián)和反接串聯(lián)。假設(shè)有n 個理想的線圈，分別稱為線圈1、線圈2、線圈 n ,它們的自感系數(shù)分別為,它們之間的互感分別為,現(xiàn)在把n個線圈串聯(lián)在一起,運用等效自感電動勢法以及串并聯(lián)電路的特點,分別對n個線圈順接和反接的等效自感系數(shù)進(jìn)行計算,進(jìn)而得出等效自感系數(shù)的計算式。 2.1 n個線圈的順接串聯(lián) 若兩線圈之間首尾相連叫做線圈的順接, 如圖1 所示，此時各線圈中的電流方向相同。設(shè)線圈中通入的電流為 I ,并且使電流隨時間增加,那么在線圈1 中產(chǎn)生自感電動勢和線圈2、3、4 .n 對線圈1 的互感電動勢、.。這 n個電動勢

7、方向相同, 并與電流的方向相反。因此，線圈 1 中的感應(yīng)電動勢是自感電動勢和互感電動勢之和, 即： （6） 對于線圈 2 中的感應(yīng)電動勢為： （7） 同理，對于線圈 n 有: （8） 由串聯(lián)電路性質(zhì):,。那么n 個順接串聯(lián)的線圈, 等效為一個自感線圈后, 等效自感系數(shù)L為： （9）即等效自感系數(shù)L 等于所有線圈總自感之和加所有線圈互感之和。2.2 n個線圈的反接串聯(lián) 兩個線圈逆接串聯(lián)時兩個線圈尾尾或首首b、d 相接,稱為線圈的反接，如圖2 所示。 n 個線圈串聯(lián)反接時，即相鄰的兩個線圈尾尾相接或首首相接, 此時相鄰線圈中的電流方向相反。對于任意一個線圈來說, 與之相鄰的線圈反接, 與之相隔奇數(shù)

8、的線圈順接,與之相隔偶數(shù)的線圈反接。順接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動勢與該線圈中的自感電動勢方向相同,反接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動勢與該線圈中的自感電動勢方向相反。當(dāng)線圈的電流I 從a 處通入時,且電流隨時間增加,那么在線圈1 中產(chǎn)生自感電動勢和線圈2、3.n 對線圈1 的互感電動勢、。因此，線圈1 中的感應(yīng)電動勢是自感電動勢和互感電動勢之和, 即： （10）對于線圈 2 中的感應(yīng)電動勢也是自感電動勢和互感電動勢之和，為： （11）同理，對于線圈 n 有: （12） 由并聯(lián)電路性質(zhì):，。那么對于n 個反接串聯(lián)的線圈,其等效自感系數(shù)L為： （13）即n 個反接串聯(lián)的線圈的總自感L 等于所有線

9、圈總自感之和減所有反接線圈互感之和。2.3 兩個串聯(lián)線圈等效自感系數(shù)（1）若兩線圈為順接，根據(jù)上邊的計算結(jié)果：，此時n=2，解得：，那么兩線圈的磁通根據(jù)這個計算結(jié)果可已看出，是相互加強的。（2） 若兩線圈為反接，同理可以求得：，則兩線的圈磁通根據(jù)這個計算結(jié)果可已看出，是相互減弱的。三、n個線圈并聯(lián)時的等效自感系數(shù)同樣，線圈并聯(lián)的方式也有兩種，即順接并聯(lián)和反接并聯(lián)。假設(shè)有n 個理想的線圈，即線圈1 、線圈2 、線圈n ,自感系數(shù)各為,它們之間的互感各為?，F(xiàn)在把n個線圈并聯(lián)在一起,運用和計算線圈串聯(lián)時等效自感系數(shù)L的相同計算方法，對n個線圈并聯(lián)的順接和反接的等效自感系數(shù)進(jìn)行計算,得出等效自感系數(shù)的

10、計算式。 3.1 兩線圈的順接并聯(lián) 如圖3所示，設(shè)從a 端通入的電流為 I ,并且使電流隨時間增加,那么在線圈1 中產(chǎn)生自感電動勢和線圈2、3、4 .n 對線圈1 的互感電動勢、.。根據(jù)并聯(lián)電路的性質(zhì):, 。當(dāng)電流變化時，在線圈1 中產(chǎn)生自感電動勢和線圈2、3、4 .n 對線圈1 的互感電動勢、.，那么在線圈1 中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢是自感電動勢和互感電動勢之和。因此，線圈1 中的感應(yīng)電動勢為： （14）線圈 2 中的感應(yīng)電動勢是自感電動勢和互感電動勢之和： （15）同理，對于線圈 n 有: （16）設(shè)n個線圈并聯(lián)后的其等效自感系數(shù)為L，則有，得： （17）整理后得： （18）把上式可以看成是關(guān)于

11、的齊次方程組, 且的取值是任意的，即它們是線性無關(guān)的，故方程組共有無窮多解。要使這個齊次方程組有非零解，而不會恒為零, 那么這個系數(shù)行列式必須為零,這樣就可以計算出含有待求未知量L 的行列式為： （19）上式如同量子力學(xué)中的久期方程,求解該方程,便可得到等效電感L 的表達(dá)式。3.2 兩線圈的反接并聯(lián)如圖4所示，當(dāng)n 個線圈并聯(lián)反接時，對于任意一個線圈來說，與之相鄰的線圈反接，與之相隔奇數(shù)的線圈順接，與之相隔偶數(shù)的線圈反接。順接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動勢與該線圈中的自感電動勢方向相同,反接線圈在該線圈中產(chǎn)生的互感電動勢與該線圈中的自感電動勢方向相反。 當(dāng)線圈的電流I 從a 處通入時,且電流隨

12、時間增加,那么在線圈1 中將產(chǎn)生自感電動勢和線圈2、3、n 對線圈1 的互感電動勢、。令、為線圈2、3、n 相對于線圈1 的磁通系數(shù)，若線圈n 對線圈1產(chǎn)生的互感電動勢與線圈1的自感電動勢方向相同，那么，且；若線圈n 對線圈1產(chǎn)生的互感電動勢與線圈1的自感電動勢方向相反，那么，且。那么，線圈1 中的感應(yīng)電動勢是自感電動勢和互感電動勢之和, 即： （20）線圈 2 中的感應(yīng)電動勢： （21）同樣，線圈 n 的感應(yīng)電動勢為： （22）設(shè)n個線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)為L，則，根據(jù)并聯(lián)電路性質(zhì)： （23）整理得： （24） 上式也是一個齊次線性方程組，根據(jù)3.1中（22）式的分析，那么含有待求未知量L

13、 的行列式為： （25）同時，解這個行列式方程，就可以可求得n 個線圈反接并聯(lián)后的等效電感系數(shù)L。3.3 兩個并聯(lián)線圈等效自感系數(shù)（1）若兩線圈為順接，那么兩線圈磁通相互加強，即時，根據(jù)上邊的計算結(jié)果可得：，而，解得：（3） 若兩線圈為反接，那么兩線圈磁通相互削弱，即時，同理可得：小結(jié)在第二和第三部分分別計算了n個線圈串聯(lián)和并接的等效自感系數(shù)L，根據(jù)以上的計算，對等效自感系數(shù)L作如下總結(jié)： 對于串聯(lián)線圈：（1） n個線圈串聯(lián)，連接方式為順接時，等效自感系數(shù)：，即順接而成的線圈等效自感系數(shù)L 大于n 個線圈自感系數(shù)之和,由此可以得出：線圈整體感應(yīng)能力增強。（2）n個線圈反接串聯(lián)時,等效自感系數(shù):

14、,即反接而成的串聯(lián)線圈，它的等效自感系數(shù)L 小于n 個線圈自感系數(shù)之和。 對于并聯(lián)線圈： n 個線圈并聯(lián)后的等效自感系數(shù)為L 可以通過解下面行列式求出。此時，（），即順接并聯(lián)時；反接并聯(lián)時。解這個行列式方程，就可以可求得n 個線圈并聯(lián)后的等效電感系數(shù)L。本文通過求解n 個串并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)，分別n 個串并聯(lián)線圈的等效自感系數(shù)的計算公式，這會對串并聯(lián)自感電路在實際生產(chǎn)生活中的應(yīng)用有著理論性的指導(dǎo)作用。參考文獻(xiàn)1杜永清，李海.自感線圈串聯(lián)時總自感的求解J .物理與工程，2011，9（50）. 2李永清.串聯(lián)互感線圈的等效自感系數(shù)J .Journal of Liaoning，2002，4（2）

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17、JOHN WILEY, 2002.16美馬丁哈威特.天體物理概念M.北京科學(xué)出版社,1981. 致謝本論文是在呂仕儒老師的悉心指導(dǎo)下完成的。首先感謝呂老師在論文中給了我大量的指導(dǎo)，在我撰寫論文的每一步中，我都得到了他耐心的建議和幫助。其次，感謝我的班主任任青老師陪伴我度過了四年的大學(xué)生活，任老師給我無微不至的關(guān)懷和幫助，對我的學(xué)習(xí)和生活產(chǎn)生了很大的影響，在此我向任老師表示深深的感謝。最后，還要把感激之情獻(xiàn)給我的家人。感謝你們給予我的巨大支持和鼓勵，使我可以全身心地投入到學(xué)習(xí)中。正是你們給予我的精神支持和生活幫助，使我順利完成本論文。Calculate equivalent Self-induc

18、tion Coefficient of n Coils in Series and ParallelAbstract: First, this article elaborates the concept of self-induction phenomenon, self-induction coefficient and mutual-induction phenomenon. Then it respectively analyzed and discussed the total equivalent self-inductance coefficient of n series and parallel coils using the method of equivalent self-inductance electromotive force and the characteristic of the series circ