概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)___2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件

1、概率論概率論 第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布概率論概率論 第五節(jié)第五節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布延續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布延續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 在實(shí)踐中，人們經(jīng)常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)踐中，人們經(jīng)常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.42d求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.比如，知圓軸截面直徑比如，知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，概率論概率論 在比如在比如 ，知，知 t=t0 時(shí)辰噪聲電壓時(shí)辰噪聲電壓 V 的

2、分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R ( R 為電阻的為電阻的分布等分布等.t0t0概率論概率論 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布知，的分布知，Y=g (X) (設(shè)設(shè)g 是延續(xù)函數(shù)，如何由是延續(xù)函數(shù)，如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進(jìn)展討論下面進(jìn)展討論. 這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)際中還是在實(shí)際上都是這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)際中還是在實(shí)際上都是重要的重要的.概率論概率論 二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)，時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，而且而且X取某值與取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事取其對(duì)應(yīng)值是兩

3、個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有一樣的概率件，兩者具有一樣的概率.例例1設(shè)設(shè)X求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù). 0.2 0.5 0.3pk1 2 5X故故Y 0.2 0.5 0.3pk5 7 13X概率論概率論 假設(shè)假設(shè)g ( x k) 中有一些是一樣的，把它們作適當(dāng)中有一些是一樣的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可.普通地，假設(shè)普通地，假設(shè)X是離散型是離散型 r.v ，X 的分布律為的分布律為那么那么 Y=g(X)Xx1 x2 xnpkP1 p2 pn p1 p2 pn pkg(x1) g(x2) g(xn)X概率論概率論 那么那么 Y=X2 的分布律為：的分布律為：X-1 0 1pk

4、0.3 0.6 0.1 Y 0 1pk 0.6 0.4 概率論概率論 三、延續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、延續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解解 設(shè)設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P 2X+8 y =P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)21)28()()(yfdyydFyfXYY概率論概率論 0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY留意到留意到 0 x 4 時(shí)

5、，時(shí)， 0)( xfX即即 8 y 0 時(shí)時(shí),)(yYPyFY 2yXP 留意到留意到 Y=X2 0 ，故當(dāng)，故當(dāng) y 0 時(shí)，時(shí)， .0)(yFY)(xFX)(yFY解解 設(shè)設(shè)Y 和和 X 的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，)()(yFyFXX概率論概率論 那么那么 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為： 0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得假設(shè)假設(shè)exxfX2221 )(,x )()()(yFyFyFXXY 概率論概率論 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求PYy 的過(guò)程中，

6、的過(guò)程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出中解出X, 從而得到與從而得到與 g(X) y 等價(jià)的等價(jià)的X 的不等式的不等式 .例如，用例如，用 替代替代 2X+8 y X 28 y用用 替代替代 X2 y yXy 這樣做是為了利用知的這樣做是為了利用知的 X的分布，從而求出相的分布，從而求出相應(yīng)的概率應(yīng)的概率.這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法.概率論概率論 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求 Y = sinX 的概率密度的概率密度., 0)(yFY當(dāng)當(dāng) y 0 時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) y 1時(shí)

7、時(shí), 1)(yFY10 y x0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)故故解解11Y 留意到留意到,)(yYPyFY 概率論概率論 )(yYPyFY sinyXP 解解 當(dāng)當(dāng) 0 y 1 時(shí)時(shí), 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求 Y = sinX 的概率密度的概率密度. =P0 1 , G (y) = 1;對(duì)對(duì) y 0 , G (y) = 0;10 y由于由于01Y )(yYPyG 概率論概率論 對(duì)對(duì)0y1,G(y)=PY y =PF(X) y=PX (y)1 F1F=F( (y)= y1, 110,0, 0)(yyyyyG即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是其它, 010,

8、 1)(yyg求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)可見(jiàn)可見(jiàn), Y 在在0,1上服從的均勻分布上服從的均勻分布.本例的結(jié)論可運(yùn)用在在計(jì)算機(jī)模擬中本例的結(jié)論可運(yùn)用在在計(jì)算機(jī)模擬中概率論概率論 概率論概率論 下面給出一個(gè)定理，在滿(mǎn)下面給出一個(gè)定理，在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 .概率論概率論 其它, 0,)()()( ydyydhyhfyfY其中，其中，),(minxgbxa),(maxxgbxax=h (y) 是是 y=g (x) 的反函數(shù)的反函數(shù) .定理定理 設(shè)設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)間是一個(gè)取值于區(qū)間a,b，具有概率密度，具有概

9、率密度 f(x)的延續(xù)型的延續(xù)型 r.v,又設(shè)又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對(duì)于恣意處處可導(dǎo)，且對(duì)于恣意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，那么，那么Y=g(X)是是一一個(gè)延續(xù)型個(gè)延續(xù)型r.v，它的概率密度為，它的概率密度為0)( xg0)( xg此定理的此定理的證明與前證明與前面的解題面的解題思緒類(lèi)似思緒類(lèi)似概率論概率論 xexfxX,21)(222)( 解解baxxgy )(的的概概率率密密度度為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量Xabyyhx )(解解得得ayh1)( 的概率密度為的概率密度為所以所以baXY yabyfayfXy),(1)(例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布，證明服從正態(tài)分布，證明 ),(2 NXbaXY 也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布.概率論概率論 yeaeayfaabyabyy22222)(2)(21211)( 即即 2)( , abaNbaXY 所所以以概率論概率論 四、小結(jié)四、小結(jié) 對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量，在求對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量，在求 Y= g