高考第二輪復(fù)習(xí)理數(shù)專題二十三 不等式選講

1、2017年高考第二輪復(fù)習(xí)：（理數(shù)）專題二十三不等式選講1(2015·山東，5，易)不等式|x1|x5|<2的解集是()A(，4) B(，1) C(1，4) D(1，5)1A由|x1|x5|<2或或x<1或1x<4或x<4.故選A.2(2012·陜西，15A，易)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_2【解析】方法一：不等式|xa|x1|3表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)1的距離之和小于等于3.因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a和點(diǎn)1的距離之和最小時(shí)，即點(diǎn)x在點(diǎn)a和點(diǎn)1之間時(shí)，此時(shí)距離之和為|a1|，要使不等式|xa|x1|3有解，則|a1|3

2、，解得2a4.方法二：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，所以(|xa|x1|)min3.又|xa|x1|xa(x1)|a1|，所以|a1|3，解得2a4.【答案】2，43(2016·課標(biāo)，24，10分，中)已知函數(shù)f(x)|x1|2x3|.(1)畫出yf(x)的圖象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集3解：(1)f(x)yf(x)的圖象如圖所示(2)由f(x)的表達(dá)式及圖象，當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x1或x3；當(dāng)f(x)1時(shí)，可得x或x5，故f(x)>1的解集為x|1<x<3；f(x)<1的解集為.所以|f(x)|>1的解集為.4(2016

3、83;課標(biāo)，24，10分，中)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3，求a的取值范圍4解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以當(dāng)xR時(shí)，f(x)g(x)3等價(jià)于|1a|a3.當(dāng)a1時(shí)，上式等價(jià)于1aa3，無解當(dāng)a>1時(shí)，上式等價(jià)于a1a3，解得a2.所以a的取值范圍是2，)5(2015·江蘇，21D，10分，易)解不等式x|2x3|2.

4、5解：原不等式可化為或解得x5或x.綜上，原不等式的解集是x|x5或x6(2014·課標(biāo)，24，10分，中)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范圍6解：(1)證明：由a>0，得f(x)a2，所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.當(dāng)a>3時(shí)，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.當(dāng)0<a3時(shí)，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.綜上，a的取值范圍是.7(2013·福建，21(3)，7分，中)設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的

5、值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值7解：(1)因?yàn)锳，且A，所以|2|<a，且|2|a，解得<a.又因?yàn)閍N*，所以a1.(2)因?yàn)閒(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(x2)0，即1x2時(shí)取到等號(hào)，所以f(x)的最小值為3.8(2012·遼寧，24，10分，中)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范圍8解：(1)由|ax1|3得，4ax2.又f(x)3的解集為x|2x1，所以當(dāng)a0時(shí)，不合題意當(dāng)a>0時(shí)，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f|2x1|2

6、|x1|，則h(x)所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)1；當(dāng)1<x<時(shí)，1<h(x)<1；當(dāng)x時(shí)，h(x)1.所以|h(x)|1，因此k1.絕對(duì)值不等式是對(duì)必修5中“不等式”的補(bǔ)充和深化，屬選學(xué)選考內(nèi)容，高考中以解答題形式出現(xiàn)，考查的重點(diǎn)是絕對(duì)值不等式的解法和性質(zhì)的運(yùn)用，屬中等難度題目在復(fù)習(xí)中掌握絕對(duì)值的幾何意義，把握好解絕對(duì)值不等式的指導(dǎo)思想，即去掉絕對(duì)值是復(fù)習(xí)的關(guān)鍵 1(2013·遼寧，24，10分)已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a>1.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2，求a

7、的值【解析】(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x4|x2|x4|當(dāng)x2時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2<x<4時(shí)，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時(shí)，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5，所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)|2x|2|xa|，則h(x)由|h(x)|2，又a>1，所以|4x2a|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以解得a3.解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，要注意分類討論思想的運(yùn)用解題(1)時(shí)將不等式轉(zhuǎn)化為f(x)|x4|4后，利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，運(yùn)用分類討論的思想，確定不等式

8、的解集；解題(2)的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(2xa)2f(x)進(jìn)行求解 (2015·課標(biāo)，24，10分)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x4>0，即x4，無解；當(dāng)1<x<1時(shí)，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x2>0，解得1x<2.綜上，f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得，

9、f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，)含絕對(duì)值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對(duì)aR，|x|aaxa，|x|axa或xa.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)(3)零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩

10、個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題多考查恒成立、存在性、參數(shù)范圍問題此類問題多可轉(zhuǎn)化為最值問題，以解答題的形式考查 2(2013·課標(biāo)，24，10分)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)設(shè)a>1，且當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)，求a的取值范圍【解析】(1)當(dāng)a2時(shí)，不等式f(x)<g(x)化為|2x1|2x2|x3<0.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖所示從圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x(0，2)時(shí)，y<0.所以原不等式的解集是x|0<x<2(2)當(dāng)x時(shí)

11、，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對(duì)x都成立故a2，即a.從而a的取值范圍是.解題(1)的關(guān)鍵是將f(x)g(x)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象來求解；解題(2)時(shí)應(yīng)注意x時(shí)，絕對(duì)值可以直接去掉 (2016·河南洛陽質(zhì)檢，23，10分)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|x.(1)當(dāng)a2時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等式g(x)2>xf(x)恒成立時(shí)a的取值范圍解：(1)由題意得，當(dāng)a2時(shí)，f(x)f(x)在(2，)上單調(diào)遞增，f(x)的值域?yàn)?，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2>xf(x)恒成立，有|x1|xa|>

12、2恒成立，即(|x1|xa|)min>2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，|1a|>2，解得a>1或a<3.不等式恒成立時(shí)求參數(shù)范圍問題的解法(1)分離參數(shù)法：運(yùn)用“f(x)a恒成立f(x)maxa，f(x)a恒成立f(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)取值范圍問題(2)更換主元法：對(duì)于不少含參不等式恒成立問題，若直接從主元入手非常困難或不可能解決問題時(shí)，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，?？傻玫胶喗莸慕夥?3)數(shù)形結(jié)合法：在研究曲線交點(diǎn)的恒成立問題時(shí)數(shù)形結(jié)合，揭示問題所蘊(yùn)含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維的優(yōu)勢(shì)，可直接解決問題1(2016·山西大

13、同質(zhì)檢，24，10分)已知函數(shù)f(x)|2x1|x2a|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)3的解集；(2)當(dāng)x1，2時(shí)，f(x)3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍1解：(1)當(dāng)a1時(shí)，由f(x)3，可得|2x1|x2|3，或或解得0x，解得x2，解得x2.綜上可得，0x2，即不等式的解集為0，2(2)當(dāng)x1，2時(shí)，f(x)3恒成立，即|x2a|3|2x1|42x，故2x42ax42x，即3x42a4x.再根據(jù)3x4在x1，2上的最大值為642，4x的最小值為422，2a2，a1，即a的取值范圍為12(2016·河南開封二模，24，10分)已知函數(shù)f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)

14、6的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<|a1|的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2解：(1)原不等式等價(jià)于或或解得<x2或x或1x<.原不等式的解集為x|1x2(2)f(x)|2x1|2x3|(2x1)(2x3)|4，|a1|>4，a<3或a>5，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，3)(5，)3(2015·福建泉州模擬，21(3)，7分)已知函數(shù)f(x)|x3|x2|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|a4|有解，求a的取值范圍3解：(1)f(x)|x3|x2|3，當(dāng)x2時(shí)，有x3(x2)3，解得x2；當(dāng)x3時(shí)，x3(x2)3，解得x；當(dāng)3

15、<x<2時(shí)，有2x13，解得1x<2.綜上，f(x)3的解集為x|x1(2)由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，|x3|x2|(x3)(x2)|5，則有5|x3|x2|5.若f(x)|a4|有解，則|a4|5，解得1a9.所以a的取值范圍是1，94(2016·河北唐山模擬，24，10分)設(shè)不等式2|x1|x2|0的解集為M，a，bM.(1)證明：；(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說明理由4解：(1)證明：記f(x)|x1|x2|由22x10，解得x，則M.所以|a|b|××.(2)由(1)得a2，b2.因?yàn)閨14ab|24|ab|2(18ab1

16、6a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)0，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.5(2015·河北石家莊模擬，24，10分)設(shè)函數(shù)f(x)|x3|x1|，xR.(1)解不等式f(x)<1；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|xa|4，且g(x)f(x)在x2，2上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍5解：(1)函數(shù)f(x)|x3|x1|故由不等式f(x)<1可得，x>3或解得x>.(2)函數(shù)g(x)f(x)在x2，2上恒成立，即|xa|4|x3|x1|在x2，2上恒成立，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，如圖所示故當(dāng)x2，2時(shí)，若

17、0a4，則函數(shù)g(x)的圖象在函數(shù)f(x)的圖象的下方，g(x)f(x)在x2，2上恒成立，求得4a0，故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍為4，01(2014·陜西，15A，易)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則的最小值為_1【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，得m2n25，故的最小值為.【答案】2(2016·課標(biāo)，24，10分)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.2考向1解： (1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x>

18、1；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0，因此|ab|<|1ab|.3(2015·湖南，16(3)，6分，中)設(shè)a>0，b>0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立3證明：由ab，a>0，b>0，得ab1.(1)由基本不等式及

19、ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時(shí)成立，則由a2a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾故a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立4(2014·江蘇，21D，10分，中)已知x>0，y>0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.4證明：因?yàn)閤>0，y>0，所以1xy23>0， 1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)3·39xy.5(2014·福建，21(3)，7分，中)已知定義在R上的函數(shù)f(x)|

20、x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實(shí)數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.5解：(1)因?yàn)閨x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2時(shí)，等號(hào)成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)證明：由(1)知pqr3，又因?yàn)閜，q，r是正實(shí)數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p×1q×1r×1)2(pqr)29，即p2q2r23.不等式的證明是高考的一個(gè)重要考向，證明方法靈活多樣，技巧性和綜合性較強(qiáng)全國高考都是以解答題的形式出現(xiàn)在復(fù)習(xí)中，熟練掌握不等式的證明方法尤為重要，弄清每種方法的適用性，通過訓(xùn)練尋找解題規(guī)律 1(2

21、015·課標(biāo)，24，10分)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若abcd，則；(2)是|ab|cd|的充要條件【證明】(1)因?yàn)?)2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，abcd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因?yàn)閍bcd，所以abcd.由(1)得.若，則()2()2，即ab2cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.綜上，是|ab|cd|的充要條件本例考查不等式的證明和充要條件的判定，考查推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想方

22、法解題(1)利用分析法證明，要證的不等式兩邊都是正數(shù)，要證原不等式，只要證明左邊的平方大于右邊的平方即可；解題(2)要分充分性和必要性兩種情況證明，同樣通過兩邊平方來證明 (2013·課標(biāo)，24，10分)設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.證明不等式常用的方法(1)證明不等式的常用方法有

23、比較法、綜合法、分析法如果已知條件與待證結(jié)論的聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法(2)如果待證命題是否定性命題或唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出，則考慮用反證法(3)如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對(duì)問題的表述和證明利用基本不等式和柯西不等式求最值問題是近幾年高考常考內(nèi)容，在全國高考中一般是以解答題形式考查，難度屬中低檔復(fù)習(xí)中掌握基本不等式、柯西不等式及其變形技巧是解答此類問題的關(guān)鍵 2(1)(2013·湖南，10)已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_(2)(2014·課標(biāo)，24

24、，10分)若a>0，b>0，且.求a3b3的最小值；是否存在a，b，使得2a3b6？并說明理由【解析】(1)由柯西不等式(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2得3(a24b29c2)36，所以a24b29c212，當(dāng)且僅當(dāng)a2b3c2時(shí)，a24b29c2取得最小值12.(2)由，得ab2，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立故a3b324，且當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立所以a3b3的最小值為4.不存在a，b，使得2a3b6.理由如下：由(1)知，2a3b24.由于4>6，從而不存在a，b，使得2a3b6.解題(1)時(shí)注意觀察已知與所求式的特點(diǎn)，由柯西不等式求解；解題(2)時(shí)結(jié)合已知等式運(yùn)用基

25、本不等式得到ab2，再次運(yùn)用基本不等式求出最小值；解題(2)時(shí)運(yùn)用基本不等式求出2a3b的最小值為4，而4>6，從而說明不存在a，b，使得2a3b6. (2015·陜西，24，10分)已知關(guān)于x的不等式|xa|b的解集為x|2x4(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值解：(1)由|xa|b，得baxba，則解得a3，b1.(2)24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4.利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法(1)在運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最大(小)值時(shí)，常需要對(duì)函數(shù)式作“添、裂、配、湊”變形，使其完全滿足基本不等式要求的“正、定、等”三個(gè)條件(2)在應(yīng)用柯西不等式求最大

26、值時(shí)，要注意等號(hào)成立的條件，柯西不等式在排列上規(guī)律明顯，具有簡潔、對(duì)稱的美感，運(yùn)用柯西不等式求解時(shí)，按照“一看、二構(gòu)造、三判斷、四運(yùn)用”可快速求解此類問題1(2016·貴州六校聯(lián)考，24，10分)已知a>0，b>0，ab1，求證：(1)8；(2)9.1證明：(1)ab1，a>0，b>0，2224448(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)，8.(2)1，由(1)知8.9.2(2016·湖北武漢四校聯(lián)考，24，10分)已知關(guān)于x的不等式m|x2|1，其解集為0，4(1)求m的值；(2)若a，b均為正實(shí)數(shù)，且滿足abm，求a2b2的最小值2解：(1)不等式m|x2

27、|1可化為|x2|m1，1mx2m1，即3mxm1.其解集為0，4，m3.(2)由(1)知ab3，(a2b2)(1212)(a×1b×1)2(ab)29，a2b2，a2b2的最小值為.3(2016·陜西寶雞質(zhì)檢，24，10分)已知a，b均為正數(shù)，且ab1，證明：(1)(axby)2ax2by2；(2).3證明：(1)(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxy，因?yàn)閍b1，所以a1b，b1a.又a，b均為正數(shù)，所以a(a1)x2b(b1)y22abxyab(x2y22xy)ab(xy)20，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立所以(axby)2ax2by

28、2.(2)4a2b24a2b24a2b2114(a2b2)224242.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立4(2016·廣東佛山一模，24，10分)已知二次函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的定義域?yàn)?，1，且|f(x)|的最大值為M.(1)證明：|1b|M；(2)證明：M.4證明：(1)M|f(1)|1ab|， M|f(1)|1ab|，2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|，M|1b|.(2)依題意，M|f(1)|，M|f(0)|，M|f(1)|.又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|，|f(0)|b|.4M|f(1)|2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1

29、ab)2b(1ab)|2.M.5(2016·福建廈門質(zhì)檢，21(3)，7分)已知a，b，c為非零實(shí)數(shù)，且a2b2c21m0，12m0.(1)求證：；(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍5解：(1)證明：由柯西不等式得(a2b2c2)，即(a2b2c2)36.(2)由已知得a2b2c2m1，2m1，(m1)(2m1)36，即2m23m350，解得m或m5.又a2b2c2m1>0，2m1>0，m5.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是5，)6(2015·黑龍江大慶二模，24，10分)已知函數(shù)f(x)m|x1|x2|，mR，且f(x1)0的解集為0，1(1)求m的值；(2)若a，b，c，x，y，zR，且x2y2z2a2b2c2m，求證：axbycz1.6解：(1)由f(x1)0得|x|x1|m.|x|x1|1恒成立，若m<1，不等式|x|x1|m的解集為，不合題意若m1，當(dāng)x<0時(shí)，得x，則x<0；當(dāng)0x1時(shí)，得x1xm，即m1恒成立；當(dāng)x>1時(shí)，得x，則1<x.綜上可知，不