電磁學(xué)答案第1章

1、第一部分習(xí)題第一章靜電場基本規(guī)律1. 2. 1在真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷，設(shè)其中一個(gè)所帶電量是另一個(gè)的四倍，它 們個(gè)距5 10 2米時(shí)，相互排斥力為牛頓。問它們相距0.1米時(shí)，排斥力是多少兩點(diǎn)電荷的電量各為多少解：設(shè)兩點(diǎn)電荷中一個(gè)所帶電量為 q,則另一個(gè)為4q：(1) 根據(jù)庫侖定律：F K迪2?得:2221F2F112221.60 (5 10 2)2(10 1)20.4(牛頓)12 1H)萬4K_2411.60 510)萬4 9 1094q=±義 10 7(庫侖)± X 10 8(庫侖)1. 2. 2兩個(gè)同號點(diǎn)電荷所帶電量之和為Q,問它們帶電量各為多少時(shí), 相互作用力最大解：設(shè)其

2、中一個(gè)所帶電量為q,則一個(gè)所帶電量為Q-q。根據(jù)庫侖定律知，相互作用力的大?。簈(Q q)F K 2求F對q的極值 使F 0即：K(Q 2q) 01八q Q o21. 2. 3兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電量分別為2q和q,相距L,將第三個(gè)點(diǎn)電荷放在9_何處時(shí)，它所受合力為零解：設(shè)第三個(gè)點(diǎn)電荷放在如圖所示位置是，其受到的合力為零即:2q。(L x (0.12 0.22)3)即：x2 2xL L2 012222X (L x)解此方程得:x ( 1 J2)L(X是到q0的q距離)(1)當(dāng)x (72 1)L時(shí)，x 0為所求答案。(2)當(dāng)x ( V2 1)L時(shí)，x冰合題意，舍去1. 2. 4在直角坐標(biāo)系中，在(0,

3、) , (0,)的兩個(gè)位置上分別放有電量為q 10 10(庫)的點(diǎn)電荷，在(，0)的位置上放有一電量為Q 10 8 (庫)的點(diǎn)電荷，求Q所受力的大小和方向(坐標(biāo)的單位是米)解：根據(jù)庫侖定律知：F K畔？r1qQ o oK (cos 1? sin 1 j19 109 10 10 10 80.12 0.220.2?1(0.12 0.22)、0.1?如圖所示，其中cos 1=1.61 10 7? 8.0 10 8 jx11/ 22 ；(x1y1)2同理：F2Ksin i(Xi2yi1yTqQ-2-2(cos 2i? sin 2?9 109 10 10 10 80.12 0.220.2?1(0.120

4、.22戶0.1?=1.61 10 7? 8.0 10 8?FF1F23.22 10 7?(牛頓)1) 2. 5在正方形的頂點(diǎn)上各放一電量相等的同性點(diǎn)電荷 q。(1)證明放在正方形中心的任意電量的點(diǎn)電荷所受的力為零；(2)若在中心放一點(diǎn)電荷 Q使頂點(diǎn)上每個(gè)電荷受到的合力恰為零，求 Q 與q的關(guān)系。(D證:如圖(a),設(shè)正方形每邊長為a,中心所放的點(diǎn)電荷的電量 Q。由庫侖定律及迭加原理得:FboF doFaoF co=kQq?BO2r BODoAOrCorCoDorAorCo) 0其中：rBOrrr1 AOrCO1 DO?BorDo, ?AorCo在證明過程中可看出：放在正方形中心的點(diǎn)電荷不論其電

5、量為何值, 它所受的力均為零。2) )討論B點(diǎn)的電荷所受的力：設(shè)A, O, C, D點(diǎn)的點(diǎn)電荷對B點(diǎn)的電荷q的作用力分別為：Fa,Fo,Fc,Fd如圖所示：FaKq2a2?AFoFdKq22a2.2 Kq4a2rDKq- (cos 450 rA sin 450 4) 2arC)_ _ 22KQq22a2KQq ° a2一 (?A ?C) aFaFcFdKq22a一 2(rA?C) = 0.2Kq4a2即使：Kq24 30a 4a aQ=-1. 2. 6兩電量相等的同性點(diǎn)電荷，在其聯(lián)線的中垂面上放一點(diǎn)電荷，根據(jù)對稱性可知，該點(diǎn)電荷在中垂面上受力的極大值的軌跡是一個(gè)圓，求該圓的半徑。解：

6、 如圖（a）,設(shè)x軸上有兩個(gè)點(diǎn)電荷，其電量均為q,坐標(biāo)分別 為（-a,o,o ）、（a,o,o）; 中垂面yoz平面上有一點(diǎn)點(diǎn)電荷 Q,坐標(biāo)為（o,y,z ）設(shè) r y? zl?r2 y2 z2即在中垂面內(nèi)Q到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離如圖（b）,根據(jù)對稱性點(diǎn)電荷Q所受的合力方向與r方向一致,-az-a設(shè)(q與Q同號)kQq > 2kQqr F 22 sin ?) 3 ?r a(r2 a2) 2求F對r的極值：2kQqr(r2 a2) 22kQq3r2(r2 a2)52(r2即：3r2 （r2 a2） 022 a r 一22即： y2 z2 是一個(gè)圓的方程。 圓心（o,o,o）, 半徑為 21 .

7、3. 1在長為50厘米、相距1厘米的兩個(gè)帶電平行板間的電場是勻強(qiáng)電場（場強(qiáng)方向垂直向上）。將一速度為vo 107 （米/秒）的電子從M點(diǎn)（距上下板等距離）水平射入電場（見圖），若電子恰在平行板的邊緣處離開電場，求該 勻強(qiáng)電場的大注。（忽略邊緣效應(yīng)，認(rèn)為板外場強(qiáng)為零，且略去重力對電子的影 響。）解：根據(jù)場強(qiáng)的定義得，電子所受的力：F eE電子產(chǎn)生一個(gè)向下的加速度：Ee設(shè)板長為L,電子在平板間運(yùn)動的時(shí)間:即:Lt VoL 2 hmVoeE2 h mv2E22L e2 5 10 3 9.11 10 31 101425 10 2 1.6 10 19（牛/庫）1. 3. 2用細(xì)線懸一質(zhì)量為0.2克的小球

8、，將其置于兩個(gè)豎直放置的平行板 問（見圖）。設(shè)小球帶電量為6 10 9庫侖，欲使懸掛小球的細(xì)線與場強(qiáng)火然成 60 角，求兩板間場強(qiáng)解：帶電小球所受的電場力：F QE ,重力為mg,細(xì)繩的張力為T ,根據(jù)力的平衡條件知:Tsin60Tcos60mgQE即：E mgctg6000.5772 10 4 9.896 101.89 105 （牛/庫）1.3. 3有一電子射入一電場強(qiáng)度是5 103牛頓/庫侖的均勻電場，電場的方 向是豎直向上，電子的初速度是 107米/秒，與水平線所夾的入射角為 30° （見 圖），不考慮重力對電子的影響。（1）求該電子上升的最大高度；（2）此電子回到其原來高度時(shí)

9、的水平射程是多少解:F eE其加速度a -eEmm當(dāng)電子上升到最大高度時(shí)：v 0v02 (v0sin 300)2 2ah0、20、2h (V0 sin 30 )(V0 sin 30 ) m2a2eE二（107 0.5）2 9.1 10 81=1932 1.6 105 101.4 10 2（米）（2）電子從上升到返回到原來高度時(shí)共用時(shí)間:0.851克/厘米3）。解：設(shè)油滴的電量為Q,體密度為 ，半徑為R （設(shè)油滴所帶電量為體分布），它受的電場力和重力分別為F和P,由F=P得:34 R g EQ=mg=-3c 4 R3 gQ= g3E4（1.64 10 6）3 0.851 103 9.8I T53

10、 1.92 108.02 10 19（庫侖）1. 3. 5兩個(gè)電荷，q1 4.0 （微庫），q2 8.0 （微庫），其相距為10厘米,求離它們都是10厘米處的電場強(qiáng)度E。解：Eq19 109 4 10 6-2- 24 oi103.6 108（牛/庫）E246q29 104 4 10 6-2“24 0r2107.8 108（牛/庫）如圖所示,在直角坐標(biāo)系o x y中,將 E1， E2分解:ExE1x E2x00E1cos60E2 cos120 9.36 108（牛/庫）EyE1y E2yE1 sin 600E2sin 12009.52 108(牛/庫)1. 3. 6如圖，一半徑為R的均勻帶電圓環(huán)

11、，電荷總量為 q(1)求軸線上離環(huán)中心。為x處的場強(qiáng)E;(2)畫出E-x曲線；(3)軸線上什么地方的場強(qiáng)最大其值是多少解：(1)如圖所示，圓環(huán)上任一電荷元 dq在p點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為：dE與 40r根據(jù)對稱性分析，整個(gè)圓環(huán)在距圓心 x處P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng):E dEcosdq ox2 ?r r：dq 0rxq3340rxq3 7, 22、3240(x R )(2) E x曲線如圖所示(3)求E的極值:由生dxdqxdx 4 0(x2 R2)3 2R22既：x、2,在距圓心左右兩側(cè) 二'R處的場強(qiáng)最大。其值為:2maxq6'3 0R21. 3. 7電荷以線密度 均勻分布在長為L的直線段上。

12、(1)求帶電線的中垂線上與帶電線相距為 R的點(diǎn)的場強(qiáng);(2)證明當(dāng)L 時(shí)，該點(diǎn)的場強(qiáng)E ;2 oR(3)試證當(dāng)R>>L時(shí)，所得結(jié)果與點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式一致。解：（1）如圖建立坐標(biāo)，帶電線上任一電荷元在 P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為:dE 心?根據(jù)對稱性分析，E的方向是y軸方向。L2 _ L - - 42 fL2 L - 24dx o(R2-sin x2)o(R2-3dxX2)2L2L(3)當(dāng) R>>L時(shí):4 oRR 4oRR2L2j4(2)當(dāng) L時(shí):L2 L24 oR R 44 oR2R.一,LL24時(shí),中2 02oR/. EL4 oR2q4oR24 oR其中L q ,與點(diǎn)電荷公式一致

13、1. 3. 8線電荷密度為 的無限長均勻帶電線，分別彎成附圖中（a）, （b） 兩種形狀，若圓弧半徑為 R,試求：（a）, （b）圖中。點(diǎn)的場強(qiáng)。解：（a）在。點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖所示:半無限長直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)Ei：Ei0 R3?y3?dy4 o(R2 y2)24 o(R2 x2)2同理：B 半無限長直導(dǎo)線在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)E2 :E2? i4 oR 4 oRAB弧在。點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為:E i? jAB 4 oR 4 oR.二 EEiE2 EAB（b）建立如圖所示的坐標(biāo)系,與圖（a）討論相同得:Ei?）E24 oR( ?EAB?2 oRE Ei E2 E31. 3. 9 無限長帶電圓柱面，具面

14、電荷密度由下式所決定:0 cos角為與x軸間夾角，見附圖，求圓柱軸線 z上的場強(qiáng)。解：設(shè)該圓柱面的截面半徑為 R,根據(jù)1。3。7題中L時(shí)的結(jié)論:無限長直帶電線在空間一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng) E 得出：帶電圓柱面上寬度為 d2 0 r(=Rd )的無限長帶電線在軸線一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為:dE0 cosRdf?20R0 cos0(cos20? sin ?)?)d2x 0 coso(cos ? sin0201. 4. 1如圖所求，勻強(qiáng)電場的場強(qiáng) E半徑為R的半球面的軸線平行，試計(jì) 算通過此半球面的電通量，若以半球面的邊線為邊，另作一個(gè)任意形狀的曲面， 此面的通量為多少解：S1的通量：如圖設(shè)與場強(qiáng)垂直的圓平面為 S

15、0, §和S0組成一個(gè)閉和曲面，具包圍電荷 q 0,利用高斯定理得：E?dS E?dS E?dS SoS10Si 0, 一S1So2 _ S E?dS R ESiS0R2E同理：S2SoR2E1.4. 2圖中電場強(qiáng)度分別為Ex1bxEx Ez 0,其中b=800(牛頓/庫侖)。試求:(1)通過正立方體的電通量;(2)正立方體內(nèi)的總電荷是多少設(shè) a 10 (厘米)。解：(1)通過立方體的左側(cè)面的電通量：5左ExSba萬5通過立方體的右側(cè)面的電通量：右ExS J2ba±其余各面的電通量為零。通過正立方體的電通量：55左 右 1 ba2/2b a355(,2 1)ba"

16、(、,2 1) 800 (10 1)"5(.2 1) 800 (10) 2(21) 800 101.05(牛頓？米外)(2)根據(jù)高斯定理得:- E ?ds8.85 10 12 1.05 9.92 1012(庫侖)1.4.3 求線電荷密度為的無限長均勻帶電直線在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)。解:根據(jù)對稱性分析，無限長均勻帶電直線在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)與棒垂直,呈輻射狀。如圖所示以帶電直線為軸過 p點(diǎn)作一封閉的圓柱面。長度L是任意的 由高斯定理：E ? ds E cos ds E cos ds E cos ds 側(cè)面上底下底o(hù)上下底面上 一2cos 0側(cè)面上場強(qiáng)夾角0cos 1. E ?ds

17、 E cos ds E cos ds E ? 2 rL 側(cè)面oE 20r1.4.4求面電荷密度為的無限長均勻帶電圓柱面的場強(qiáng)分布，并畫出 E r曲線。解：設(shè)帶電圓柱面的半徑為R,根據(jù)對稱性分析，在以圓柱的軸線為軸的任意一 圓柱面上場強(qiáng)大小相等，而且場強(qiáng)方向垂直于圓柱面。在柱面內(nèi)，過任一，以 z 為軸作一封閉圓柱面為高斯面，其半徑為r , (r R),長為L ,如圖所示。由高斯定理：- E內(nèi)？dS E內(nèi) cos dSE內(nèi) cos dSE內(nèi) cos dS 0側(cè)面上底下底上下底與場強(qiáng)夾角一 cos 02側(cè)面與場強(qiáng)夾角0cos 1：王內(nèi)？$E內(nèi) cosdS 0側(cè)面E內(nèi)0在柱面外，同理過任一點(diǎn)p作半徑(

18、r>R )的封閉圓柱體形高斯面。由高斯 定理：E外？dSE外 cos dSE外 cos dS E外 cos dS下底上底2 LE外 dS 2 rLE # = 0E外r o1.4.5在一厚度為d的無限大的平板層內(nèi)電荷均勻分布，起體密度0,求在平板層，外的電場強(qiáng)度。解：如圖（a）所示的是平板的俯視圖，OO是與板面平行的對稱面，根據(jù)對 稱性分析，在對稱面兩側(cè)等距離x出的場強(qiáng)大小相等，方向垂直該對稱面指向兩側(cè)。在板內(nèi) 過任一點(diǎn)°,被對稱面平分的封閉圓柱面為高斯面，其底面積為S,底面與對稱面的距離為x:由高斯面定理：oE?dS側(cè) EcosdS 2柱面 EcosdS=2E S 2 Sx/

19、0E 即晨0 d S >E?dS=2 S = 0 d-二一外2 0E-x的分布曲線如圖（b）1.4.6 一半徑為R的 帶電球，起體電荷密度 0（1 -）, 0為一常數(shù)，r為空間某帶至球心的距離 R試求：（1）球內(nèi)，外的強(qiáng)度分布二 E?dS(2)為多大時(shí)，場強(qiáng)最大，該點(diǎn)的解：(1)max0(1.與r是線性關(guān)系。在球內(nèi)。做一個(gè)半徑為r的與帶電球同心的的場強(qiáng)大小相等，方向與由高斯面定理：c ?dS球面斯面如圖，根據(jù)對稱性分析，此球面上r的一致。0(1r 2)4 drR r4(33r(1 )(r, R)4R當(dāng)r R時(shí)，即在球外過任一點(diǎn) 由高斯定理得：p仍作球形高斯面。oe外？dsRq (10rA

20、43r dr30R3oR3oR20r(2)依3-(1紅)02R2Rr 一3r越大，E外單調(diào)減小，因而球外場 強(qiáng)無極值。1.4.7 如圖所示，兩條平行的無線長均勻帶電直線，相距為 2a,電荷線密度分別為+a,求這兩條直線在空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)。解:利用高斯定理分別求出兩條均勻帶電直線在點(diǎn)p的電場強(qiáng)度:2"Vr2 r20rcos isina 一i r20r-j)20rx a.(irj)其中：r2 y2(x a)222r y (xa)21.4.8兩無限大的平行平面均勻帶電，面電荷密度都是,求各處的場強(qiáng)分布。解：設(shè)0 （對0解題方法相同，只是圖中E的方向不同），由高斯定理可求得無限大均勻帶電平板

21、的場強(qiáng)的大小為:規(guī)定場強(qiáng)方向向右為正，向左為負(fù)Ei1.4.9如圖所示，兩無限大平行的均勻帶電平面，相距為L ,其面密度分別為與，以z為軸分別在兩平面上挖去兩個(gè)半徑為的圓，且有l(wèi) R,試求，軸上一 點(diǎn)的場強(qiáng)分布（子軸原點(diǎn)在L處）.2解：利用迭加原理，先求兩個(gè)沒有挖去圓的無限大帶電平面在I （兩平面的區(qū)域），（兩平面外的區(qū)域）區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)，再減去兩個(gè)圓產(chǎn)生的場強(qiáng)。利用高斯定理求兩帶相反電荷的無限大平面產(chǎn)生的場強(qiáng)：在I區(qū)內(nèi)：Ei k 0在 區(qū)內(nèi)：E - 0兩個(gè)半徑為R的帶異號電荷的圓板在軸上產(chǎn)生的場強(qiáng)：在I區(qū)內(nèi)：，l R ,兩帶電圓板產(chǎn)生的場強(qiáng)：Ei' K 0在 區(qū)內(nèi)：帶正電荷的圓板在z軸上

22、一點(diǎn)（z L產(chǎn)生2的場強(qiáng)E （1:R2 (z 2)22 0帶負(fù)電荷的圓板在z軸同一點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)I區(qū)的總場強(qiáng):區(qū)的總場強(qiáng):2T(1很小,(1)(0)=0(0)(12 0EiE Ei-k? 001z -2R2 (z ；)2用臺勞級數(shù)將上式在R2 (z12122一)k?21 2R (z J21=0處展開，取前兩項(xiàng):1z 221 2R (z J2R23(R2 z2)2E f(0) f2 0(0)1 2小0 一0(R2R21R21)k?32 °(R2 z2)2k?1.1.10如圖所示，在半徑為R,電荷體密度為的均勻帶電球體內(nèi)O點(diǎn)放一個(gè)點(diǎn)電荷q。試求：O,P, N,M,點(diǎn)的場強(qiáng)（O,O,P, N

23、,M,在一條直線上）。解：利用高斯定理分別求出均勻帶電球體分別在Q P, N, M點(diǎn)的場強(qiáng)為（其中。為球心）：Ero0ERNJON? 3 0ErpERMR3G2?30r0 M點(diǎn)電荷q分別在Q N, P, M點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為EqOr?40r onEqPq2 r?40r opEqMq40 r2o m利用迭加原理:EoEroEqO-q-?40r 2ooEnErnEqN("40r onrON)?EpErpEqPrOP23 o 40rop)?EMEqMR32,23 0r om 4 0roM)?1.4.11在半徑為R,電荷體密度為 的均勻帶電體內(nèi)，挖去一個(gè)半徑為r的小球，如圖所示，試求：O, O

24、, P, M 各點(diǎn)的場強(qiáng)。（O ,O,P,M在一直線上）。解：將挖去的小球Q用電荷體密度為 的球補(bǔ)起來。先求均勻帶電球體 O產(chǎn)生的場強(qiáng)，再求填補(bǔ)的帶電球體 Q產(chǎn)生的場強(qiáng)，兩者相減即是所要求的場強(qiáng)。利用高斯定理求帶電球體 O分別在O,O ,P,M ,產(chǎn)生的場強(qiáng)為:EOOEo or一-o? （?萬向如圖所小，原點(diǎn)在0點(diǎn)）3 0EOPEomR33 0r20M帶電球體O分別在各點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為:Eo oEo pEo m3j ?3 0r om圖中各點(diǎn)的場強(qiáng)分別為:Ep3,r、八EopEo p -(2rop) ?3 0 r°pEmrr, R3、EoMEo M(22) r3 0 r°Mr&

25、#176; m1.4.12半徑為R的無限長直圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷的體密度，求場強(qiáng)分布,并畫E-曲線。解：分別過圓柱體內(nèi)，外一點(diǎn)P0,P作如圖（a）所示高斯面，由高斯定理可得:一.1crR時(shí),oE內(nèi)dS 2 rlE內(nèi) 一 .2l0r R時(shí)：oE外.dS 2 rlE從1R2l川夕卜0R22 0r場強(qiáng)的方向?yàn)閺较駿-r曲線如圖（b）1.4.13 一對無限長的共軸直圓筒,半徑分別為Ri和R2,筒面上都均勻帶電。線單位長度的電量分別為1和2。（1）求各區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)分布；（2）若1沿軸2，情況如何并畫出此情形的E-r曲線解：如圖（a）所示，將空間分成三個(gè)區(qū)域,應(yīng)用1.4.4題的結(jié)果可得：（1）區(qū)域內(nèi)（r

26、< R1 ） : E1 0區(qū)域內(nèi)（R1 r R2）：E?20r當(dāng)10時(shí)，E的方向與汾向一致0時(shí)，E的方向與?方向相反。區(qū)域內(nèi)：（r R2）:E-?20r當(dāng) 12 0 時(shí)，E 方向與？ 方向一致。當(dāng) 12 0 時(shí)，E 方向與？方向相反。（2）若12時(shí)，則E1, E不變。120E 0E- r曲線如圖（b）1.5.1設(shè)有一個(gè)電量q=1.5 10 8 （庫侖）的電電荷。試求：（1）電位為30伏特的等位面的半徑有多大（2）電位差為伏特的任意兩個(gè)等位面，其半徑之 差是否相同解：（1）選無限遠(yuǎn)為電位參考點(diǎn)，根據(jù)電電荷電位公式得:40r301.5 10 8_ _12-48.9 10 r4.5（米）（2）

27、設(shè)半徑差為r,則r2r1r,根據(jù)電位差公式得:q 11v-(-)4 ° r1 r1rV 1.0(伏)ri(rir)r(1 .)q402ri2 riri從上式看出，當(dāng)r1取不同值時(shí)，r值不等。1.5.2如圖所示，兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量分別為 q與-3q,為d,求：(1)在它們連線中間U=0的點(diǎn)和(2) E 0的點(diǎn)在什么位置？解：建立如圖所示坐標(biāo)，設(shè)其原點(diǎn)在 q所在出。 (1)設(shè)電位U=0的點(diǎn)的坐標(biāo)是x,其間距離在連線上點(diǎn)電荷q在該點(diǎn)的電位為：U qq40X點(diǎn)電荷-3q在該點(diǎn)的電位為：U3q3q4 0(d x)根據(jù)電位迭加原理得:Uq U 3qq3q4 °x 4 0 (d x) 0

28、4 0 x(d x)d 4x 0dx 4(2)設(shè)E 0的點(diǎn)的坐標(biāo)為x點(diǎn)電荷q在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng):Eq-i4 ox點(diǎn)電荷-3q在該點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng):3q3q .2 i4 o(x d)由場強(qiáng)迭加原理得:EEqE 3qq4 ox1 23q4 o(xJ4 0 x23.(x d)2pq 2x22xd d4 0 x2 (x d)2-i =0即：2x2 2x d d信圓弧。試證明：該部分上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度都與該點(diǎn)離 。點(diǎn)的距離成反比。0d 2(1 d(i 2d(1 2.3)符合題意。V3）不符合題意應(yīng)舍去。證：利用環(huán)路定理，如果過1, 2兩點(diǎn)做一閉和環(huán)路:dl1r1ddl2 r2d：E ?dl E1 ?dl1E2?

29、dl2E12 ?dr 12E21 ? d2i0E12r12E21r21EidliE2 dl2E1dliE2d l2 0E1rl dE2 r2 dE1r2E21說明每點(diǎn)的電場強(qiáng)度都與該點(diǎn)離 。的距離成反比。1.5.4 證明：在靜電場中凡是電力線都是平行直線的地方，電場強(qiáng)度的大小必定處處相等：或者換句話說，凡是電場強(qiáng)度的方向處處相同的地方， 電場強(qiáng)度的大 小必定處處相等。（提示：利用高斯定理和環(huán)路定理，分別證明沿同一電力線和不同電力線上任意 兩點(diǎn)的場強(qiáng)相等。）證：先證明同一條電力線上任意兩點(diǎn) A,B場強(qiáng)相等。過A,B兩點(diǎn)以該條電力線為軸做以閉合的圓柱面，如圖所示，底面積 S 0,即認(rèn)為上場強(qiáng)相同，

30、由高斯定理得：Ea S Eb S 0Ea Eb點(diǎn)C,D場強(qiáng)相等。過C,D兩點(diǎn)做如圖所示的矩形積分環(huán)路，由環(huán)路定理得：Eel EdI 0EeEd（注：此處L不一定趨于無限小，為已證明電力線上各點(diǎn) E都相等。）證畢1.5.5 如圖所示，AB=2L, OCD是以B為中心，L為半徑的半圓。A點(diǎn)有正點(diǎn) 電荷+q,B點(diǎn)有負(fù)點(diǎn)電荷-q.（1）把單位正電荷從O點(diǎn)沿ocd移到D點(diǎn)，電場力對它做了多少功（2）把單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長線移到無窮遠(yuǎn)處，電場力對它作了多少功 解：根據(jù)點(diǎn)位疊加原理:U。Ud六（3L L）q6 0L（1）電場力把單位正電荷（即q0 1）從D點(diǎn)沿OCD移到點(diǎn)D所做的Adq(UD U )

31、q0(0功:A q°(Uo Ud) q.(0 -q-)OCD6 oL=36 oL1）從D點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處所作的功:（2）場力把單位負(fù)電荷（即qo1.5.6電荷Q均勻分布在半徑為R的球內(nèi)，證明離球心r處（r<R）的電位為;22U Q(3R2 r2)8 oR3證明：利用高斯定理求得球內(nèi)外任一點(diǎn)場強(qiáng):E外盧4°r離球心r處（r<R）的電位:RU r E內(nèi)？dlrE外？dlQ R , Q dr3 rdr + 二 4 oR3 r 4 0 Rr2Q(R2 r2),8 oR3Q4 oR3Q(3R28 oRr2)3證畢。5. 7 求 1。4。71 .問任一點(diǎn)的電位。選無限遠(yuǎn)為電位

32、參考點(diǎn)題中兩條平等的無限長均勻帶異號電荷的直線，在空解：利用迭加原理求空間任一點(diǎn) p(x,y)的電位:一條無限長直帶電線在p點(diǎn)的場強(qiáng)：E r20r在這種情況下不能選無限遠(yuǎn)外為電位參考(指一條無限長直帶電的情況)，因?yàn)殡姾煞植疾皇窃谟邢迏^(qū)域內(nèi)，選用與帶電線相距1遠(yuǎn)的Q點(diǎn)作為參考點(diǎn)，如圖所示對帶正電荷的直線：U = ；Q drr ln 20 rrr0 rQ對帶負(fù)電荷的直線：rQ rdr r-ln0rQ利用迭加原理:rQln 一)rr-(ln 2 o rr rInr r當(dāng)參考點(diǎn)Q趨于無限遠(yuǎn)處時(shí)，r r1. 5. 8如圖所示，電量q均勻分布在長為2L的細(xì)直線上),(1)求空間任一點(diǎn)p(x,y)的電位U

33、 (0y<+ ,-(2)討論：當(dāng)p點(diǎn)在延長線上，距O為x外；當(dāng)p點(diǎn)在直線中垂直面上離中心O為y外的電位。解：(1)在圖中：r (x l)y2帶電線元d l在p點(diǎn)的電位;dUq dl8 0 L、(x l )2 y2整個(gè)帶電線在p點(diǎn)的電位;dUq l dl8 0L (x l)2 y2一 ln xLl (x l)2y222q x L 、(x L) y1n22-8 oL x L (x L) y(2)當(dāng)p點(diǎn)在其延長線上,O為 x即 p(x,0)外,x ln xL (x L)2(x L)2q8 oLlnx Lx L當(dāng)p點(diǎn)在直線中垂面上，離中心0為即p(0,y)處8 oL LJ2y24> 一1.

34、5. 9如圖所示，兩個(gè)平行放置的均勻電圓環(huán)，它們的半經(jīng)為R,電量為q及-q ,其中相距為l ,并有l(wèi)<<R關(guān)系。(1)試求以兩環(huán)的對稱中心 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于環(huán)面的x軸上的電位(2)證明：當(dāng)x>>R時(shí)，Uqi4oX2解：(1)求在x軸上p點(diǎn)的電位:帶電圓環(huán)上電荷線密度2 R帶正電的圓環(huán)在p點(diǎn)的電位2 Rq1 221 2240 ；(X 2) R 4 0 ；(X 2) R同理，帶負(fù)電的圓環(huán)在P點(diǎn)的電位,q(X1 222)2R2由迭加原理得:，114 。/1、.(x 2)2 R211(x C)22 R2當(dāng)l<<R時(shí),用臺勞級數(shù)在l=0的地方展開，略去l的二次項(xiàng)(

35、1。4。9題方法同)行：Uqx34 o(x2 R2)2(2)當(dāng) x>>R時(shí),qi4 ox2qlx3o(x2R2)21.5.10求1.4.9題中，沿z軸上的電位分布。選無限遠(yuǎn)處為電位參考 點(diǎn)。解：利用1.4.9題結(jié)論ElR20(z23 iR2)2積分求電位:U z E ?dllR2z32 o(z2 R-dzzr(z2 R2產(chǎn)1?5?11如圖所示，在半徑為Ri和R2的兩個(gè)同球心球面上，分別均勻帶電，電量為Q1 , Q2(1) 求I、U、田區(qū)域內(nèi)的電位分布(2) 討論：當(dāng)Q2 Q1 ;Q2R2Q1兩種情況下I、H、田區(qū)域中電位分布，并畫出兩種R1情況下U-r曲線解：(1)利用高斯定理求出

36、：E 0 (r<R)E-QLr(R1<r<R2)4 0rQi Q?EQ當(dāng)(r2)40r 1電位分布：Qi QoQi QoQ1Q240r1 Q2Q14 0 R2rU = r E ?d l r Qfdr Q_(r *) 40r40rR2Q1, Q1Q2 Q111r 2 dr 1 4°r240r4 0 rR2R2 E?d lR2E ?d lR1 E1?d l1 Q2Q1二記記（r 0電） 當(dāng)Q2=-Qi時(shí),R2Q140Q140當(dāng)Q2R2R1Qi時(shí),Qi R2RioRrQ140在此兩種情況下的U-r曲線如圖1.5.12 在上題中，保持內(nèi)球上電量Q1不變，當(dāng)外球電量Q2變化時(shí)，試討論三個(gè) 區(qū)域內(nèi)的電位有沒有變化兩球面之間的電位差有沒有變化解；在上題中U”，（邈 Q1）4 o R21,Q1 Q2 U m =4 or從上面結(jié)論可看出，當(dāng)Q2變化時(shí)，三個(gè)區(qū)域