概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)___2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布ppt課件

1、概率論概率論 第第2 2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布概率論概率論 第五節(jié)第五節(jié) 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題的提出問題的提出離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布延續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布延續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布小結(jié)小結(jié) 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 一、問題的提出一、問題的提出 在實(shí)踐中，人們經(jīng)常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)踐中，人們經(jīng)常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.42d求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.比如，知圓軸截面直徑比如，知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，概率論概率論 在比如在比如 ，知，知 t=t0 時(shí)辰噪聲電壓時(shí)辰噪聲電壓 V 的

2、分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R ( R 為電阻的為電阻的分布等分布等.t0t0概率論概率論 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布知，的分布知，Y=g (X) (設(shè)設(shè)g 是延續(xù)函數(shù)，如何由是延續(xù)函數(shù)，如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進(jìn)展討論下面進(jìn)展討論. 這個(gè)問題無論在實(shí)際中還是在實(shí)際上都是這個(gè)問題無論在實(shí)際中還是在實(shí)際上都是重要的重要的.概率論概率論 二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)，時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，而且而且X取某值與取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事取其對(duì)應(yīng)值是兩

3、個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有一樣的概率件，兩者具有一樣的概率.例例1設(shè)設(shè)X求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù). 0.2 0.5 0.3pk1 2 5X故故Y 0.2 0.5 0.3pk5 7 13X概率論概率論 假設(shè)假設(shè)g ( x k) 中有一些是一樣的，把它們作適當(dāng)中有一些是一樣的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可.普通地，假設(shè)普通地，假設(shè)X是離散型是離散型 r.v ，X 的分布律為的分布律為那么那么 Y=g(X)Xx1 x2 xnpkP1 p2 pn p1 p2 pn pkg(x1) g(x2) g(xn)X概率論概率論 那么那么 Y=X2 的分布律為：的分布律為：X-1 0 1pk

4、0.3 0.6 0.1 Y 0 1pk 0.6 0.4 概率論概率論 三、延續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、延續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解解 設(shè)設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y = P 2X+8 y =P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)21)28()()(yfdyydFyfXYY概率論概率論 0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY留意到留意到 0 x 4 時(shí)

5、，時(shí)， 0)( xfX即即 8 y 0 時(shí)時(shí),)(yYPyFY 2yXP 留意到留意到 Y=X2 0 ，故當(dāng)，故當(dāng) y 0 時(shí)，時(shí)， .0)(yFY)(xFX)(yFY解解 設(shè)設(shè)Y 和和 X 的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，)()(yFyFXX概率論概率論 那么那么 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為： 0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得假設(shè)假設(shè)exxfX2221 )(,x )()()(yFyFyFXXY 概率論概率論 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求PYy 的過程中，

6、的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 g(X) y 中解出中解出X, 從而得到與從而得到與 g(X) y 等價(jià)的等價(jià)的X 的不等式的不等式 .例如，用例如，用 替代替代 2X+8 y X 28 y用用 替代替代 X2 y yXy 這樣做是為了利用知的這樣做是為了利用知的 X的分布，從而求出相的分布，從而求出相應(yīng)的概率應(yīng)的概率.這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法.概率論概率論 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求 Y = sinX 的概率密度的概率密度., 0)(yFY當(dāng)當(dāng) y 0 時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) y 1時(shí)

7、時(shí), 1)(yFY10 y x0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)故故解解11Y 留意到留意到,)(yYPyFY 概率論概率論 )(yYPyFY sinyXP 解解 當(dāng)當(dāng) 0 y 1 時(shí)時(shí), 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求 Y = sinX 的概率密度的概率密度. =P0 1 , G (y) = 1;對(duì)對(duì) y 0 , G (y) = 0;10 y由于由于01Y )(yYPyG 概率論概率論 對(duì)對(duì)0y1,G(y)=PY y =PF(X) y=PX (y)1 F1F=F( (y)= y1, 110,0, 0)(yyyyyG即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是其它, 010,

8、 1)(yyg求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)可見可見, Y 在在0,1上服從的均勻分布上服從的均勻分布.本例的結(jié)論可運(yùn)用在在計(jì)算機(jī)模擬中本例的結(jié)論可運(yùn)用在在計(jì)算機(jī)模擬中概率論概率論 概率論概率論 下面給出一個(gè)定理，在滿下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 .概率論概率論 其它, 0,)()()( ydyydhyhfyfY其中，其中，),(minxgbxa),(maxxgbxax=h (y) 是是 y=g (x) 的反函數(shù)的反函數(shù) .定理定理 設(shè)設(shè) X是一個(gè)取值于區(qū)間是一個(gè)取值于區(qū)間a,b，具有概率密度，具有概

9、率密度 f(x)的延續(xù)型的延續(xù)型 r.v,又設(shè)又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對(duì)于恣意處處可導(dǎo)，且對(duì)于恣意x, 恒有恒有 或恒有或恒有 ，那么，那么Y=g(X)是是一一個(gè)延續(xù)型個(gè)延續(xù)型r.v，它的概率密度為，它的概率密度為0)( xg0)( xg此定理的此定理的證明與前證明與前面的解題面的解題思緒類似思緒類似概率論概率論 xexfxX,21)(222)( 解解baxxgy )(的的概概率率密密度度為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量Xabyyhx )(解解得得ayh1)( 的概率密度為的概率密度為所以所以baXY yabyfayfXy),(1)(例例7 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布，證明服從正態(tài)分布，證明 ),(2 NXbaXY 也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布.概率論概率論 yeaeayfaabyabyy22222)(2)(21211)( 即即 2)( , abaNbaXY 所所以以概率論概率論 四、小結(jié)四、小結(jié) 對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量，在求對(duì)于延續(xù)型隨機(jī)變量，在求 Y= g