相似多邊形的性質(zhì)的應(yīng)用

1、相似多邊形的性質(zhì)的應(yīng)用1、相似多邊形的性質(zhì)（1）相似多邊形中，對(duì)應(yīng)的三角形相似，其相似比等于原相似多邊形的相似比（2）相似多邊形中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比（3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方2、重要方法相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方，運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要弄清他們的關(guān)系，并努力把實(shí)際問(wèn)題與之聯(lián)系，從而把實(shí)際問(wèn)題簡(jiǎn)單化.相似三角形的性質(zhì)（1）回答了相似三角形中所有對(duì)應(yīng)線(xiàn)段都構(gòu)成比例的問(wèn)題，這個(gè)性質(zhì)為我們今后證明線(xiàn)段的比例式提供了極大的方便性質(zhì)（2）、（3）揭示了相似三角形的周長(zhǎng)、面積與相似比的關(guān)系，利用它可以解決相似三角形中有關(guān)周長(zhǎng)和面

2、積的問(wèn)題，這里要注意這些性質(zhì)的靈活運(yùn)用如：兩個(gè)相似三角形的相似比，等于它的周長(zhǎng)比；也等于它們的面積比的算術(shù)平方根例1一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別為2，3，4，5，6，另一個(gè)多邊形和這個(gè)多邊形相似，其最短邊長(zhǎng)為6，則最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為（）A12B18C24D30思路與技巧由相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例，設(shè)最長(zhǎng)邊為x.，2x=36,x=18.答案B點(diǎn)評(píng)本題根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，第一個(gè)多邊形的最短邊與第二個(gè)多邊形的最短邊，第一個(gè)多邊形的最長(zhǎng)邊與第二個(gè)多邊形的最長(zhǎng)邊分別是對(duì)應(yīng)邊，切記不可將對(duì)應(yīng)關(guān)系弄錯(cuò)例2如圖在ABCD中，AB=6，AD=4，EFAD，若ABCDEFDA，求AE的長(zhǎng) 思路與技巧（1）圖形中有幾

3、對(duì)相似的平行四邊形？為什么？對(duì)應(yīng)邊分別是什么？（2）AE的對(duì)應(yīng)邊應(yīng)是哪條線(xiàn)段？為什么？（3）試一試：求SABCDSEFDA的值.解EFAD，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=4 EF=AD=4，ABCDEFDA， （相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例），又AB=6， .點(diǎn)評(píng)由相似的條件，可知AE的對(duì)應(yīng)邊是DA，一般的在條件中，若使用的是相似符號(hào)，則對(duì)應(yīng)邊則是確定的，因此書(shū)寫(xiě)相似多邊形時(shí)，對(duì)應(yīng)的字母要寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上.例3已知：如圖，正方形ABCD中，E是AC上一點(diǎn)，EFAB于F，EGAD于G，AB=6，AEEC=21，求S四邊形AFEG思路與技巧（1）四邊形AFEG是什么圖形？為什么？（2）AEEC的值與

4、哪兩條線(xiàn)段的比相等？為什么？如何求出AF的長(zhǎng)？（3）任意的兩個(gè)正方形都相似嗎？為什么？所有的矩形都相似嗎？所有的菱形都相似嗎？解正方形ABCD，EFAB，EGAD EFCB，EGDC   1=2=45° EF=AFFAG=90°，AFEG是正方形，正方形ABCD正方形AFEG，S正ABCDS正AFEG=AB2AF2（相似多邊形的面積比等于相似比的平方），在ABC中，EFCB AEEC=AFFB=21，又AB=6 AF=4 S正ABCDS正AFEG=3616， .點(diǎn)評(píng)本題中的正方形是特殊的多邊形，但在一般的多邊形中，一定要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系（

5、1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比，等于相似比的平方；（2）所有的正方形都是相似的，此題中只須證出四邊形AFEG是正方形，即可得到它與正方形ABCD相似例4已知：如圖所示，ABC中，DE/FG/BC（1）若AD=DF=FB，求S1:S2:S3；（2）若S1:S2:S3=1:8:27，求AD:DF:FB思路與技巧注意在（2）中，不能由S1:S2=1:8，就得出AD:DF=1:，因?yàn)榇颂幉荒苤苯舆\(yùn)用面積的比等于相似比的平方，S1,S2不是兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)面積解（1）令，則，（2）可設(shè)，則AD:AF:AB=1:3:6AD:DF:FB=1:2:3.點(diǎn)評(píng)根據(jù)相似形，實(shí)施比例轉(zhuǎn)化，應(yīng)用面積比等于相似比的平方例

6、5如圖所示，ABC的面積為16，D為AB上任一點(diǎn)，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，DE/BC，F(xiàn)G/BC，分別交AC于E、G，設(shè)AD=x（1）把ADE的面積S1，用含x的代數(shù)式表示；（2）把梯形DFGE的面積S2，用含x的代數(shù)式表示思路與技巧轉(zhuǎn)化為相似三角形，利用其性質(zhì)解決解 （1），即（2）F為BD的中點(diǎn)，.例6如圖所示，已知O是四邊形ABCD的一邊AB上的任意一點(diǎn)，EH/AD，HG/DC，GF/BC試說(shuō)明四邊形EFGH與四邊形ABCD是否相似，并說(shuō)明你的理由思路與技巧證明兩個(gè)四邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等解 四邊形四邊形理由：因?yàn)?，所以，所以，所以又因?yàn)椋?，所以，所以而，所以因?yàn)?，所以，所以而，所?/p>

7、設(shè)，所以，所以，所以因此，所以四邊形四邊形點(diǎn)評(píng)通過(guò)圖形的分割，轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題加以研究例7已知：ABCD是梯形，AB/DC，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于E，DCE的面積與CEB的面積比為13 求：DCE的面積與ABD的面積比 分析：題目中已知條件是面積比，要求的也是面積比，因此根據(jù)圖形找到面積之間的關(guān)系是很重要的DCE與CEB是等高三角形，因此面積比為底的比，而DCE與ABE是相似三角形，面積的比等于相似比的平方，又可證出ADE與BCE的面積相等，這樣DCE與ABD的面積比就可求了解S DCESCEB=13,而DCE與CEB是等高三角形，DEEB=13， DC/AB， DCEBAE，SDCESBAE=

8、(DEEB)2=19，ADC與BDC為等底、等高三角形，SADC=SBDC，SADC-SDCE=SBDC-SDCE，SAED=SBEC 設(shè)SDCE=k, 則SAED=SBEC=3k, SBAE=9k,SABD=SABE+SADE=12k,SDCESABD=112. 點(diǎn)評(píng)相似三角形的面積比等于相似比的平方，計(jì)算時(shí)不要丟掉平方；若從面積比求相似三角形的相似比，則要注意開(kāi)平方 例8如圖，有一邊長(zhǎng)為5cm的正方形ABCD和等腰PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，點(diǎn)B、C、Q、R在同一條直線(xiàn)l上，當(dāng)C、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰PQR以1cm/秒的速度沿直線(xiàn)l按箭頭所示方向開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，t秒后正方形ABCD與等腰PQR重合部分的面積為Scm2，解答下列問(wèn)題： （1）當(dāng)t=3秒時(shí)，求S的值； （2）當(dāng)t=5秒時(shí)，求S的值； 思路與技巧本題考點(diǎn)有等腰三角形；正方形；相似三角形第一問(wèn)，思路，作PE QR，E為垂足，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，面積比第于相似比的平方，可求出面積 第二問(wèn)方法與第一問(wèn)類(lèi)似，但是要注意圖形的位置 解（1）：作PEQR，E為垂足 PQ=PR， QE=RE=QR=4.PE= =3. 當(dāng)t=3時(shí)，QC=3設(shè)PQ與DC交于點(diǎn)G.PEDC， QCGQEP，=()2.SQEP= ×4×3=6，S=()2×6=(cm2).（2）當(dāng)t=5時(shí)，QC5，B、C兩